凸球面镜成像的公式证明

凸球面镜成像的公式证明
1. 符号规定。

- 对于凸球面镜，我们规定：物距u（物体到球面镜顶点的距离），像距v （像到球面镜顶点的距离），球面镜的曲率半径为R。

并且规定，光线从左向右传播时，物在镜前u>0，像在镜后v < 0（凸面镜成虚像），R>0（凸面镜的曲率半径为正）。

2. 利用近轴光线的折射定律推导成像公式（傍轴近似）
- 考虑从物体顶端发出的一条近轴光线，它与光轴的夹角为α，在球面上的入射角为i，反射角为r。

- 根据三角形的外角定理，在三角形ABC中（A为物点，B为光线与球面镜的交点，C为球心），α = i - β，其中β为光线与半径的夹角。

- 对于反射光线，在三角形BCD中（D为像点），-α'=r - β（α'为反射光线与光轴的夹角，这里有α'=α）。

- 由于i = r（反射定律），所以α+α' = 2i。

- 在傍轴近似下，sinθ≈θ，对于小角度i，i=(h)/(R - u)（h为光线在球面上的入射点到光轴的垂直距离），-α'=(h)/(R - v)。

- 因为α = α'，所以(h)/(R - u)=-(h)/(R - v)。

- 整理可得(1)/(u)+(1)/(v)=(2)/(R)。

- 又因为凸面镜的焦距f=(R)/(2)，所以成像公式为(1)/(u)+(1)/(v)=(1)/(f)，其中f>0（凸面镜焦距为正）。