NOIP信奥赛测试题范本

NOIP信奥赛测试题范本
一、题目描述
本次NOIP信奥赛测试题旨在对参赛选手的编程能力、算法思维和问题解决能力进行考察。

请选手仔细阅读题目描述，并基于所给条件给出正确的解答。

二、问题描述
在某个小镇上，有n个村庄，编号从1到n。

这n个村庄之间有m 条双向道路相连，每条道路都有一个权值。

现在需要修建一条高速公路，使得任意两个村庄之间都可以通过道路和高速公路互相到达。

请你设计一个算法，计算出修建高速公路所需要的最小总成本。

输入格式：
第一行包含两个整数n和m，表示村庄的数量和道路的数量。

接下来m行，每行包含三个整数x、y和w，表示村庄x和村庄y 之间存在一条道路，其权值为w。

输出格式：
一个整数，表示修建高速公路所需要的最小总成本。

（请注意，本题只要求你输出答案，不要求你输出方案）
示例：
输入：
4 5
1 2 3
2 3 2
3 4 4
1 3 1
2 4 2
输出：
4
三、数据范围
对于20%的数据，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 20。

对于50%的数据，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 1000。

对于100%的数据，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 10000，1 ≤ w ≤ 100。

四、算法设计
本题可以使用Kruskal算法求解最小生成树。

具体步骤如下：
1. 将所有道路按照权值从小到大进行排序。

2. 初始化并查集，并将每个村庄初始化为一个独立的集合。

3. 从权值最小的道路开始遍历，如果该道路连接的两个村庄不在同
一个集合中，则将这两个村庄合并，并将该道路的权值加入总成本中。

4. 当所有道路都遍历完毕或者已经修建了n-1条道路时，停止遍历。

5. 输出总成本即为修建高速公路所需要的最小总成本。

五、算法分析
由于本题需要对道路进行排序，时间复杂度为O(mlogm)。

在Kruskal算法的过程中，需要进行多次并集操作，可以使用并查集数据
结构进行快速合并和查找，时间复杂度为O(logn)。

因此，总的时间复
杂度为O(mlogm + nlogn)。

由于需要使用并查集数据结构和进行排序，空间复杂度为O(n)。

六、代码实现
```cpp
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int MAXN = 1005;
struct Edge {
int u, v, w;
};
int n, m;
int parent[MAXN];
vector<Edge> edges;
bool cmp(const Edge& a, const Edge& b) { return a.w < b.w;
}
int find(int x) {
if (parent[x] != x) {
parent[x] = find(parent[x]);
}
return parent[x];
}
int kruskal() {
sort(edges.begin(), edges.end(), cmp);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
parent[i] = i;
}
int cnt = 0; // 记录已经修建的道路数量 int cost = 0; // 记录总成本
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u = edges[i].u;
int v = edges[i].v;
int w = edges[i].w;
int pu = find(u);
int pv = find(v);
if (pu != pv) {
parent[pu] = pv;
cost += w;
cnt++;
if (cnt == n - 1) { // 如果已经修建了n-1条道路，停止遍历 break;
}
}
}
return cost;
}
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
Edge edge;
edge.u = u;
edge.v = v;
edge.w = w;
edges.push_back(edge);
}
int answer = kruskal();
cout << answer << endl;
return 0;
}
```
七、总结
本题考察了Kruskal算法以及并查集的应用。

通过合理地设计数据结构和算法，我们可以高效地求解修建高速公路的最小总成本。

希望本次题目的设计能对参赛选手的算法思维和编程能力有所提升。

感谢各位选手的参与，希望大家取得优异的成绩！。