广东省实验中学2010届高三第二次月考----理科数学

广东省实验中学2010届高三第二次月考
理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回。

一、选择题(满分40分) 1．设集合21
{|
1},{|03},1
x A x B x x x -=<=<<-则A B =（ ） A ．{|13}x x << B ．{|03}x x << C ．{|01}x x << D ．∅
2．若tan α=sin cos αα=（ ）
（A （B （C （D
3．在空间中，给出下面四个命题，则其中正确命题的个数为（ ） ①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直； ②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则//αβ； ③若直线l 与平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； ④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条平行线；
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知{}n a 是等比数列，251
2,,4
a a ==则12231n n a a a a a a +++=（ ） A ．16(14)n -- B ．16(12)n
-- C ．32(14)3n -- D ．32(12)3
n --
5．把函数(cos3sin 3)2
y x x =
-的图像适当变化就可以得到sin3y x =-的图像，这个变化可以是（ ） A ．沿x 轴方向向右平移
4π B ． 沿x 轴方向向左平移4
π
C ．沿x 轴方向向右平移12π
D ． 沿x 轴方向向左平移12
π 6．函数2
()sin 2cos f x x x =+在区间2[,]3
πθ-上的最大值为1，则θ的值是（ ）
A ．0
B ．3π
C ．2
π
D ．2π-
7.点M 是边长为2的正方形ABCD 内或边界上一动点，N 是边BC 的中点，则AN AM ⋅的最大值是（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
8．已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意,a b R ∈满足下列关系式：
()()(),(2)2f a b af b bf a f ⋅=+=，(2)()n n f a n N n +
=∈，(2)()2
n n n f b n N +=∈，考察下列结论：①(0)(1)f f = ②()f x 为偶函数 ③数列{}n a 为等比数列 ④数列
{}n b 为等差数列，其中正确的结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
二．填空题（每小题5分，共30分）请把答案填在答案卷内
9．已知ABC ∆的三边长分别为7,5,6AB BC CA ===，则AB BC ⋅的值为 10．已知不等式132x x a -++≤对任意[3,1]x ∈-恒成立，则实数a 的取值范围为 11．若数列{}n a 满足
*111
(,)n n
d n N d a a +-=∈为常数则称数列{}n a 为调和数列，已知数列1
{}n
x 为调和数列，且1220200x x x +++=，则516x x +=
12．已知
()21(123()4(123f x x x g x x x =-+==-=、、），、、），则满足
)]([)]([x f g x g f <的x 的值为 ．
13．设某几何体的三视图如下（尺寸的长度单位为m ）。

B
1
C 1
B 1
P
则该几何体的体积为 3
m
14．已知函数2()2(4)4,()f x x m x m g x mx =+-+-=，若存在一个实数x ，使()f x 与()
g x 均不是正数，则实数m 的取值范围是________________.
三．解答题(满分80分，15、16题12分，17、18、19、20题14分) 15．已知向量),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x x x =+=设函数.)(x f ⋅= （I ）求)(x f 的最小正周期与单调递减区间；
（II ）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，若,1,4)(==b A f △ABC 的面积为2
3
，求a 的值
16．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若m a ，2m a +，1m a +()
*m ∈N 成等差数列，试判断m S ，2m S +，1m S +是否成等差数列，并证明你的结论．
17．正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为２，P 是侧棱1AA 上任意一点． （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；
（2）判断直线1B P 与平面11ACC A 是否垂直，请证明你的结论； （3）当11BC B P ⊥时，求二面角11C B P C --的余弦值．
18．已知数列{}n a 满足11111,,224n
n n a a a n N ++⎛⎫
==∈ ⎪⎝⎭
.(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）
若数列{}n b 的前n 项和2
1n s n =+，
112233n n n T a b a b a b a b =++++，求证：1
32
n T <。

19．某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：
⎪⎩
⎪⎨
⎧∈>∈≤≤-=)
,(32),1(961
N x c x N x c x x P （其中c 为小于96的正常数） 注：次品率生产量
次品数
=P ，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品．
已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损
2
A
元，故厂方希望定出合适的日产量．
（1）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
20. 设.2)(,ln )(),(2)(--==--
=e
p
qe e g x x f x f x q px x g 且其中（e 为自然对数的底数）
（I ）求p 与q 的关系；
（II ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （III ）证明： ①)1()1(->≤+x x
x f ；
②)1(412ln 33ln 22ln 2222+--<+++n n n n
n （n ∈N ，n ≥2）.
