格蕴涵代数中的零化子

格蕴涵代数中的零化子
赵建彬;朱华;陈树伟
【摘要】The notion of an annihilator in lattice implication algebras was proposed. An annihilator was proved to be an ideal and an 5/ ideal. Then the special characteristics of the annihilator was obtained. The relationships between an annihilator and an ideal, between an annihilator and an si ideal, between an annihilator and the lattice implication homomorphism image of the annihilator were discussed, respective-rnly-%在格蕴涵代数中,首先提出了零化子的概念,证明了零化子是理想和sl理想.然后,讨论了零化子的特殊性质.最后,讨论了零化子与理想、sl理想和零化子的格蕴涵同态像之间的关系.
【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2012(044)002
【总页数】4页(P35-38)
【关键词】格蕴涵代数;零化子;理想
【作者】赵建彬;朱华;陈树伟
【作者单位】郑州大学数学系河南郑州450001;郑州大学数学系河南郑州450001;郑州大学电气工程学院河南郑州450001
【正文语种】中文
【中图分类】O153
0 引言
为了建立一个可以进行知识表达和推理的逻辑系统，1993年,徐扬[1] 将格与蕴涵代数相结合,提出了格蕴涵代数的概念，并讨论了其性质.此后，许多学者对格蕴涵代数进行了大量的研究工作[2-12].例如，Jun等 [13] 提出了格蕴涵代数中的 LI-理想的概念，并研究了其性质.Liu等[4]提出了格蕴涵代数中的ILI-理想与最大LI-理想的概念，研究了它们的性质，并得到了ILI-理想的扩张原理.2006年，朱华等[9]提出了格蕴涵代数中的素理想与准素理想的概念，并研究了它们的性质及它们之间的关系．2008年，Pan等[14]讨论了格蕴涵N-序半群与格蕴涵P-序半群中sl理想的性质．作者基于以上工作，在格蕴涵代数中提出了零化子的概念，证明了零化子是理想和sl理想,并讨论了零化子的特殊性质及零化子与理想、sl理想和零化子的格蕴涵同态像之间的关系.
1 预备知识
定义1[1] 设(L,∧,∨,′)是一个有泛界O，I的有余格,≤是L上的偏序关系,若映射→:L×L→L满足: 对任意x,y,z∈L,
(I1)x→(y→z)=y→(x→z)；
(I2)x→x=I；
(I3)x→y=y′→x′；
(I4)若x→y=y→x=I，则x=y；
(I5)(x→y)→y=(y→x)→x；
(l1)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z)；
(l2)(x∧y)→z=(x→z)∨(y→z)；
则称(L,∧,∨,′,→,O,I)是一个格蕴涵代数(简记为L).若它还满足：x∨y∨((x∧y)→z)=I,则称(L,∧,∨,′,→)是一个格H蕴涵代数.
定义2[15] 设L是格蕴涵代数，A是L的非空子集，若A满足：①O∈A；②若
(x→y)′∈A,y∈A，则x∈A，称A为L的理想.
引理1[15] 设A为L的理想，如果∀x,y∈L,x≤y,y∈A，则x∈A．
定理1[15] 设Αi是L的一组理想(i=1,…,n)，则∩Ai也是L的理想.
设A⊆L，则包含A的最小理想称为由A生成的理想,记作A≻.特别地,若A={a},记
A≻=a≻.
定理2[15] 设L1和L2是格蕴涵代数,f:L1→L2是L1到L2的映射,若
∀x,y∈L1,f(x→y)=f(x)→f(y),则称f为从L1到L2的蕴涵同态.若蕴涵同态f还满足：f(x∨y)=f(x)∨f(y),f(x∧y)=f(x)∧f(y),f(x′)=(f(x))′,则称f为从L1到L2的格蕴涵同态. 若格蕴涵同态映射f是一一映射，则称f为格蕴涵同构映射.
定义3[14] 设A是L的非空子集,如果①AL,LA⊆A; ②∀a∈A,b∈L,如果b≤a，则
b∈A; ③∀a,b∈A,a∨b∈A,则称A是L的sl理想.
