2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题(解析版)

2021届黑龙江省鹤岗市第一中学高三上学期第一次月考（开
学考试）数学（理）试题
一、单选题
1．已知集合{
}2
40P x x x =-≥，{}14Q x x =<≤，则(
)P Q ⋂=R
（ ）
A ．[)0,1
B ．(]0,4
C ．()1,4
D ．[)1.4
【答案】C 【解析】先求出P R
，再与集合Q 求交集即可.
【详解】
由240x x -≥，得0x ≤或4x ≥，所以{|0P x x =≤或4}x ≥，{|04}R P x x =<<， 故
(
){|14}P Q x x ⋂=<<R
，
故选：C. 【点晴】
本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式，是一道容易题. 2
．定积分
)
x dx =（ ）
A ．21π-
B ．1π-
C ．
12
π
- D ．
14
π
-
【答案】C
【解析】
根据定积分的几何性质先求0dx
和0
，再根据定积分的运
算求答案即可
. 【详解】
0dx
的1
4
圆的面积，
为2142
π
π=
，
20
1 12xdx x =
=，
所以定积分)
0x dx =
12
π
-. 故选：C . 【点睛】
本题考查定积分的几何意义和定积分的计算，属于简单题.
3．已知命题p ：存在实数α,β,满足()sin αβsin αsin β+=+； 命题q ：2log 2log 2a a +≥(01a a 且>≠). 则下列命题为真命题的是 A ．()p q ∧⌝ B ．p q ∧
C ．p q ⌝∧
D ．p q ⌝∨
【答案】A
【解析】先判断命题p ，q 的真假，再利用复合命题真假关系判断各选项. 【详解】
当α=β=0时，满足sin （α+β）=sinα+sinβ，故命题p 是真命题，则p
⌝是假命题，
当a=
1
2
时，log a 2=-1，log 2a=-1，不等式不成立，故命题q 是假命题，则q ⌝是真命题，
则()p q ∧⌝是真命题，其余为假命题. 故选A
【点睛】
本题考查了判断复合命题的真假；p q ∨ ，有真为真，都假为假；p q ∧都真为真，有假为假；q p ⌝与真假相反. 4．已知α为锐角，3cos 5α=
，则tan 42πα⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
（ ）
A ．
1
3
B ．
12
C ．2
D ．3
【答案】D
【解析】先利用半角公式（或二倍角公式）求得tan 2
α
，再根据两角和正切公式求结果.
【详解】
∵α为锐角，3
cos 5α=
，∴4sin 5
α， 则2
sin
2sin
cos
222tan 2cos 2cos 22ααα
ααα=
=4
sin 1531cos 215
αα===++， ∴1tan tan 1422tan 31
421tan tan 1422
παπαπα++
⎛⎫+=
== ⎪⎝⎭--. 故选：D
本题考查同角三角函数关系、二倍角公式、两角和正切公式，考查基本分析求解能力，是基础题.
5．给出如下四个命题：
①“250x x -<”是“|1|1x -<”的充分而不必要条件；
②命题“若1a =-，则函数2
()21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为真命题； ③若p 是q 的必要条件，则p ⌝是q ⌝的充分条件；
④在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的既不充分也不必要条件． 其中正确的命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】A
【解析】利用四种命题的关系，充要条件，复合命题的真假，逐一判断即可得到结论. 【详解】
①由250x x -<，解得05x <<；由|1|1x -<，解得02x <<；
所以，“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件，故命题①错误； ②由函数()2
21f x ax x =+-有一个零点，当0a =时，函数()21f x x =-有一个零
点，符合题意；当0a ≠时，由
440a ，解得1a ≥-，此时函数有一个零点；
所以，函数()2
21f x ax x =+-有一个零点的等价条件为1a ≥-，
故命题“若1a =-，则函数()2
21f x ax x =+-有一个零点”的逆命题为“函数
()221f x ax x =+-有一个零点，则1a =-”此命题为假命题，故命题②错误；
③若p 是q 的必要条件，可得q p ⇒，则p q ⌝⇒⌝，所以p ⌝是q ⌝的充分条件，故命题③正确；
④在ABC ∆中，若A B >，由于A B π+<，必有B A π<-，若A ，B 都是锐角，有
sin sin A B >成立；若A ，B 之一为锐角，必是B 为锐角，此时有A π-不是钝角，由
于A B π+<，必有2
B A π
π<-≤
，此时有()sin sin sin A A B π-=>；
若sin sin A B >，当A 不是锐角时，有A B >，当A 为锐角时，仍可得到A B >； 故“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件，故命题④错误. 综上，命题③正确. 故选：A.