参考答案
二、填空题（每小题5分，共30分） 9.19-
11.20
12.2 13.4 14. 4m ≥
三、解答题（15、16题12分，17、18、19、20题14分） 15.解：（I ）),cos 2,1(),cos ,22sin 3(x n x x m =+=
2()222cos 2cos 23
f x m n
x x x x ∴=⋅=++=++ 3)62sin(2++=π
x
…………3分 ππ==∴2
2T
…………4分
)
(32
6)(2
326
22
2Z k k x k Z k k x k ∈+≤≤+∴∈+
≤+
≤+
πππ
ππ
ππ
π
π令
)](3
2
,6[)(Z k k k x f ∈++
∴πππ
π的单调减区间为 …………6分
（II ）由4)(=A f 得
2
1
)6
2sin(4
3)6
2sin(2)(=
+
∴=++=π
π
A A A f
的内角为又ABC A ∆ 65626
7626
πππ
π
π
=
+∴<
+
<∴
A A
3
π
=
∴A …………9分
23sin 211,3
3
=∴==
∆A bc b S ABC
2=∴c
…………10分
32
1
12214cos 2222=⨯⨯⨯-+=-+=∴A bc c b a 3=∴a
…………12分
16.解：设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ()10,0a q ≠≠，
若m a ，2m a +，1m a +成等差数列， 则22m a +=m a +1m a +． ∴1
11112m m m a q
a q a q +-=+．
∵10a ≠，0q ≠，∴2
210q q --=． 解得1q =或1
2
q =-
． …………4分 当1q =时，∵1m S ma =，()111m S m a +=+，()212m S m a +=+，
∴212m m m S S S ++≠+．
∴当1q =时，m S ，2m S +，1m S +不成等差数列． …………7分
当1
2
q =-
时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列．下面给出两种证明方法． 证法1：∵()()()1211222m m m m m m m m m S S S S S a S a a ++++++-=++-++
122m m a a ++=-- 112m m a a q ++=-- 11122m m a a ++⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭
0=， ∴212m m m S S S ++=+．
∴当1
2
q =-
时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． 证法2：∵212
211212412113212
m m m a S a +++⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=
=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+， 又1111
111111222112113221122
m m m m m m a a S S a +++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦+=
+=----⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦++ 221211242322m m a ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯-⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2
141132m a +⎡⎤
⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥
⎣⎦，
∴212m m m S S S ++=+．
∴当1
2
q =-
时，m S ，2m S +，1m S +成等差数列． …………12分 17.（1）1112
132223ABC A B C ABC V S AA -∆=⋅=⨯=……3分 （2）建立如图空间坐标系O xyz -，设AP a =， ……4分
则1,,,A C B P 的坐标分别为(0,1,0),(0,1,0),(3,0,2),(0,1,)a -- ……6分
∴1(0,2,0),(3,1,2)AC B P a ==---120AC B P =-≠，
∴1B P 不垂直AC
∴直线1B P 不可能与平面11ACC A 垂直 ……8分 （3）1(3,1,2)BC =-，由11BC B P ⊥，得110BC B P = 即22(2)0a +-= 1a ∴= 又11BC B C ⊥ 11BC CB P ∴⊥面
∴1(3,1,2)BC =-是面1CB P 的法向量 ……10分 设面11C B P 的法向量为(1,,)n y z =，
由11100
B P n B
C n ⎧
⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩得(1,3,23)n =- ……12分 设二面角11C B P C --的大小为α，则116cos 4||||BC n BC n α==
∴二面角11C B P C --6……14分
说明：有些结果由于法向量的方向问题，出现余弦值为负值者扣1分．
18.解：（1）
1
12
21
11124,41124n n n n n
n n n
a a a a a a +++++⎛⎫ ⎪⎝⎭=∴=⎛⎫ ⎪⎝⎭
， …………3分 又
11221111,,2244a a a a ==⋅∴=
，{}n a ∴是公比为1
2
的等比数列，12n
n a ⎛⎫
∴= ⎪⎝⎭
…………6分
（2）21,2
2,1
n n n b n -≥⎧=⎨
=⎩， …………8分
2312313523211135232112222222222n n n n n n n n n T ------=+
+++=+++++ 记231135232122222n n n n n S ---=++++…①，则1
2n n