格蕴涵代数L中，∀x,y,z∈L,有以下结论[15]：
①x→y≤(y→z)→(x→z),x→y≤(z→x)→(z→y);②若x≤y，则
y→z≤x→z,z→x≤z→y;③x∨y=(x→y)→y.
2 格蕴涵代数中的零化子
定义4 设L是格蕴涵代数,B是L的非空子集,如果B*={x∈L|∀b∈B,x∧b=O},则称B*为B的零化子.
例1[15] 设L={0,a,b,c,d,1}是图1所示的偏序集.定义L上的余运算
为:0′=1,a′=c,b′=d,c′=a,d′=b,1′=0.L的蕴涵运算“→”的定义见表1,则
(L,∧,∨,′,→)构成一个格蕴涵代数.
令B={0,c},则B*={0,a,d}.
例1说明格蕴涵代数中的零化子的确存在.
注显然{O}的零化子是L.
图1 L的偏序集Fig.1 Hasse diagram of L表1 L的蕴涵运算“→”Tab.1 Implication operator of L
→0abcd10111111ac1bcb1bda1ba1caa11a1db11b1110abcd1
下面给出零化子的重要性质.
定理3 设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则
∀x∈L,b∈B,x→b=x′⟺x∈B*.
证明“⟺” 因为∀x∈L,b∈B,x→b=x′,则(x→b)→x′=I,所以(b′→x′)→x′=b′∨x′=I.则x∧b=O,故x∈B*.
“⟺” ∀x∈B*,b∈B,则x∧b=O，所以(b∧x)′=b′∨x′=(b′→x′)→x′=I，故
b′→x′≤x′，b′→x′≥x′显然成立.所以b′→x′=x′,即x→b=x′.
定理4 设L是格蕴涵代数,a∈L,则∀x∈(a)*,a≤x′.
证明因为x∈(a)*,由定理3知,x→a=x′.又因为
x′∨a→(x→a)=(x′→(x→a))∧(a→(x→a))=(a′→(x′→x′))∧(x→(a→a))=I,所以
x′∨a≤x→a,则x′≤x′∨a≤x→a=x′,故x′∨a=x′，则a≤x′成立.
下面证明零化子是理想和sl理想.
定理5 设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则B*为L的理想. 证明显然O∈B*.∀x,y∈L,若(x→y)′∈B*,y∈B*,由定理3知，
∀b∈B,y→b=y′,(x→y)′→b=x→y.则
x′=I→x′=((y→b)→y′)→x′=((b′→y′)→y′)→x′=(b′∨y′)→x′=(b′→x′)∧(y′→x′)=(b′→x′)∧(x→y)
=(b′→x′)∧((x→y)′→b)=(b′→x′)∧(b′→(x→y))=(b′→x′)∧(b′→(y′→x′))=b′→x′=x →b.
由定理3知,x∈B*,所以B*为L的理想.
定理6 设L是格蕴涵代数,B为L的非空子集,若B*为B的零化子,则B*为L的sl理
想.
证明由定理5与文献[14]中的定理4.2,显然可得.
接下来给出零化子的特殊性质.
定理7 设L是格蕴涵代数,B,C是L的非空子集,则下列性质成立:①若B⊆C,则
C*⊆B*;②B⊆B**;③B*=B***;④(B∪C)*=B*∩C*.
其中,B*是B的零化子，B**表示B*的零化子.
证明①∀x∈C*,则∀c∈C,x∧c=O.因为B⊆C,所以∀b∈B,x∧b=O，则x∈B*，故C*⊆B*成立.
②∀b∈B,x∈B*,x∧b=O,则b∈B**,故B⊆B**.
③由②知,B*⊆B***,B⊆B**.由①知,B***⊆B*，所以B*=B***.
