公务员考试资料 数学部分

08省考数学运算方法论
一、未知数的设计
未知数的设计要考虑以什么为等量值，设什么为x这两个关键问题。

考试要求：快速寻找等量值，建立方程；设变化的基本数为x。

（一）变未知为已知
1、一辆汽车从Ａ地开往Ｂ地，如果每小时行80千米，可提前0.5小时到达；如果每小时行60千米，将晚点0.5。

问正点到达需要多少小时？
解：根据AB两地路程是个等量值，设正点到达需要x小时，则：
80×(x-0.5)=60×(x+0.5)
20x=70 x=3.5
2、一架飞机所带燃料最多可用6小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，飞回时逆风，每小时可飞1200千米。

那么这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞了？
解：根据来回路程相等，设这架飞机顺风飞行了x小时，可得：
1500x=1200×(6-x)
x=8/3 1500×8/3=4000千米
3、五年级有甲乙两个班，甲班有56人，乙班有30人，从甲班调出几人到乙班，就能使乙班人数比甲班的2倍少10人？
解：设从甲班调x人到乙班，可得：
30+x=(56-x)×2-10
x=24
4、一个两位数，十位数字是个位数字的２倍，将这个两位数的个位数字与十位数字调换，得到一个新的两位数，这两个两位数的和是132，求原数。

解：一个两位数可表示为ab,则有ab=10×a+b
设要求的两位数的个位数是x，则十位数就是2x,可得：
（2x×10+x）+(10x+2x)=132
x=4 2x=8，因此，原来的两位数是84。

5、甲乙两种商品成本共200元。

甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价，后来两种商品都按定价的90%出售，结果仍获利27.7元。

甲乙两种商品的成本各是多少元？解：设甲商品的成本为x元，则乙商品的成本为200-x元。

可得：
[(1+30%)x+(1+20%)×(200-x)]×90%=200+27.7
x=130 因此甲商品定价为130元，乙商品为70元。

（二）变已知为未知
１、计算1234567890/(1234567891^2-1234567890×1234567892)
解：设a=1234567891,可得：
分母部分＝a^2-(a-1)×(a+1)=1
因此原式＝1234567890
2、计算：(1+1/2+1/3+1/4)×(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1+1/2+1/3+1/4+1/5)×(1/2+1/3+1/4)
解：设a=1/2+1/3+1/4,b=1/2+1/3+1/4+1/5,则原式为：
(1+a)×b-(1+b)×a=b-a
所以，原式＝(1/2+1/3+1/4+1/5)-(1/2+1/3+1/4)=1/5
3、计算：9876543*3456789-9876544*3456788
解：设x=9876543 y=3456788,则可得：
x(y+1)-(x+1)y=x-y=9876543-3456788=6419755
4、计算：341*349+342*348-343*347-344*346
解：设a=345,则可得：
(a-4)(a+4)+(a-3)(a+3)-(a-2)(a+2)-(a-1)(a+1)
=-20
5、已知a/2=b/3=c/4=200320022001,求(3a+b-2c)/(c-b+a)的值。

解：设x=200320022001,则a=2x,b=3x,c=4x
原式可变为：(3*2x+3x-2*4x)/(4x-3x+2x)=1/3
（三）只设不求法
１、某次数学竞赛，原设一等奖10名和二等奖20名，后经调整，把一等奖的后4名列为二等奖。

这样，一等奖的平均分提高了3分，二等奖的平均分提高了1分。

原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？
解一：设原来一等奖的平均分为x分，二等奖的平均分为y分，根据调整前后这30名获奖学生的总分不变，可得方程：
10x＋20y＝（x+3）×（10-4）＋（y+1）×(20+4)
化简得：4x-4y=42,即x-y=10.5
解二：可用平均数特征解
２、两镇之间的公路长除了上坡就是下坡，客车上坡每小时１５公里，下坡每小时３０公里，客车在两镇之间往返一次共需４小时。

两镇间的公路长多少公里？
解：设去时上坡为x公里，下坡为y公里；那么返回时上坡为y公里。

两镇间的公路长为(x+y)公里。

以往返一次需４小时为等量关系式，可得方程：（x/15+y/30）+(y/15+x/30)=4,化简得：（x+y）/10=4,即x+y=40
3、有一条马路正按一定时间和速度进行铺设。