本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，复合命题等知识，难度不大，属于基础题.
6．如果将函数()y g x =图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移
3
π
个单位长度，得到函数1
()sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则()y g x =图象的一条对称轴的直线
方程为（ ） A ．2
x π=
B ．6
x π
=
C ．3
x π
=
D ．2x π=
【答案】A
【解析】由题意根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论. 【详解】
解：将函数1()sin 2
6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点向右平移3π
个单位长度得
11sin sin 2623y x x ππ⎛⎫⎛⎫
=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝
⎭，再将所有点的横坐标缩小为原来的12，可得的
()sin y g x x ==图象，
令2
x π=
，求得()1g x =，为函数()g x 的最大值，
则()y g x =图象的一条对称轴是直线2
x π=.
故选：A. 【点睛】
本题主要考查函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题.
7．函数()()(
)
2sin ln 1f x x x x =+
+的大致图像为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】确定函数为偶函数，排除BC ，当()0,x π∈时，()0f x >，排除A ，得到答案. 【详解】
()()(2sin ln 1f x x x x =++，
故()()(()(()2
2
sin ln 1sin ln 1f x x x x x x x f x -=--+=+=，函数为偶函
数， 排除BC .
当()0,x π∈时，()0f x >，排除A . 故选：D . 【点睛】
本题考查了函数图像的识别，意在考查学生对于函数图像的理解. 8．已知()3cos 5αβ-=，5sin 13β=-，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，,02πβ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．
33
65
B ．
5665
C ．3365
-
D ．5665
-
【答案】B
【解析】利用同角三角函数基本关系求得()sin αβ-，cos β，将
()cos cos ααββ⎡⎤=-+⎣⎦展开代入求解即可
【详解】
02
2
παπβ⎧
<<⎪⎪⎨
⎪-<<⎪⎩，0αβπ∴<-<.又()3cos 5αβ-=，()()24sin 1cos 5αβαβ∴-=--=
.02πβ-<<，5sin 13β=-，
12
cos 13
β∴=，
()()()56
cos cos cos cos sin sin 65
ααββαββαββ⎡⎤∴=-+=---=
⎣⎦. 故选B 【点睛】
本题考查两角和与差的余弦函数，考查“拆分角”的应用，属于中档题．
9．已知函数()()2sin 06f x x ωωπ⎛
⎫=-> ⎪⎝
⎭，相邻两个对称中心之间的距离为2π，若
将函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
个单位长度，得到的函数图象关于y 轴对
称，则函数()()g x x ωϕ=+在2,3
3ππ⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（ ）
A B ．0
C ．
2
D ．
32
【答案】C
【解析】由三角函数的图象与性质可得()f x 的最小正周期，进而可得ω，根据图象平移和偶函数的定义可得到()26
2
k k Z π
π
ϕπ-
=
+∈，由此可得ϕ；利用x 的范围求得
23
x π
+
的范围，由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
∵函数()f x 相邻两个对称中心之间的距离为
2
π， ∴
22T π=，∴22T π
ω==，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝
⎭，
函数()f x 的图象向左平移02πϕϕ⎛
⎫
<< ⎪⎝
⎭
个单位长度得到2sin 226y x πϕ⎛⎫
=+-
⎪⎝
⎭
的图象，
∵2sin 226y x πϕ⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭
图象关于y 轴对称，∴()26
2
k k Z π
π
ϕπ-
=
+∈，
∴()3
2
k k Z π
πϕ=
+
∈，又02π
ϕ<<，∴3πϕ=，
∴()23g x x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 当2,3
3x ππ⎡⎤
∈-
-⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，
∴1cos 21,32x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴()2g x ⎡∈⎢⎣⎦
，
∴()g x 在2,33ππ⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦故选：C . 【点睛】
本题考查了三角函数图象与性质的综合应用及函数图象的平移，考查了运算求解能力，属于中档题.