④因为B⊆B∪C,C⊆B∪C,由①知,(B∪C)*⊆B*,(B∪C)*⊆C*，则(B∪C)*⊆B*∩C*.另一方面,又因为∀x∈B*∩C*,所以x∈B*且x∈C*，则∀b∈B∪C，b∈B或b∈C,都有x∧b=O,因此x∈(B∪C)*.即B*∩C*⊆(B∪C)*，故(B∪C)*=B*∩C*.
推论1 设L是格蕴涵代数,B是L的非空子集,则B*
证明因为由定理7中④知,B*
推论2 设L是格蕴涵代数,A,B是L的非空子集,则A*∩B*⊆(A∩B)*.
证明由定理7中④知,A*∩B*=(A∪B)*.因为A∩B⊆A∪B,则由定理7中①
知,(A∪B)*⊆(A∩B)*，故A*∩B*⊆(A∩B)*.
定理8 设L是格蕴涵代数,B是L的非空子集，B≻是B的生成理想，若B≻=B≻**,则B≻=B**.
证明因为B⊆B≻,由定理7中①知，B≻*⊆B*,B**⊆B≻**,又因为B≻=B≻**,所以B**⊆B≻.
另一方面,由定理7中②知，B⊆B**,由定理5知,B**是L的理想,所以B≻⊆B**.综上,B≻=B**.
定理9 设A,B是L的非空子集,则A*∪B*≻⊆(A∩B)*.
证明因为A∩B⊆A,A∩B⊆B,由定理7中①知，A*⊆(A∩B)*,B*⊆(A∩B)*,故
A*∪B*⊆(A∩B)*.由定理5知，(A∩B)*是L的理想,故A*∪B*≻⊆(A∩B)*.
定理10 设L是格蕴涵代数,若B为L的理想,则B∩B*={O}.
证明显然O∈B∩B*.∀x∈B∩B*,则x∈B且x∈B*.所以x=x∧x=O.
下面给出零化子与理想之间的关系.
定理11 设B是L的非空子集，C为L的理想,则B∩C={O}⟺B⊆C*.
证明“⟺” 若B∩C={O},则∀x∈B，c∈C,x∧c=O.否则x∧c≠O∈B∩C与前提矛盾.所以x∈C*，即B⊆C*.
“⟺” 因为B⊆C*,则B∩C⊆C*∩C,由定理10知,C*∩C={O}.故B∩C={O}.
定理12 设B,C是L的非空子集,若C=C**,则B⊆C⟺B∩C*={O}.
证明“⟺” 由定理7知,C*是L的理想.又因为B⊆C,再由定理11知,B∩C*={O}.“⟺” 因为B∩C*={O},由定理11知,B⊆C**=C.
最后给出了零化子与其格蕴涵同态像之间的关系.
定理13 设(L,∧,∨,→,′,O,I),(L1,∧1,∨1,→1,1,O1,I1)是格蕴涵代数,B为L的非空子集,f:L→L1是格蕴涵同态,若B*是B的零化子,则f(B*)⊆f(B)*.
证明∀y∈f(B*),则∃x∈B*⊆L,使f(x)=y.又因为B*是B的零化子,所以
∀b∈B,x∧b=O，则f(x∧b)=f(x)∧1f(b)=O1，即∀z∈f(B),∃t∈B,使得f(t)=z.由
y∧1z=f(x)∧1f(t)=f(x∧t)=O1知，y∈f(B)*.故结论成立.
定理14 设L,L1是格蕴涵代数,B为L的非空子集,f:L→L1是格蕴涵同构,若B*为B
的零化子,则f(B*)=f(B)*.
证明由定理13知，f(B*)⊆f(B)*.下面只需证明f(B)*⊆f(B*).
∀y∈f(B)*，∃y1∈f(B),使y∧1y1=O1，并且∃x∈L,x1∈B，使y=f(x),y1=f(x1)，因此y∧1y1=f(x)∧1f(x1)=f(x∧x1)=O1.
因为f:L→L1是格蕴涵同构，故x∧x1=O，所以x∈B*，因此y=f(x)∈f(B*)，即f(B)*⊆f(B*).
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