当铺设到马路的3/4时，改变了铺设计划，铺设的速度增加了1/8，而每天铺设的时间减少了1/3，结果这条马路共用13天铺设完。

原计划铺设多少天？
解：设铺设的马路长x公里，原来每天铺设y公里，那么原定时间共x/y天。

可得方程：(3/4x)/y+(1/4x)/y×(1+1/8)×(1-1/3)=13
化简得：x/y=13×12/13,即x/y=12
5、一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12小时完成。

现在先由甲丙两人合作翻译4小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12小时才能完成，则，这篇文章如果全部由乙单独翻译，要（）小时能够完成。

A．15 Ｂ．18 Ｃ．20 Ｄ．25
二、整数性质的巧妙利用
（一）利用整数的整除性或带余除法
１．某校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长 2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业生数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：A ．3920人 B ．4410人 C ．4900人 D ．5490人
2 ．某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分
比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：
A ．84 分
B . 85 分
C . 86 分
D . 87 分
３．甲、乙两个容器均有50 厘米深，底面积之比为5 : 4，甲容器水深9 厘米，乙容器水深5 厘米．再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是：A．20厘米 B . 25厘米 C . 30厘米 D .35厘米
4．有一食品店某天购进了6箱食品，分别装着饼干和面包，重量分别为8、9、16、20、22、27公斤。

该店当天只卖出一箱面包，在剩下的5箱中饼干的重量是面包的两倍，则当天食品店购进了（）公斤面包。

A．44 Ｂ．45 Ｃ．50 Ｄ．52
（二）带余除法的应用
结论一：甲、乙两数，如果被同一除数来除，得到两个余数，那么甲、乙两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

例如，57被13除余5，152被13除余9，那么57+152=209被13除，余数是5+9=14被13除余1。

结论二：甲、乙两数被同一除数来除，得到两个余数。

那么甲、乙两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积，被这个除数所得的余数。

例如，37被11除余4，27被11除余5，37×27=999被11除的余数是4×5=20被11除后的余数9。

1997=7×285+2，就知道1997×1997被7除的余数是2×2=4。

1、19971997被7除余几？
解：从上面的结论知道，19971997被7除的余数与21997被7除的余数相同。

我们只要考虑一些2的连乘，被7除的余数。

数的序号一二三四五六七八
数 2 4 8 16 32 64 128 256
被7除的余数 2 4 1 2 4 1 2 4
1997=3×665+2
就知道21997被7除的余数，与22被7除的余数相同，这个余数是4。

2、某个七位数1993□□□能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除，那么它的最后三个数组成的三位数是多少？
与上例题一样，有两种解法。

解一：从整数特征考虑。

这个七位数的最后一位数字显然是0。

另外，只要再分别考虑它能被9，8，7整除。

1+9+9+3=22，要被9整除，十位与百位的数字和是5或14，要被8整除，最后三位组成的三位数要能被8整除，因此只可能是下面两个数：1993320，1993680，
其中只有1993320能被7整除，因此所求的三位数是320。

解二：直接用除式来考虑。

2，3，4，5，6，7，8，9的最小公倍数是2520，这个七位数要被2520整除。

现在用1993000被2520来除，1993000÷2520=79余2200，因为2520-2200=320，所以
1993000+320=1993320能被2520整除。

（三）利用整数的尾数特征
1、56.72+167.38-37.51-4.02=
A、155.63
B、182.57
C、167.34
D、190.41
2、共有20 个玩具交给小王手工制作完成．规定，制作的玩具每合格一个得5 元，不合格一个扣2 元，未完成的不得不扣．最后小王共收到56 元，那么他制作的玩具中，不合格的共有（）个。

A．2 B . 3 C . 5 D .7
（四）利用公约数公倍数特征
1．将长200厘米，宽120厘米，厚40厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，共有多少种不同的锯法？当正方体的边长是多少时，锯成的小木块的体积最大，共有多少块？
2．小明和小强参加者同一次考试，如果小明答对的题目总数的3/4，小强答对了27道题，他们两人都答对的题目占题目总数的2/3，那么两人都没有答对的题目共有：
A．3道Ｂ．4道Ｃ．5道Ｄ．6道
3．某工程由小张、小王两人合作刚好可在规定的时间内完成。

