运用遗传算法综合稀疏阵列

运用遗传算法综合稀疏阵列
Randy L.Haupt IEEE高级会员
摘要：大的天线阵列很难被稀疏用来获得较低的旁瓣。

对于非周期阵列的综合问题，传统的统计学方法远远达不到最优配置的要求。

传统的优化方法不适合用来优化多参数或离散参数的问题。

本文将介绍如何利用遗传算法来优化一个稀疏阵列，并在一个周期阵列上利用遗传算法来决定哪一个阵元被稀疏从而抑制阵列的最大相对旁瓣电平。

本文将呈现200个阵元的线阵和200个阵元的面阵的仿真结果，要求稀疏阵列的旁瓣电平低于-20dB，对于线阵，同时在扫描角和带宽上进行了优化。

Ⅰ简介
周期性阵列通过有目的的放置相同权值的阵元来产生幅度锥削的低旁瓣，在给定旁瓣要求的前提下利用简单的分析方法推出阵元的位置是不可能的[1]。

事实上，大部分周期阵列的分析方法都是试图将阵列区域内的阵元密度与幅度锥削的低旁瓣的振幅密度相联系起来，同时保持阵列孔径不变[2]。

阵元密度在阵列中心达到最大并逐渐向边缘稀疏，通常情况下，旁瓣电平在主瓣附近减小，而在远离主瓣的位置上增大[3]（这个通常是可接受的）。

非周期阵列的综合方法是在给定条件下达到均方旁瓣电平或是最大相对旁瓣电平的要求。

稀疏一个阵列意味着从均匀间隔阵列或者是周期阵列中抽去部分阵元从而在给定孔径的范围内产生所期望的幅值密度。

连接在馈电网络上的阵元的状态是“开”，而连接在匹配负载或虚负载上的阵元的状态就是“关”。

用稀疏阵来产生低旁瓣比稀布阵要简单的多，稀布阵的阵元位置不确定的，有无限多的取值可能。

稀疏阵有2Q种组合，其中Q是阵元数目，如果阵列是对称结构，那么阵元位置的组合数将显著减少。

稀疏也可以看作是振幅锥度的量化，其中每一个阵元的振幅用一个比特来表示。

稀疏一个大的阵列从而产生低旁瓣涉及到检查相当多的阵元位置组合，目的是找到最好的稀疏方式。

只有当阵列较小时无遗漏的检查所有的组合才是可行的[5]。

大部分的优化方法（例如单纯形法、Powell方法、共轭梯度法等）不适合于稀疏阵列优化，他们只能优化一些连续变量而且会陷入局部最小值[6]，此外，这些方法是专们用来处理连续参数问题的，而稀疏阵列所处理的是离散参数问题。