10．已知函数()3
1g x a x x e e ⎛⎫
=-≤≤
⎪⎝⎭
，e 为自然对数的底数）与()3ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．311,
3e ⎡⎤
+⎢⎥⎣⎦
B ．3
31,e -⎡⎤⎣⎦
C ．3313,3e e ⎡⎤+-⎢
⎥⎣⎦
D ．)3
3,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B
【解析】由已知，得到方程33ln a x x -=-，可得33ln a x x =-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，构造函数()3
3ln f x x x =-，利用导数求出函数()y f x =在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的值域，即
可求得实数a 的取值范围. 【详解】
由题意可知方程()()g x h x =-在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有解，
再转化为方程3
3ln a x x =-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内有解，构造函数()3
3ln f x x x =-，
()32
333
30x f x x x x
-'=-==，得1x =，
当
1
1x e
≤<时，()0f x '<，此时函数()y f x =单调递减；当1x e <≤时，()0f x '>，此时函数()y f x =单调递增.
函数()y f x =在1x =处有最小值()11f =， 又3113f e e ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，()3
3f e e =-，且()1f e f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭
，
∴()()3
max 3f x f e e ==-，
所以，313a e ≤≤-， 故选：B. 【点晴】
本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程
33ln a x x =-在上有解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.
11．设()f x 的定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有()()4f x f x =+，且当
[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若在区间(]2,6-内关于x 的方程
()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．()1,2
B ．()2,+∞
C ．(
D ．
)
2
【答案】D
【解析】根据()()4f x f x =+，得到函数()y f x =是一个周期函数，且周期为4，然后将方程()()log 20a f x x -+=恰有3个不同的实数解，转化为函数()y f x =与函数()log 2a y x =+在区间−2，6上的图象恰有3个不同的交点，利用数形结合法求解. 【详解】
因为对任意x ∈R ，都有()()4f x f x =+， 所以函数()y f x =是一个周期函数，且周期为4，
当[]2,0x ∈-时，()112x
f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，且函数()y f x =是R 上的偶函数， 若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()()log 201a f x x a -+=>恰有3个不同的实数根，
则函数()y f x =与函数()log 2a y x =+在区间(]2,6-上的图象恰有3个不同的交点， 如下图所示：
又()()223f f =-=，
所以log 43log 83a a <⎧⎨>⎩
，
342a <<.
因此，实数a 的取值范围是)
3
4,2.
故选：D . 【点睛】
本题主要考查方程的根与函数的零点之间的关系，还考查了转化化归数学和数形结合的思想方法，属于中档题.
12．已知定义在()1,+∞上的函数()f x ，()f x '为其导函数，满足
()()1ln 20f x f x x x x
++=′，且()2f e e =-，若不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[),e +∞ B ．(
)
2
,2e -
C ．(),2e -
D ．[),e -+∞
【答案】D
【解析】利用导数的运算法则，求出函数()f x 的解析式，然后参数分离，将不等式的恒成立问题转化为ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立，构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出函数的最大值，从而得解. 【详解】
()()1
ln 20f x f x x x x
++=′， ()2ln f x x x C ∴+=， ()2ln
f e e e C ∴+=，
()2f e e =-，∴22e e C -+=，解得0C =，
()2
ln 0f x x x ∴+=，()2
ln x f x x
∴=-()1x >，
不等式()f x ax ≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
∴2
ln x ax x
-≤对任意()1,x ∈+∞恒成立，
即ln x
a x
≥-
对任意()1,x ∈+∞恒成立， 令()ln x g x x
=-，则()()21ln ln x g x x -=′， 令()()
2
1ln 0ln x
g x x -=
=′，解得x e =，
∴1x e <<时，()0g x '>，()g x 在()1,e 上单调递增；
x e >时，()0g x '<，()g x 在(),e +∞上单调递减， ∴当x e =时，()g x 取得极大值，也是最大值，
()()max ln e
g x g e e e
==-
=-， a e ∴≥-，
∴实数a 的取值范围是[),e -+∞.
故选：D. 【点睛】
本题考查利用导数研究不等式的恒成立问题，具体考查导数的运算法则及利用导数研究函数的最值问题，求出函数()f x 的解析式是本题的解题关键，属于中档题.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想，常见的有：()f x a >恒成立⇔()min f x a >；
()f x a <恒成立⇔()max f x a <；()f x a >有解⇔()max f x a >；()f x a <有解⇔()min f x a <；()f x a >无解⇔()max f x a ≤；()f x a <无解⇔()min f x a ≥.