如果小张的工作效率提高20%，那么两人只需要用规定时间的9/10就可以完成工程；如果小王的工作效率降低25%，那么两人就需延迟2.5小时完成工程。

问规定的时间是多少小时？
A．20 Ｂ．24 Ｃ．26 Ｄ．30
4．有一商店出售一种由同样钱数的甲、乙两种茶叶混合的茶，其中甲种茶叶每50克6元，乙种茶叶每50克4元，问这种混合茶叶每50克成本是多少元？
解：6与4的最小公倍数是12．
价值12元的混合茶中含甲种茶叶12÷6=2，含乙种茶叶12÷4=3；每50克混合茶成本12×2÷（2+3）=4.8元．
（五）利用平均数特征
1．小丽期末考试中语文、数学、英语、自然常识四科平均分数是89分，其中语文比数学少4分，数学比英语多5分，英语比自然常识少6分，问这四科成绩各是多少分？
解：以英语分数为基准数．自然常识比英语多6分，数学比英语多5分，语文比英语多5—4=1分．英语分数为
〔89×4－（5-4）-5-6〕÷4=86（分）．
这样可分别求出语文87分，数学91分，自然常识92分．
2．A、B、C三个学生各拿出相同的钱买同样的铅笔．结果A、B两个学生比C各多买了3根铅笔，因此他俩又分别给了C0.25元，问每根铅笔的价钱是多少元？
0.25÷（3—3×2÷3）=0.25（元）．
3．某次数学竞赛原定一等奖6人，二等奖12人，现在将一等奖中最后3人调整为二等奖，这样得二等奖的学生平均分提高了1分，得一等奖的学生平均分提高了4分，那么原来一等
奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？
解：一等奖平均分数提高了4分，共提高了4×3=12分，二等奖平均分提高了1分，共提高了1×15=15分，这两项加起来共提高了12＋15=27分，这27分是一等奖中最后3人调整为二等奖的平均分数下降的总和，所以原来一等奖比二等奖的平均分数高27÷3=9分．
4．某次数学竞赛，原设一等奖10名和二等奖20名，后经调整，把一等奖的后4名列为二等奖。

这样，一等奖的平均分提高了3分，二等奖的平均分提高了1分。

原来一等奖的平均分比二等奖的平均分高多少分？
５．排成一排的13个皮包的平均价格为130元，前8个皮包的平均价格为140元，后8个皮包的平均价格为90元，问中间3个皮包的平均价格是多少元?
A．120 B．100 C．80 D. 50
解：（140×8+90×8-130×13）÷3=50，所以中间均价50
6．把自然数1，2，3，4，5……98，99分成三组，如果每组数的平均数恰好相等，那么此平均数为：
A、55
B、60
C、45
D、50
三、巧用比例关系
（一）配比法的使用
1.20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？
解：20％比15％多（20％-15％），5％比15％少（15％-5％），多的含盐量
（20％-15％）×20％所需数量要恰好能弥补少的含盐量（15％-5％）×5％所需数量.也就是（20％-15％）×20％x＝（15％-5％）×5％y
相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
X:y=2:1
答：需要浓度20％的600克，浓度5％的300克.
2.甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为6
3.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？
解：原来混合时甲、乙数量之比是
甲/乙＝(62-58)/(72-62)=2/5
后一次混合，甲、乙数量之比是甲/乙＝(63.25-58)/(72-63.25)=3/5
可得(2x+15)/(5x+15)=3/5 x=6
则第一次混合时，甲乙各取12、30升
3．某次数学测验，男生的平均分为80分，女生的平均分为88分，男女生的平均分为86分。

参加数学测验的女生人数是男生人数的多少倍？
解一：设参加数学测验的男生有x人，女生有y人。

可得方程：80x+88y=86×(x+y)
化简得：2y=6x,即y/x=3
解二：配比法
(86-80)/(88-86)=3
4.某次考试，五年级男生的平均成绩比年级平均分高0.5分，女生的平均分比年级平均分低0.4分，求男女生人数之比。

解一：设男生有x人,女生有y人，年级平均分为a分。

可得：
[(a+0.5)x+(a-0.4)y]/(x+y)=a 0.5x=0.4y
x:y=4:5
解二：配比法
X:y=0.4:0.5
5．浓度为70%的酒精溶液100克与浓度为20%的酒精溶液400克混合后得到的酒精溶液的浓度是多少？
A、30%
B、32%
C、40%
D、45%
(二)比例关系“１”的应用
1．一组割草人要把两块草地的草割掉，大的一块草地比小的一块大一倍。