动态编程法可以优化大型参数组（有很多阵元），但是极易陷入局部最小值。

模拟退火算法和遗传算法是非常适合于稀疏阵列的优化方法，它们不受所要
优化的变量个数的限制，尽管处理速度比较慢，但是这些算法可以处理大型阵列。

它们是全局性的优化方法，拥有能够探测到当前最小值之外的解决方案的随机因子，同时该算法是收敛的。

由于模拟退火算法与遗传算法的全局特性同时缺乏辅助信息，这使得它们较其他的非全局性方法有较慢的收敛速度。

Ruf利用模拟退火算法优化了低冗余线性阵列[8]，这些天线被应用到射电天文学中评估场景的光芒。

天文学家喜欢设计能够采样他们所观测到的空间分布的天线阵列。

Ruf的方法能优化比以往任何时候都要大的线性阵列。

本文的目的是寻找到一个稀疏阵，使其最大相对旁瓣电平最小（rsll）。

本文将介绍一种遗传算法，用来在数值上优化一个线阵和面阵[9]。

遗传算法是模仿基因重组与进化，将优化参数编码为称作基因的二进制串，并执行复制、交叉、自然选择和变异等遗传操作来得到最优解。

对于阵列，这些算法得到了较先前优化尝试或是统计尝试更好的稀疏结构。

其他的优化方法不适合于大型阵列，而且统计方法也找不到最优解。

本文利用遗传算法对200个阵元的线阵和面阵分别进行了优化，并且得到了最优解。

线性阵列通过优化，使其在一系列的扫描角和频率上的最大相对旁瓣电平低于了-20dB。

Ⅱ遗传算法
遗传算法的目的是寻找一组参数使得函数的输出结果最小，遗传算法不同于大部分的优化方法，因为它有如下的一些特点[10]。

1)遗传算法的处理对象是经过编码的参数，而不是参数本身。

2)遗传算法采用多点搜索来代替单点搜索。

3)遗传算法不需要辅助信息。

4)遗传算法采用概率的变迁规则，而不是确定性规则。

C
图1遗传算法的流程图
图1是遗传算法的流程图，接下来的段落将详细介绍遗传算法的每一个步骤，为了便于查询，我们用A-F对每一步都进行了标记。

所有参数的数值都经过了二进制编码（步骤A），每一个被编码的参数按顺序放置，从而形成一个被称作基因的二进制长串，每一个基因对应于其量化参数所计算的函数结果，因此遗传算法需要检查有限的，但却是有很多的参数组合方式形成的大量基因。

假设一个大的基因有N串，每一串有B位参数，那么一共就有2NB种基因。

如果参数是连续的，那么由于进行二进制编码时会产生量化误差，这将会限制遗传算法的性能。

从积极的方面来看，遗传算法理论上更适合于离散参数的优化问题。

稀疏阵就是一个离散参数问题，参数的每一位代表着阵元的状态，例如“on”代表1，“off”代表0。

举个例子来看，一个六元的阵列可以用101101来表示，其中阵元位置2和5被抽去了，如果一个线阵关于其中心对称，那么其上的2N 个阵元就可以利用一个N位的基因来表示，那么上面的例子就可以用101这个基因来代替。

这个基因的适应度就是远场方向图的最大相对旁瓣电平，本文的适应度函数是点源阵列的相对远场方向图，目的就是使相对旁瓣电平的最大值尽可能的减小，其中阵元是保留还是抽去对结果有很大的影响。

遗传算法模仿自然界的基因重组和进化[10]，在自然界里，基因是最基本的构建块。

遗传算法开始于对输出结果的随机采样，这种方式得到的基因大都有很差的最大相对旁瓣电平。

结果只有产生好的输出结果的基因被保留下来，而产生差的输出结果的基因将被丢弃。

举个例子来看，表Ⅰ列举了8个随机生成的基因（步骤B）。

表Ⅰ随机生成的8个基因及其对应的相对峰值旁瓣电平（RSLL）
这些基因代表着20个间隔为0.5λ的各向同性的点源阵列，每一个基因可以通过如下的公式得到其所对应的相对峰值旁瓣电平
()∑=+=N 1n m ax
s n
elpat(u)FF δ2ππnd cos a 2max FF(u) ； 1u 2Nd
C O ≤≤ （1） 其中：
2N =阵列天线单元数。

n a =单元的幅度权值， ⎩⎨⎧=on
1off 0n d =阵元间隔。

)cos(u φ=,其中φ是从线阵方向开始所扫描的角度。

s δ=s 2ππd - 是对应扫描角。

elpat(u)=单元方向图。

C 0=常数， FF max =主瓣峰值。

U 的取值区间需排除主瓣所在区域，均匀阵列的第一对零点出现在2Nd
1u =
处，由于阵元的稀疏会造成第一对零点的漂移，故而要引入修正常数C 0。

表Ⅰ中的结果哪一个会被保留下来？首先我们将这些数值按照从小到大的顺序排列，如表Ⅱ所示（步骤C ），最常用的适用准则就是丢弃表Ⅱ中下半部分同时保留上半部分的基因（步骤D ），值的注意的是，只有2号基因所对应的相对峰值旁瓣电平低于-13dB 。

