2018年高考数学专题43排列与组合热点题型和提分秘籍理

专题43 排列与组合
1．理解排列、组合的概念
2．理解排列数公式、组合数公式
3．能利用公式解决一些简单的实际问题
热点题型一排列问题
例1、有5个同学排队照相，求：
(1)甲、乙两个同学必须相邻的排法有多少种？
(2)甲、乙、丙3个同学互不相邻的排法有多少种？
(3)乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面的排法有多少种？
(4)甲不站在中间位置，乙不站在两端两个位置的排法有多少种？
解析：(1)这是典型的相邻问题，采用捆绑法。

先排甲、乙，有A22种方法，再与其他3名同学排列，共有A22·A44＝48(种)不同排法。

(2)这是不相邻问题，采用插空法，先排其余的2名同学，有A22种排法，出现3个空，将甲、乙、丙插空，所以共有A22·A33＝12(种)排法。

(3)这是顺序一定问题，由于乙不能站在甲前面，丙不能站在乙前面，故3人只能按甲、乙、丙这一种顺序排列。

(4)方法一：(直接法)若甲排在了两端的两个位置之一，甲有A12种，乙有A13种，其余3人有A33种，所以共有A12·A13·A33种；若甲排在了第2和第4两个位置中的一个，有A12种，这时乙有A12种，其余3人有A33种，所以一共有A12·A12·A33种，因此符合要求的一共有A12·A13·A33＋A12·A12·A33＝60(种)排法。

方法二：(间接法)5个人全排列有A55种，其中甲站在中间时有A44种，乙站在两端时有2A44种，
且甲站中间同时乙在两端时有2A33种，
所以一共有A55－A44－2A44＋2A33＝60(种)排法。

【提分秘籍】
求解排列应用题的主要方法
【举一反三】
8名游泳运动员参加男子100米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的8条泳道，若指定的3名运动员所在的泳道编号必须是3个连续数字(如：5,6,7)，则参加游泳的这8名运动员被安排泳道的方式共有( )
A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种
热点题型二组合问题
例2、从7名男生5名女生中选取5人当班干部，分别求符合下列条件的选法总数有多少种。

(1)A，B必须当选；
(2)A，B必不当选；
(3)A，B不全当选；
(4)至少有2名女生当选。

解析：(1)由于A，B必须当选，那么从剩下的10人中选取3人即可，∴有C310＝120(种)。

(2)从除去A，B两人后的10人中选5人即可。

∴有C510＝252(种)。

(3)全部选法有C512种，A，B全当选有C310种，
故A，B不全当选有C512－C310＝672(种)。

(4)注意到“至少有2名女生”的反面是只有一名女生或没有女生，故可用间接法进行，
∴有C512－C15·C47－C57＝596(种)选法。

【提分秘籍】
两类组合问题的解决方法
(1)“至少”“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。

用直接法或间接法都可以求解。

通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。

(2)“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。

【举一反三】从某学习小组的5名男生和4名女生中任意选取3名学生进行视力检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数有( )
A．35 B．70 C．80 D．140
解析：分3步来计算：①从9人中，任取3人进行视力检测，分析可得，这是组合问题，共C39＝84种情况；②选出的3人都为男生时，有C35＝10种情况，选出的3人都为女生时，有C34＝4种情况；③根据排除法，可得符合题意的选法共84－10－4＝70种。

答案：B
热点题型三排列与组合的综合问题
例3．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止。

(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？
解析：(1)先排前4次测试，只能取正品，有A46种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在
第5和第10的位置上测试，有C24·A22＝A24种测法，再排余下4件的测试位置，有A44种测法。

所以共有不同排法A46·C24A22·A44＝103 680(种)。

(2)第5次测试恰为最后一件次品，另3件在前4次中出现，从而前4次有一件正品出现。

所以共有不同测试方法A14·(C16·C33)A44＝576(种)。

【提分秘籍】
解答排列与组合的综合问题应注意“先选后排”，注意“选”和“不选”应优先考虑。

【举一反三】
某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加。

当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻。

那么不同的发言顺序的种数为( ) A．360 B．520 C．600 D．720
热点题型四分组分配问题
例4、按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本；
(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本。

解析：(1)无序不均匀分组问题。

先选1本有C16种选法；再从余下的5本中选2本有C25种选法；最后余下3本全选有C33种方法，故共有C16C25C33＝60(种)。

(2)有序不均匀分组问题。

由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有C16C25C33A33＝360(种)。

(3)无序均匀分组问题。

先分三步，则应是C26C24C22种方法，但是这里出现了重复。

不妨记6本书为A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为(AB，CD，EF)，则C26C24C22种分法中还有(AB，EF，CD)、(CD，AB，EF)、(CD，EF，AB)、(EF，
CD ，AB )、(EF ，AB ，CD )，共A 33种情况，而这A 3
3种情况仅是AB 、CD 、EF 的顺序不同，因此只
能作为一种分法。

