高中数学第4章指数函数与对数函数章末梳理课件新人教A版必修第一册

(5)指数函数的图象和性质
一般地，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)的图象与性质如下表所示.
a>1
0<a<1
图象
定义域
R
值域 性质
a>1
0<a<1
____(0_，__＋__∞__)___
过定点____(_0_,1_)_____
当 x>0 时，y>1；
当 x>0 时，0<y<1；
当 x<0 时，0<y<1
第四章 指数函数与对数函数
章末梳理
知识结构·理脉络 要点梳理·晰精华 素养突破·提技能
知识结构·理脉络
要点梳理·晰精华
a，n为奇数， (1)根式及其性质：n an＝__|a_|，__n_为__偶__数___. (2)指数运算性质： ______(_a_b_)_r＝__a_r_b________；aras＝ar＋s，(ar)s＝ ars.(a>0，r，s∈R) (3)对数运算性质：loga(MN)＝logaM＋logaN；logaMN ＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM.(a>0，且 a≠1，M>0，N>0，n∈R) (4)换底公式：logab＝llooggccba.(a>0，且 a≠1；b>0；c>0，且 c≠1)
解得－3<x<1，所以定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为 f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x ＋1)2＋4]．
因为－3<x<1， 所以 0<－(x＋1)2＋4≤4. 因为 0<a<1， 所以 loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4. 由 loga4＝－2，得 a－2＝4，
(2)由(1)可知 x＝100，则有 y＝
－1≤y0＝6.39.
即
≤7.39≈e2，可得1＋ln10t＋1≤2
整理得 ln(t＋1)≥4＝ln e4，则 t≥e4－1≈53.60
即：至少需要投入 53.60 万元环境治理费才满足要求．
[归纳提升] 建模的三个原则 (1)简化原则：建立模型，要对原型进行一定的简化，抓主要因素、 主变量，尽量建立较低阶、较简便的模型． (2)可推演原则：建立的模型一定要有意义，既能对其进行理论分 析，又能计算和推理，且能推演出正确结果． (3)反映性原则：建立的模型必须真实地反映原型的特征和关系，即 应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明现实问题的功能， 能回到具体研究对象中去解决问题．
当 x>1 时，y<0； 当 0<x<1 时，y>0
在___(0_，__＋__∞__)____上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
(7)指数函数与对数函数的关系
对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与指数函数____y_＝__a_x_(_a_>_0_且__a_≠_1_)____ 互为反函数，其图象关于直线___y_＝__x__对称
山．绿水青山就是金山银山．”某精细化工厂在生产时，对周边环境有
较大的污染，该工厂每年的利润 f(x)(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系
－0.1x2＋20x－700x>60 为：f(x)＝4x－1000<x≤60
(1)求该工厂利润最大时的年产量 x(吨)的值，并求出最大利润； (2)某项环境污染物指数 y(ppm)与年产量 x(吨)和环境治理费 t(万元)
(2)把指数不等式转化成对数不等式，再转化成整式不等式即可得 解．
[解析] (1)当 0<x≤60 时，f(x)＝4x－100≤f(60)＝140，
当 x>60 时，f(x)＝－0.1x2＋20x－700＝－0.1(x－100)2＋300≤300，
综上可知 f(x)max＝f(100)＝300(万元)；即年产量 100(吨)时，有最大利 润 300 万元；
核心素养
直观想象
典例 2 函数y＝2log4(1－x)的图象大致是( C )
[解析] 方法一：当x＝0时，y＝0，故可排除选项A，由1－x>0，得 x<1，即函数的定义域为(－∞，1)，排除选项B，又易知函数在其定义域 上是减函数．
方法二：函数y＝2log4(1－x)的图象可认为是由y＝log4x的图象经过 如 下 步 骤 变 换 得 到 的 ： (1) 函 数 y ＝ log4x 的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变．纵坐标变为原来的2倍，得到函数y＝2log4x的图象；(2)把函数y＝ 2log4x关于y轴对称得到函数y＝2log4(－x)的图象；(3)把函数y＝2log4(－x) 的图象向右平移1个单位，即可得到y＝2log4(1－x)的图象．
[归纳提升] 弄清所给函数与基本函数的关系，恰当选择平移、对 称等变换方法，由基本函数图象变换得到函数图象．
核心素养
逻辑推理
典例 3 函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1)． (1)求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的最小值为－2，求a的值． [解析] (1)要使函数有意义，则有x1＋－3x>>00，，
当 x<0 时，y>1
在(－∞，＋∞)上是_增___函数 在(－∞，＋∞)上是__减__函数
(6)对数函数的图象和性质 a>1
0<a<1
图象
定义域 值域
____(_0_，__＋__∞_)___ R
a>1
0<a<1
图象过定点_____(1_,_0_)____
当 x>1 时，y>0； 性质
当 0<x<1 时，y<0
素养突破·提技能
核心素养 典例 1 计算求值：
数学运算
[分析] (1)直接利用指数幂的运算化简求值； (2)利用对数的运算化简求值．
[解析] (1)原式＝
＋(22)1.5－|π－4|＝10＋8－(4－π)＝14＋π.
(2)原式＝2log23×2log32＋2(1＋log52)＋log514
＝4＋2＋2log52－2log52＝6.
[归纳提升] 指数、对数的运算应遵循的原则 (1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根 式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解 以达到约分的目的． (2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价， 熟练地运用对数的运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、 化简、证明的常用技巧．
[归纳提升] 指数函数、对数函数、幂函数是使用频率非常高的基 本初等函数，它们经过加、减、乘、除、复合、分段构成我们以后研究 的函数，使用时则通过换元、图象变换等分段化归为基本的指数、对 数、幂函数的性质进行逻辑推理求解．
核心素养
数学建模
典例 4 习近平总书记指出：“我们既要金山银山，更要绿水青
之间的关系为：y＝
－1.其中 y0＝6.39 ppm 为污染物指数安全线．该
工厂按利润最大时的年产量进行生产，同时环境污染物指数不能超过安
全线，则至少需要投入多少万元环境治理费？
参考：e＝2.718 18…，e2≈7.39，e3≈20.09，e4≈54.60，ppm 是百万
分比浓度．
[分析] (1)分别在两个区间(0,60]和(60，＋∞)求函数的最大值，两 个最大值之中的较大者为分段函数f(x)的最大值；