另一可供使用的准则是丢弃所有对应相对峰值旁瓣电平低于-13dB 的基因，这个准则限制了遗传算法的收敛速度。

由于全填充阵列的相对峰值旁瓣电平略低于-13dB ，所以这组基因中只有一个基因相对于非稀疏阵而言，其相对峰值旁瓣电平得到了改善。

图2 交叉示意图
交叉位置在父代基因上随机产生，子代通过交换交叉点右边的序列产生
在进行了自然选择之后，基因就会交叉进而产生子代（步骤E ），通过对生存下来的基因进行配对从而发生交叉，一经配对，它们的子代将包含父代的部分基因。

图2说明了如何通过2号基因与7号基因进行交叉产生9号和10号基因的过程，交叉的位置是在进行配对的基因的位置之间随机产生的。

子代1的基因序列是由交叉点左边的A 序列与交叉点右边的B 序列组成的，同样的，子代2的基因序列就是由交叉点左边的B 序列与交叉点右边的A 序列组成。

表Ⅲ中的前半部分基因在经过自然选择之后生存了下来并成为后半部分基因的父代，9号和10号基因是2号与7号基因的后代，11号和12号基因是3号与5号基因的后代。

最后一步就是对基因序列的随机变异（步骤F ），变异就是将基因座上的0变为1或是将1变为0，在本例的每一次迭代过程中，所有基因中只有一个基因座上的数值会发生变异。

变异可以使得遗传算法跳出局部最小值。

由父代与子代所组成的新的种群会再一次进行上述的操作过程（步骤C ）。

表Ⅳ（包括了变异）将表Ⅲ中的父代与子代基因按照适应度的大小进行了从小到大的排序，注意到在表Ⅳ中10号基因的6号位置上的数值发生了变异，在变异之前，10号基因的输出结果是-11.73dB ,变异导致其输出结果降至-9.43dB 。

尽管变异一般不会改善结果，但是它却是遗传算法必不可少的一部分，因为没有变异，遗传算法更易陷入局部最小值。

自然选择、交叉、变异在这些基因中进行，算法将一直循环下去直到达到合适的终止条件。

最终，除了发生变异的基因之外，其他的基因都是相同的。

父代 子代 复制
表Ⅲ
前四个基因是父代，后四个基因是子代
(2,7是9,10的父代，3,5是11,12的父代)。

子代的最大相对峰值旁瓣电平没有计算出来
“*”是随机交叉的位置
表Ⅳ
在10号基因的6号基因座发生变异之后，对所有的基因进行排序
在设计遗传算法的程序过程中，需要控制很多变量并且要权衡考虑变量间的相互作用，例如：
1)编码一个参数所需要的二进制位数。

二进制位数越多，计算结果越精确，
但是收敛速度将减慢。

对于稀疏阵列并不存在这样的问题，因为每一个
阵元是用一位二进制数来表示的。

诸如像阵元幅度大小这样的连续变量
参数，对量化精度就比较敏感。

2)初始化种群时基因的数量。

基因数越多，对结果空间的采样也就越好，
但是收敛速度也越慢。

3)随机列表的产生。

参数的分布类型和权值对收敛时间有很大的影响。

4)自然选择。

有很多种选择方式来决定该丢弃哪些基因。

5)交叉时父代基因的配对方式。

可以对列表中的基因按顺序进行配对、随
机配对、好的与坏的配对等等。

6)变异的数量。

变异可以防止算法陷入局部最小值，但是会减慢收敛速度。

7)算法什么时候收敛？为算法设计一个结束点是很困难的，最终经自然选
择与交叉之后，除了发生变异的基因之外，所有的基因都会变得一样。

上述的权衡方案将会在下一节中通过罗马数字来引用，所有的这些因素，更使得遗传算法作为一种有趣数值方法被探讨。

总的来说，遗传算法对于上述提到的各种权衡方案都收敛的很好，对其的主要影响就是算法的收敛速度。

最佳稀疏阵列
前面的部分分步骤详细介绍了如何利用遗传算法综合一个小的阵列，事实上，对于小阵列，利用遗传算法来优化显得有些浪费，因为小阵列可以通过计算各阵元所有的组合方式的值，从而选择出最好的组合方式。

本节将注重遗传算法在稀疏阵列中的更切合实际的应用，并将给出拥有200个阵元的线阵和面阵的相对峰值旁瓣电平的优化结果，对于这些大的阵列，通过计算阵元的每一种组合方式来达到优化的目的是不可能的。