故分配方式有C 26C 24C 2
2
A 33
＝15(种)。

(4)有序均匀分组问题。

在第(3)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C 26C 24C 2
2A 33·A 33＝C 26C 24C 2
2＝
90(种)。

(5)无序部分均匀分组问题，共有C 46C 12C 1
1
A 22
＝15(种)。

(6)有序部分均匀分组问题。

在第(5)题基础上再分配给3个人，共有分配方式C 46C 12C 1
1A 22·A 3
3＝
90(种)。

(7)直接分配问题。

甲选1本有C 1
6种方法，乙从余下5本中选1本有C 1
5种方法，余下4本留给丙有C 4
4种方法，共有C 16C 15C 4
4＝30(种)。

【提分秘籍】
分组分配问题的解题方法
(1)相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“挡板法”。

(2)不同元素的“分配”问题，利用分步计数原理，分两步完成，第一步是分组，第二步是发放。

(3)限制条件的分配问题采用分类法分解。

【举一反三】
有10个相同的小球，分给甲、乙、丙三个人，每人至少一个小球，有________种不同的分法。

1.【2017课标II ，理6】安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（ ）
A ．12种
B ．18种
C ．24种
D ．36种 【答案】D
【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，只要把
工作分成三份：有24C 种方法，然后进行全排列3
3A 即可，由乘法原理，不同的安排方式共有234336C A ⨯=种方法。

故选D 。

2.【2017天津，理14】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有___________个.（用数字作答） 【答案】 1080
【解析】413454541080A C C A +=
1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B
【解析】由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短路径的条数为6，再从F 处到G 处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6318⨯=，故选B.
2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为
（A ）24 （B ）48 （C ）60 （D ）72 【答案】D
【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共
有44A 种排法，所以奇数的个数为443A 72=，故选D.
1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。

从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ）
A ．1 B. C.
D.
【答案】B ．
21
11
21
1021
5
【解析】从袋中任取个球共有
种，其中恰好个白球个红球共有
种，
所以从袋中任取的个球恰好个白球个红球的概率为
，故选B ．
2.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( ) （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C
【解析】在25()x x y ++的5个因式中，2个取因式中2
x 剩余的3个因式中1个取x ，其余因
式取y,故5
2
x y 的系数为212
532C C C =30，故选 C.
3.【2015高考四川，理6】用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（ ）
（A ）144个 （B ）120个 （C ）96个 （D ）72个 【答案】B
【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有342A ⨯个；若万位上排5，则有343A ⨯个.所以共有342A ⨯343524120A +⨯=⨯=个.选B.
4、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有
人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业
留言，那么全班共写了 条毕业留言．（用数字作答） 【答案】
．
【解析】某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了
=40×39=1560条．
5.【2015高考上海，理8】在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120
【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55
9
61266120.C C -=-= 1．（2014·北京卷）把5件不同产品摆成一排．若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有________种． 【答案】36
2
215105
C =11
11
10550
C C =211
5010
=10521
40
1560
【解析】A 33A 22A 1
3＝6×2×3＝36.
2．（2014·广东卷）设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( ) A ．60 B ．90 C ．120 D ．130 【答案】D
【解析】本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”考虑x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的可能取值，设集合M ＝{0}，N ＝{－1，1}．
当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有2个取值为0时，另外3个从N 中取，共有C 2
5×23
种方法；当x 1，
x 2，x 3，x 4，x 5中有3个取值为0时，另外2个从N 中取，共有C 35×22种方法；
当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5中有4个取值为0时，另外1个从N 中取，共有C 4
5×2种方法． 故总共有C 2
5×23
＋C 3
5×22
＋C 4
5×2＝130种方法， 即满足题意的元素个数为130.
3．（ 2014·广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________． 【答案】16
4．（2014·辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．24 【答案】D
【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，A 33C 3
4＝24.
5．（2014·全国卷）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个
医疗小组，则不同的选法共有( ) A ．60种 B ．70种 C ．75种 D ．150种 【答案】C
【解析】由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选
法共有C26C15＝75(种)．
6．（2014·四川卷）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
【答案】B 【解析】当甲在最左端时，有A55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A11A14A44＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.
7．(2014·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120 C．144 D．168
【答案】B
【解析】分两步进行：(1)先将3个歌舞进行全排，其排法有A33种；(2)将小品与相声插入将歌舞分开，若两歌舞之间只有一个其他节目，其插法有2A33种．若两歌舞之间有两个其他节目时插法有C12A22A22种．所以由计数原理可得节目的排法共有A33(2A33＋C12A22A22)＝120(种)．
1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )
A．144 B．120
C．72 D．24
解析：3人中每两人之间恰有一个空座位，有A33×2＝12种坐法，3人中某两人之间有两个空座位，有A33×A22＝12种坐法，所以共有12＋12＝24种坐法。