全体组员用半天时间割大的一块，下午他们便对半分开，一半组员仍留在大块草地上，到傍晚时把草割完了。

另外一半组员到小草地上割草，到傍晚时还剩下一块，这块由一个割草人又用了一天时间才割完。

假若每人割草的进度都相同，这组割草人共有多少？
2.某商店进了一批笔记本，按30％的利润定价.当售出这批笔记本的80％后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售.问销完后商店实际获得的利润百分数是多少？
解：设这批笔记本的成本是“1”.因此定价是1×（1+ 30％）＝1.3.其中
80％的卖价是 1.3×80％，20％的卖价是1.3÷2×20％.
因此全部卖价是 1.3×80％＋1.3 ÷2×20％＝ 1.17.
实际获得利润的百分数是 1.17－1＝0.17＝17％.
答：这批笔记本商店实际获得利润是17％.
3．有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，并且可以互换，轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米，问使用两个新轮胎，这辆自行车最多可以行多远？
把一个车轮的使用寿命看作单位“1”，则每行1千米，前轮被使用了1/5000，后轮被使用了1/3000，这样用两个轮子的寿命2÷(1/5000+1/3000)=3750(千米)
4．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？
(三)比例关系的等量值
1. 甲、乙、丙三人沿着400米环形跑道进行800米跑比赛，当甲跑1圈时，乙比甲多跑1/7圈，丙比甲少跑1/7圈。

如果他们各自跑步的速度始终不变，那么，当乙到达终点时，甲在丙前面( )。

A.85米
B.90米
C.100米
D.105米
2.某商场推出买400送200活动，在搞活动前，商场先将所有商品价格上调20%.问消费者实际上享受的价格相当于原价打几折？
3.甲班与乙班同学同时从学校出发去某公园，甲班步行的速度是每小时4千米，乙班步行的速度是每小时3千米。

学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一
个班的学生。

为了使这两班学生在最短的时间内到达，那么，甲班学生与乙班学生需要步行的距离之比是：（）
A.15：11
B.17：22
C.19：24
D.21：27
4、有块手表每小时比一只闹钟快30秒，而这只闹钟又比一只石英钟每小时慢30秒，如果8点钟时将手表和石英钟都对准8点，那么，当石英钟12点时，手表显示的时间是几点几分？
四、巧用和差倍关系
和、差倍问题是已知大小两个数的和（或差）与它们的倍数关系，求大小两个数的值。

（和+差）÷2=较大数（和－差）÷2=较小数
1．光明小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，现知道五、六年级共有25幅画，求其它年级的画共有多少幅?
答：由“其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的”可知五年级比六年级多16-15=1（幅）画，又知“五、六年级共有25幅画”，根据和差问题的数量关系可知五年级有（25+1）÷2=13（幅）画，因此，其它年级的画共有16-13=3（幅）。

2. 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同每个男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等等，最后一个到会的女生和7个男生握过手，那么这50名学生中有几名男生?
答：从题目中已经知道参加联欢会的男生和女生共有50名。

因此，如果能知道男生人数与女生人数的差，即可按和差问题的数量关系求出男生有多少人。

我们不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。

也就是说：最后一个到会的女生同7个男生握过手；倒数第二个到会的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9个男生握过手，如此等等，第一个到会（即倒数最后一个）的女生同全部男生握过手。

由此，立即可知，男生人数比女生的人数多6个人。

因此，男生人数为（50+6）÷2=28（人）
3．甲、乙、丙共有100本课外书。

甲的本数除以乙的本数，丙的本数除以甲的本数，商都是5，余数也都是1。

那么乙有多少本书？
分析：可以这样理解，“甲、乙、丙3个数是100，甲是乙的5倍多1，丙是甲的5倍多1，求甲、乙、丙各是几？”。

即：乙是1倍；甲是乙的5倍多1；丙是乙的（5×5）倍多（1×5＋1）6。

那么100减去（1＋6）的差对应（1＋5＋5×5）倍，这样可求出乙是多少。

解：［100－1－（1×5＋1）］÷（1＋1×5＋1×5×5）＝91÷31＝3（本）。