T S =+…………10分 234111352321222222n n n n n S +--=+++++②，①－②得：
2311112222132322222222
n n n n n n S ++-+=++++-=-， …………12分 23
32n n n S +∴=-
7
3,2
n n S T ∴<< …………14分
19解 （1）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332
A
T xA x =-⋅=;
当1x c ≤≤时，196P x =
-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭
件，次品约有196x x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
件．故，每天的盈利额 ()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭. 综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：
()3, 12960, x
x A x c
T x x c
⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦
⎪
>⎩ …………3分 （2）由（1）知，当x c >时，每天的盈利额为0． …………4分
当1x c ≤≤时，()3296x
T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝
⎭．
…………5分 令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故
()3961
144969722114797022t T t A t A
t t A A -⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎛≤-=> ⎝
． …………7分
当且仅当144
t t
=
，即()1284t x ==即时，等号成立．…………8分 所以（i ）当84c ≥时，max 147
2
T A =（等号当且仅当84x =时成立）．…………9分 （ii ） 当184c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，
易证函数()144
g t t t
=+在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．…………10分
所以，()()96g t g c ≥-．所以，
()211441
1441441892979796022961922c c T t A c A A t c c ⎛⎫+-⎛⎫⎛⎫=--≤---=>
⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即
2max
14418921922c c T A c ⎛⎫
+-= ⎪-⎝⎭
．
（等号当且仅当x c =时取得）…………12分 综上，若8496c ≤<，则当日产量为84件时，可获得最大利润；若184c ≤<，则当
日产量为c 时，可获得最大利润． …………14分 20. 解：（I ）由题意,ln 2)(x x
q
px x g --
= 分
而又3.,01
,0)1
)((,01)()(,22,2)( q p e e e
e q p e q p e q p e
q qe e q pe e q pe e g =∴≠+=+-∴=-+-∴--=--∴--
=
（II ）由（I ）知：x x
p
px x g ln 2)(--
= ,22)(2
22x p
x px x x p p x g +-=-+='
令h (x )=p x 2－2x +p.要使g(x )在（0，+∞）为单调函数，只需h(x )在（0，+∞）满足：
h(x )≥0或h(x )≤0恒成立.………………………………4分 ①x x h p 2)(,0-==时，
,02)(,0)(,02<-
='∴<∴>x
x
x g x h x ∴g(x )在（0，+∞）单调递减，
∴p=0适合题意.………………………………………………5分 ②当p>0时，h (x )=p x 2－2x +p 图象为开口向上抛物线， 称轴为x =
p 1
∈（0，+∞）. ∴h (x )min =p －
p
1. 只需p －
p
1
≥0，即p ≥1时h (x )≥0，g ′(x ) ≥0， ∴g(x )在(0,+ ∞)单调递增，∴p ≥1适合题意.…………………………7分 ③当p<0时，h (x )=p x 2－2x +p 图象为开口向下的抛物线， 其对称轴为x =
p
1
∉（0，+∞）
， 只需h (0)≤0，即p ≤0时h (0)≤（0,+ ∞)恒成立. ∴g ′(x )<0 ，∴g(x )在（0,+ ∞）单调递减，
∴p<0适合题意.
综上①②③可得，p ≥1或p ≤0.……………………………………9分 （III ）证明：①即证：ln x －x +1≤0 (x >0)，
设x
x
x x k x x x k -=
-=
'+-=111)(,1ln )(则. 当x ∈（0，1）时，k ′(x )>0，∴k (x )为单调递增函数；
当x ∈（1，∞）时，k ′(x )<0，∴k (x )为单调递减函数； ∴x =1为k(x )的极大值点， ∴k(x )≤k(1)=0.
即ln x －x +1≤0，∴ln x ≤x －1.………………………………11分 ②由①知ln x ≤x －1,又x >0，
x
x x x x 1
11ln .
-=-≤∴
)
1(412)]1121(1[21)]11141313121(1[21)])1(1
431321()1[(21)]13121()]1[(21)
11311211(212ln 33ln 22ln ),
11(21ln .11ln ,,2*,2222222222222222+--=
+---=+-++-+---=+++⨯+⨯--<+++--=-++-+-≤+++∴-≤∴-≤=≥∈n n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n x n N n 得
令时 ∴结论成立.…………………………………………………………………………14分。