二、填空题
13．已知曲线()3
f x x =在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为α，则
222sin cos sin cos cos αα
ααα
-+的值为______.
【答案】2
【解析】先求出()2
'3f x x =和tan '(1)3f α==，再求222
sin cos sin cos cos αα
ααα
-+即可. 【详解】
解：因为()3f x x =，所以()2
'3f x x =，所以tan '(1)3f α==，
所以22222
sin cos tan 1312sin cos cos tan 131
ααααααα---===+++ 故答案为：2 【点睛】
本题考查导数的几何意义、斜率的定义、齐次式法求值，是中档题.
14．函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线
10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则
12
m n
+的最小值等于__________. 【答案】8
【解析】由题意可得定点(2,1)A --，21m n +=，把要求的式子化为44n m m n
++，利用基本不等式求得结果． 【详解】 解：
()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠
令31+=x 解得2x =-，则()log 2311a y =-+-=-
即函数过定点(2,1)A --，又点A 在直线10mx ny ++=上，21m n ∴+=， 则
12242444428m n m n n m n m
m n m n m n m +++=+=+++=，当且仅当4n m m n = 时，
等号成立， 故答案为：8． 【点睛】
本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为44n m
m n
++，是解题的关键，属于基础题．
15．已知偶函数()f x 的图象经过点(1,2)-，且当0a b <时，不等式()()
f b f a b a
-<-恒成立，则使得(1)2f x -<成立的x 的取值范围是_________． 【答案】(0,2)
【解析】抽象函数不等式考虑函数的单调性，根据已知可得()f x 在(,0]-∞单调递减，又()f x 是偶函数，因此()f x 在[0,)+∞单调递增，(1)2f -=，可将不等式转化为自变量关系，即可求解. 【详解】
因为当0a b <时，不等式
()()
0f b f a b a
-<-恒成立，
则()()f b f a <，所以函数()f x 在区间(,0]-∞上单调递减， 又因为()f x 的图象经过点(1,2)-，所以(1)2f -=， 又因为()f x 为偶函数，()f x 在[0,)+∞单调递增， 所以(1)2f x -<等价于(1)(1)(1)f x f f -<-=， 所以|1|1x -<，解得02x <<． 故答案为：(0,2). 【点睛】
本题考查抽象函数不等式，应用函数的单调性和奇偶性是解题的关键，意在考查逻辑推理、数学运算能力，属于中档题．
16．设ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
222(cos cos )b a a B b A -=+，ABC 的周长为1)，则ABC 面积的最大值
为______． 【答案】
254
【解析】利用余弦定理结合已知条件，求得B ，再由ABC 的周长为1)，利用均值不等式即可求得ac 的最大值，则问题得解. 【详解】
因为2
2
2
(cos cos )b a a B b A -=+，
故可得2
22222222
22a c b c b a b a a b ac bc ⎛⎫+-+--=⨯+⨯ ⎪⎝⎭
即()()
2
2222
42b a c c -⨯=，整理得222a c b +=，故可得2
B π
=
.
又三角形为直角三角形，故可得1)a c +=
即1)≤，解得25
2
ac ≤，当且仅当a c =时取得最大值. 则其面积12524S ac =
≤
.故三角形ABC 面积的最大值为25
4. 故答案为：254
. 【点睛】
本题考查正弦定理的综合应用，以及利用均值不等式求最值，属综合中档题.
三、解答题
17．已知2:7100p x x -+<，22:430q x mx m -+<，其中0m >．
()1若3m =，且p q ∧为真，求x 的取值范围；
()2若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）35x << （2）
5
23
m ≤≤ 【解析】（1）分别解出关于p ，q 的不等式，根据p q ∧为真，p ，q 都为真，求出x 的范围即可；
（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，其逆否命题为p q ⇒，求出m 的范围即可． 【详解】
解：由27100x x -+<，解得25x <<，所以:25p x <<；
又22430x mx m -+<，因为0m >，解得3m x m <<，所以:3q m x m <<． （1）当3m =时，:39q x <<， 又p q ∧为真，p ，q 都为真，25
39
x x <<⎧∴⎨<<⎩
解得35x <<．
所以x 的取值范围为(3,5)．
（2）由q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，即q p ⌝⇒⌝，p q ⌝≠>⌝，(≠>表示“推不出”
)
其逆否命题为p q ⇒，q p ≠>， 由于:25p x <<，:3q m x m <<，
所以2350
m m m ⎧⎪⎨⎪>⎩
，∴5
23m ． ∴实数m 的取值范围为5,23⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
【点睛】
本题考查了充分、必要条件，考查复合命题的判断，属于中档题． 18．ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，若
sin sin sin a c B
b c A C
-=-+. (1)求角A ； (2)若22()cos ()sin ()f x x A x A =+--，求()f x 的单调递增区间. 【答案】（1）60︒；（2）[,]2
k k π
ππ+，k Z ∈.