答案：D
2．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )
A．192种 B．216种
C．240种 D．288种
解析：当最左端排甲时，不同的排法共有A55种；当最左端排乙时，甲只能排在中间四个位置之一，则不同的排法共有C14A44种。

故不同的排法共有A55＋C14A44＝9×24＝216种。

答案：B
3．某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )
A．72 B．120
C．144 D．168
解析：依题意，先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A33A34＝144，其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A22A22A33＝24，因此满足题意的排法种数为144－24＝120，选B。

答案：B
4．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有( ) A．24对 B．30对
C．48对 D．60对
解析：方法一直接法：如图，在上底面中选B1D1，四个侧面中的面对角线都与它成60°，共8对，同样A1C1对应的也有8对，下底面也有16对，这共有32对；左右侧面与前后侧面中共有16对。

所以全部共有48对。

方法二间接法：正方体的12条面对角线中，任意两条垂直，平行或成角为60°，所以成角为60°的共有C212－12－6＝48。

答案：C
5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有( )
A．60种 B．70种
C．75种 D．150种
解析：从6名男医生中选出2名有C26种选法，从5名女医生中选出1名有C15种选法，故共有
C26·C15＝6×5
2×1
×5＝75种选法，选C。

答案：C
6．来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判员各两名，执行世锦赛的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作，每个场地有两名来自不同国家的裁判，则不同的安排方案共有( ) A．48种 B．24种
C．36种 D．96种
7．把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B 相邻，且产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法有__________种。

解析：将A 、B 捆绑在一起，有A 22种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A 4
4种摆法，共有A 22A 44＝48种摆法，而A 、B 、C 3件在一起，且A 、B 相邻，A 、C 相邻有CAB 、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2×A 33＝12种摆法，故A 、B 相邻，A 、C 不相邻的摆法有48－12＝36种。

答案：36
8．在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖。

将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有__________种(用数字作答)。

解析：分情况：一种情况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人，种数为C 23C 11A 24＝36；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A 34＝24，则获奖情况总共有36＋24＝60(种)。

答案：60
9．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为__________。

解析：先将5人分成三组(1,1,3或2,2,1两种形式)，再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有
⎝
⎛⎭⎪⎫C 15C
14C 33A 22＋C 25C 23C 11A 22·A 33·C 24＝900(种)。

答案：900
10．(1)3人坐在有八个座位的一排上，若每人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数有多少种？
(2)有5个人并排站成一排，如果甲必须在乙的右边，则不同的排法有多少种？
(3)现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有一个名额，问：名额分配的方法共有多少种？
解析：(1)由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空当插，由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有A 34＝24(种)。

(2)∵总的排法数为A 55＝120(种)，
∴甲在乙的右边的排法数为12
A 55＝60(种)。

(3)方法一：每个学校至少一个名额，则分去7个，剩余3个名额分到7所学校的方法种数就是要求的分配方法种数。

分类：若3个名额分到一所学校有7种方法；
若分配到2所学校有C27×2＝42(种)；
若分配到3所学校有C37＝35(种)。

∴共有7＋42＋35＝84(种)方法。

方法二：10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，相当于用6块挡板插在9个间隔中，共有C69＝84(种)不同方法。

所以名额分配的方法共有84种。

11．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数：
(1)能组成多少个五位数？
(2)能组成多少个正整数？
(3)能组成多少个六位奇数？
(4)能组成多少个能被25整除的四位数？
解析：(1)因为万位上数字不能是0，所以万位数字的选法有A15种，其余四位上的排法有A45种，所以共可组成A15A45＝600(个)五位数。

(2)组成的正整数，可以是一位、两位、三位、四位、五位、六位数，相应的排法种数依次为A15，A15A15，A15A25，A15A35，A15A45，A15A55，
所以可组成A15＋A15A15＋A15A25＋A15A35＋A15A45＋A15A55＝1 630(个)正整数。

(3)首位与个位的位置是特殊位置，0,1,3,5是特殊元素，先选个位数字，有A13种不同的选法；再考虑首位，有A14种不同的选法，其余四个位置的排法有A44种。

所以能组成A13A14A44＝288(个)六位奇数。

(4)能被25整除的四位数的特征是最后两位数字是25或50，这两种形式的四位数依次有A13·A13和A24个，
所以，能组成A13A13＋A24＝21(个)能被25整除的四位数。

12．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点。

(1)过这10个点中的3点作一平面，最多可做多少个不同平面？
(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？
(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？
解析：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身。

∴所作的平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)。