图3（a）是200个各向同性的点源的稀疏阵列的远场方向图，阵列上一半的阵元的状态（保留或是抽去）标记在图片的顶部，左上方的1是阵列中心右边的第一个阵元的状态，右下方的1是右边阵列边缘上的阵元的状态。

阵列左边的阵元状态是右边的关于阵列中心的镜像，在这种情况下，阵元的稀布率是77%，最大相对峰值旁瓣电平是-22.09dB。

阵列孔径大致是100λ，增益大概是21.9dB （增益gain≈N t G e，其中MN t=保留的阵元数，G e=单元增益[11]）,只有对应最大相对峰值旁瓣电平小于等于-13dB的基因才能生存下来（见上节的4）。

初始化时基因个数为200（见上节的2），目的是使阵列中心比边缘保留更多的阵元（见上节的3），这种加权方式明显加快了算法的收敛速度，有几个分布在远场方向图的旁瓣几乎达到了-22.09dB的相对峰值旁瓣电平。

基因的配对方式是从最佳到最差（见上节的5），而且在每次迭代过程中有两次变异的机会（见上节的6），在迭代了30次之后算法终止（见上节的7）。

非周期阵列的统计学方法预测，要想在一个孔径为100λ的阵列上使得90%以上的相对峰值旁瓣电平的最大值为-22dB则需要1000多个阵元[1]。

现在设计的优化阵列拥有低旁瓣和高增益的特性，同时也是有实际工程应用的方案。

sin( 的点源的稀疏阵列的远场方向图3（b）是200个单元辐射方向图为)
图，在这种情况下，阵元稀布率是75%，最大相对峰值旁瓣电平是-23.69dB，通过与上面的比较可知，此时的优化阵列的相对峰值旁瓣电平比各向同性的点源阵列低了1.6dB。

尽管这两个例子都是200个阵元的稀疏阵，但是两者却有很大的差别。

在同等孔径的稀疏阵列条件下，有向单元比全向单元的侧射结果要好，但是有向单元在进行主瓣扫描时会对最大相对旁瓣电平产生显著的恶化影响，图4是图3（b ）所对应的阵列扫描到1200时的天线方向图，可以看到此时最大相对峰值旁瓣电平恶化到了-18.8dB 。

对于全向单元组成的稀疏阵，阵因子主瓣扫描时几乎对最大旁瓣电平没有影响。

有向单元阵列的旁瓣电平恶化可以通过在整个扫描角内对方向图进行优化来避免。

譬如一个200个有向阵元的阵列从600扫描到1200时，现在要减小的函数结果就是在整个扫描角范围内的最大相对峰值旁瓣电平，只有在1200时通过计算适应度函数才得到了最佳结果。

在单元方向图中，最大扫描角同时也是主瓣最大衰减点，因此其他扫描角上的最大相对峰值旁瓣电平都要低于1200时的旁瓣电平。

图5（a ）是稀布率为78%的200个有向阵元的侧射远场方向图，图5（b ）是扫描到1200时的方向图。

在整个扫描角范围内最大相对峰值旁瓣电平被限制在了-22.22dB ，这个值几乎与各向同性点源阵列相同但是比图3（b ）略低一些。

图3（a ）200个各向同性点源的稀疏阵远
场方向图 图3（b ）200个点源辐射图为)sin( 的稀疏阵远场方向图 图4 图3（b ）所对应的阵列扫描到1200时的天线方向图
用遗传算法进行优化时遇到的另一个问题就是零点干扰，譬如下面的例子，一个阵元间隔是d =0.5λ，频谱带宽是10%，扫描范围是030 ，已经知道了在u =0.025与0.075之间存在干扰，现在的问题是在已知角度干扰范围与带宽限制和阵列的扫描角的条件下来稀疏一个阵列从而获得尽可能低的旁瓣电平。