【解析】【详解】 （1）
sin sin sin a c B b
b c A C a c
-==
-++, 可得2
2
2
1,cos 2
b c a bc A +-=∴=
， 0180,60A A ︒<<︒=.
(2)利用降幂公式1cos(22)1cos(22)
()22
x A x A f x ++--=
-
cos(22)cos(22)
2x A x A ++-=
1cos 2cos 2cos 22
x A x ==-,
()f x 的单调递增需满足，
222()k x k k Z πππ+∈，得()2
k x k k Z π
ππ+
∈，
故()f x 的单调递增区间为[,]2
k k π
ππ+，k Z ∈.
19．函数(
)2
lg 34y x x
=-+的定义域为M ，函数()()14
2x
x f x x M +=-∈．
（1）求函数()f x 的值域； （2）当x M ∈时，关于x 方程()1
42
x
x b b R +-=∈有两不等实数根，求b 的取值范围．
【答案】（1）[)()1,048,-⋃+∞（2）()1,0-
【解析】（1）由2.340x x -+>，求得x 的范围可得{3M x =>或1}x <；令2x t =，则
8t > 或02t <<，故2()()(1)11f x g t t ==---，可得函数()f x 的值域．
（2）由题意可得函数2
2y t t =- 的图象和直线y b =有2个交点，数形结合可得b 的
范围． 【详解】
解：（1）由2340x x -+>，解得3x >，或1x <，
{31}x M x ∴=<>或，令2x t =，则8t >或02t <<．
则()()2
2
2(1)1f x g t t t t ==-=--，
当8t >时，()2
(1)148g t t =-->；
当02t <<时，()[)2
(1)11,0g t t =--∈-．
所以值域为[)()1,048,-⋃+∞ （2）
142()x x b b R +-=∈有两不等实数根，
∴函数22y t t =-的图象和直线y b =有2个交点，
数形结合可得，10b -<<， 即b 的范围()1,0-．
【点睛】
本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，二次函数的性质，体现了转化以及数形结合的数思想，属于中档题．
20．在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
2
2sin 1cos22
A B
C +=-. （1）求出角C 的大小；
（2）若ABC ，求ABC 的周长的最小值. 【答案】（1）
3
π
；（2）6 【解析】（1）利用二倍角公式对已知的三角函数式化简，即可求出C 的大小； （2）根据三角形的面积公式可得ab 的值，再根据余弦定理及基本不等式可得周长的最小值. 【详解】 （1）由2
2sin
1cos22
A B
C +=-可得2cos212sin cos()cos 2
A B
C A B C +=-=+=-，
∴2
2cos cos 10(2cos 1)(cos 1)0C C C C +-=⇒-+=，
解得1
cos 2
C =或cos 1C =-， ∵0C π<<，∴1cos ,23
C C π
==.
（2）∵11sin sin 223
ABC S ab C ab π
∆===4ab =.
根据余弦定理可得
222222cos 24c a b ab C a b ab ab ab ab =+-=+--==，
∴2c ，当且仅当2a b ==时取等号，
24a b ab +==，当且仅当2a b ==时取等号，
∴ABC 的周长6a b c ++，故周长的最小值为6. 【点睛】
本题考查三角恒等变换、三角形的面积公式、余弦定理、基本不等式，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数()()211
122
x f x ax ax x e =
-+-. （1）若直线()f x 在点()()
0,f x 处切线方程为1y x =+，求实数a 的值； （2）若函数()f x 有3个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2a =-；（2）(2,)e +∞. 【解析】（1）求出导函数1
(0)2
f a '=-
，根据题意利用导数的几何意义可得
1
(0)12
f a '=-=，求解即可.
（2）将函数转化为1()(1)2x f x x ax e ⎛⎫
=--
⎪⎝⎭
，从而可得方程102x ax e -=有2个不
为1的不等实数根，然后分离参数后则有函数y a =与2()(0)x
e
y h x x x
==≠图象有两
个交点，利用导数画出()h x 的简图，利用数形结合即可求解. 【详解】 （1）因为211
()(1)22
x f x ax ax x e =-+-， 得11
()(1)22
x x x f x ax a e x e ax a xe '=--+-=--， 所以1(0)2
f a '=-
. 因为曲线在点(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+， 所以1
(0)12
f a '=-
=，即2a =-. （2）21111()(1)(1)(1)(1)2222x x x f x ax ax x e ax x x e x ax e ⎛⎫=
-+-=-+-=-- ⎪⎝⎭
， 所以()f x 有一个零点1x =. 要使得()f x 有3个零点，即方程
1
02
x ax e -=有2个不为1的不等实数根， 又方程120(0)2x x
e ax e a x x -=⇔=≠，令2()(0)x e h x x x
=≠，
即函数y a =与()y h x =图象有两个交点，
令22
222(1)()0x x x xe e e x h x x x --'===，得1x =. ()h x 的单调性如表：
()h x
极小值
当0x <时，()0h x <，又(1)2h e =， 可作出()h x 的大致图象，由图象得2a e > 所以，要使得()f x 有3个零点， 则实数a 的取值范围为(2,)e +∞. 【点睛】
本题考查了导数的几何意义、导数在研究函数零点中的应用，考查了数形结合的思想以及转化与化归的思想，属于难题. 22．已知函数()()2
1ln 2
f x x ax x a R =
-+∈. （1）当函数()f x 在()1,3内有且只有一个极值点，求实数a 的取值范围； （2）若对于0x >，不等式()()2
2221f x x a x ++≤+恒成立，求整数a 的最小值.
【答案】（1）102,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
；
（2）a 的最小值为2. 【解析】（1）由函数()f x 的导函数1
()f x x a x '=-+
，设1()()h x f x x a x
'==-+， ()f x 在(1,3)内有且只有一个极值点等价于'(1)0
'(3)0
f f <⎧⎨>⎩，即可求出a 的取值范围；
（2）由2
2()22(1)f x x a x ++≤+分参可得，2
2ln 22
2x x a x x
++≥
+，
设2
2ln 22
()2x x g x x x
++=
+，利用导数判断函数()g x 的单调性，求出最值，即可得出a 的取值范围，进而求出整数a 的最小值. 【详解】
（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，1()f x x a x
'=-+， 令1()()h x f x x a x
'==-+
，（(1,3)x ∈） 则22
1
'()()0x h x f x x
-'==>，（(1,3)x ∈） 所以1
()f x x a x '=-+
在(1,3)x ∈单调递增 函数1
()f x x a x
'=-+在(1,3)内有且只有一个零点，
满足'(1)0'(3)0f f <⎧⎨>⎩，即1101
130
3a a ⎧-+<⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩
，
解得1023
a <<
， 故实数a 的取值范围为102,
3⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2）2
2()22(1)f x x a x ++≤+，可以变形为(
)
2
2ln 222x x a x x ++≤+，因为
0x >，可得2
2ln 22
2x x a x x
++≥
+， 设2
2ln 22()2x x g x x x ++=+，()
222(1)(2ln )
()2x x x g x x x -++'=+. 设()2ln ,()h x x x h x =+在(0,)+∞单调递增，
112ln 2022h ⎛⎫
=-+< ⎪⎝⎭
，(1)10h =>.
故存在一点0(0.5,1)x ∈，使得()00h x =，
当00x x <<时，()0h x <，()0g x '>，函数()g x 单调递增； 当0x x >时，()0h x >，()0g x '>函数()g x 的最大值为()0g x ，
且002ln 0x x +=，
()00max 02
0002ln 221()2x x g x g x x x x ++==
=+，可知01a x ≥，又0
1
(1,2)x ∈， 可得整数a 的最小值为2. 【点睛】
本题主要考查函数存在极值的条件应用，以及函数不等式恒成立问题的解法应用，利用导数求函数的最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，是偏难题.。