利用遗传算法来优化一个稀疏率为83%、带宽为10%、角度范围为u =0.025到0.075之间的阵列，所产生的最大相对峰值旁瓣电平是-26.dB 。

图6（a ）是当Ф=900且d =0.5λ时稀疏阵的远场方向图，阵元位置标在了图片的上方，图6（b ）是同等优化下主波束扫描到1200且d =0.55λ时的远场方向图，所有方向图中的最大相对峰值旁瓣电平都低于-16dB 。

图6（a ）主波束在侧射阵 图6（b ）主波束扫描到1200
接下来的例子是在一个矩形方格内稀疏一个由20x10的各向同性点源所组成的平面阵，远场方向图由下面的计算公式给出：
图5（a ） 主波束为侧射阵 图5（b ） 主波束扫描到1200
()()[]
()[]
∑∑N 1=n M 1=m x y mn sinθsinφπd 1-2n cos ×sinθcosφπd 1-2m cos a 4=φθ,FF 其中： （2）
M =y 方向的阵元数。

N =x 方向的阵元数。

d y =y 方向的阵元间隔。

d x =x 方向的阵元间隔。

这个公式假设阵列位于x -y 平面内，而且阵列关于x 轴和y 轴都对称，因而需要对用于线阵的遗传算法进行一下改变。

首先，基因可以被描绘在多个方面。

每个稀疏阵列的结构被加载到一个单一的一维数组中，而且遗传算法执行其在线阵中相同的优化方式。

另一种可行的方案是将稀疏结构加载到一个二维的矩阵中，A 矩阵提供新的有趣可行的交配方案，由于基因是二维的，因此交叉点也就变成了交叉线，交叉线可以按照水平的、垂直的、对角线来画出，用于配对的基因需要交换交叉线两边的基因信息。

第二个要考虑的是适应度该怎么计算。

下面的例子中，适应度是通过将Ф=00和Ф=900的面内的最大相对峰值旁瓣电平相加来求得的。

图7描述了阵元的状态，白色表示存在阵元，黑色表示不存在阵元，一共有108个阵元，因此阵列稀布率是54%，图8是阵列的远场方向图，图9是Ф=00和Ф=900的叠绘远场方向图。

其他的适应度计算准则也是可行的。

如果适应度仅是Ф=00面内的最大相对峰值旁瓣电平之和，那么优化后的最佳值为-22.17dB 。

Ф=00面内的最大相对峰值旁瓣电平是-12.93dB ，此时，阵列的稀布率是58%。

适应度准则依赖于阵列的设计要求。

图7 20x10面阵的阵元分布图
白色代表存在阵元，黑色代表不存在阵元 图8 20x10面阵的远场方向图 （各向同性点源）
图9Ф=00和Ф=900时叠绘的远场方向图。

Ф=00面内最大旁瓣
电平是-20.07dB, Ф=900面内最大旁瓣电平是-19.76dB。

另一种用来稀疏面阵的方案是假设被稀疏阵的每一行是相同的，每一列也是相同的。

公式（2）中的a mn等价于a m a n，其中a m是y方向的振幅锥削，a n是x 方向的振幅锥削。

在一个矩形方格内有一个稀布率是81%的40x40的由各向同性点源所组成的被优化过的面阵，面阵的最大相对峰值旁瓣电平是-17.2dB，第4、7、35行、列都填充有阵元，第38行、列没有阵元。

总结
本文介绍了如何利用遗传算法来优化稀疏线阵和面阵从而获得尽可能低的相对峰值旁瓣电平，遗传算法的优点在于它可以优化大量的离散参数。

以前利用统计学的方法来表示稀疏阵的幅度锥削的办法没有达到最佳的稀疏结果。

利用遗传算法的智能搜索从而找出能产生低旁瓣的最佳稀疏方式。

本文论证了多种利用遗传算法来优化阵列方向图的方法。

许多额外的扩展是可行的，包括圆形阵列，由有向阵元组成的面阵，扫描阵列等等。

遗传算法对于诸如自适应零点的这类实时控制模式不是很适用而且收敛很慢。

另一方面，遗传算法很适用于优化阵列设计。

本文中遗传算法被用来优化稀疏阵列，但是实际上，遗传算法还广泛应用于频散和天线理论中。

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