类型三增长率问题针对演练(word版)

题型一 实际应用题（必考）
类型三 增长率问题
针对演练
1.(2019襄阳)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高．据统计，2019年利润为2亿元，2019年利润为
2.88亿元．
(1)求该企业从2019年到2019年利润的年平均增长率；
(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019 年的利润能否超过3.4亿元？
2.(2019盐城)某商店在2019年至2019年期间销售一种礼盒.2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2019年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．
(1)2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？
(2)若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？
3.(2019 长沙一中期中考试)长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元．
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由．
4.(2019长沙中考模拟卷七)某文具店去年8月底购进了一批文具共1160件，预计在9月份进行试销，购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出，每涨价0.1元，销售量就减少2件．
(1)若该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
(2)由于销量好，10月份该文具的进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在(1)的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在(1)的条件下的最高售价减少2
15m%.结果10月份利润达到3388元，求m 的值(m ＞10)．
答案
1. 解：(1)设该企业利润的年平均增长率为x ，根据题意得：2×(1＋x)2
＝2.88， 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2(不合题意，舍去)， 答：该企业利润的年平均增长率为20%； (2)2.88×(1＋20%)＝3.456>3.4，
答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．
2. 解：(1)设2019年这种礼盒的进价为x 元/盒， 根据题意得：3500x ＝2400
x －11
，解得x ＝35，
经检验，x ＝35是原方程的解，且符合题意，
答：2019年这种礼盒的进价为35元/盒； (2)设年增长率为a ，
由(1)得2019年售出礼盒的数量为：3500÷35＝100(盒)，
∴(60－35)×100(1＋a)2
＝[60－(35－11)]×100， 解得a 1＝0.2，a 2＝－2.2(舍去)， 答：年增长率为20%.
3. 解：(1)设每次下调的百分率为x，根据题意得：10×(1－x)2＝6.4，
解得x1＝0.2，x2＝1.8(舍去)，
答：平均每次下调的百分率为20%；(2)方案一更优惠．理由如下：
6．4×1000×2＝12800(元)，
八折：12800×0.8＝10240(元)，
优惠：12800－2000＝10800(元)，
∴10240＜10800
∴方案一更优惠．
答：采购员选择方案一更优惠．
4. 解：(1)设售价应为x元，根据题意得：1160－2×x－12
0.1
≥1100，
解得x≤15，
答：售价应不高于15元；
(2)10月份的进价：10×(1＋20%)＝12(元)，
根据题意得：1100×(1＋m%)[15(1－
2
15
m%)－12]＝3388，
设m%＝t，化简得50t2－25t＋2＝0，解得t1＝2
5
，t2＝
1
10
，
∴m1＝40，m2＝10，∵m＞10，
∴m＝40，
答：m的值为40.
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的面积是（）
A．3
4
B
．
1
2
C
1D
．1
2．如图为二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象，则下列说法：①a>0 ②2a+b=0 ③a+b+c>0 ④当-1<x<3时，y>0 其中正确的个数为（）
A.1
B.2
C.3
D.4
3．如图，不等式组
315
215
x
x
--
⎧
⎨
-<
⎩
…
的解集在数轴上表示为（）
A. B.
C. D.
4．如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的内心，∠FOG＝120”，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE：②S△ODE＝S△BDE：③四边形ODBE的面
；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（）
A.1
B.2
C.3
D.4
5（）
A．16的平方根B．16的算术平方根C．±4D．±2
6．方程组
20
529
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解为（）
A．
1
7
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
B．
3
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
D．
1
2
x
y
=-
⎧
⎨
=
⎩
7．如图，将△ABC绕点C（0，1）旋转180°得到△A'B'C，设点A的坐标为（a，b），则点A'的坐标为（）
A．（-a，-b）B．（-a，-b-1）C．（-a，-b+1）D．（-a，-b+2）
8．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16m，则线段AB的长为()
A.9.6cm
B.10cm
C.20cm
D.12cm
9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝3
5
，BC＝6，则AB＝（）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．如图，直线a∥b，直线c分别与a，b相交，∠1＝120°，则∠2的度数为（）
A．60°B．120°C．50°D．70°
11．在下列各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是（）
A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D
C．AB＝DE，∠A＝∠D，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF
12．用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD，甲、乙两人的作法如图：根据两人的作法可判断（）
A ．甲正确，乙错误
B ．乙正确，甲错误
C ．甲、乙均正确
D ．甲、乙均错误
二、填空题
13．已知：如图，△ABC 中，过AB 的中点F 作DE ⊥BC ，垂足为E ，交CA 的延长线于点D ．若EF ＝3，BE ＝4，∠C ＝45°，则DF ：FE 的值为_____．
14．在△ABC 中，点A 到直线BC 的距离为d ，AB ＞AC ＞d ，以A 为圆心，AC 为半径画圆弧，圆弧交直线BC 于点D ，过点D 作DE ∥AC 交直线AB 于点E ，若BC=4，DE=1，∠EDA=∠ACD ，则AD=__________.
15．已知直线m ∥n ，将一块直角三角板ABC （其中∠C ＝90°，∠BAC ＝30°）按如图所示方式放置，使A 、B 两点分别落在直线m 、n 上，若∠1＝31°，则∠2的度数是_____．
16．将一个面积是120m 2
的矩形的长减少2m ，就变成了正方形，则原来的长是_____m ．
17．如图，△ABC 是一块直角三角板，∠BAC=90°，∠B=30°，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点A 落在直尺的一边上，AB 与直尺的另一边交于点D ，BC 与直尺的两边分别交于点E ，F ．若∠CAF=20°，则∠BED 的度数为_______°．
18．已知不等式x 2+mx+2
m
＞0的解集是全体实数，则m 的取值范围是_____． 三、解答题
19．解不等式组()3151924x x x
x ⎧-≤+⎪
⎨-<
⎪⎩
，并写出它的所有整数解． 20．如图，点A （﹣1，m ）是双曲线y 1＝
k
x 与直线y 2＝﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点，另一个交点C 在第四象限，AB ⊥x 轴于B ，且cos ∠AOB
（1）求m 的值； （2）求△AOC 的面积；
（3）直接写出使y 1＞y 2成立的x 的取值范围．
21．如图，点P 是AB 所对弦AB 上一动点，点Q 是AB 与弦AB 所围成的图形的内部的一定点，作射线PQ 交AB 于点C ，连接BC ．已知AB ＝6cm ，设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，C 两点间的距离为y 1cm ，B ，C 两点间的距离为y 2cm ．（当点P 与点A 重合时，x 的值为0）．
小平根据学习函数的经验，分别对函数y 1，y 2随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小平的探究过程，请补充完整：
（1）按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 与x 的几组对应值； x/
经测量m 的值是（保留一位小数）．
（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x ，y 1），（x ，y 2），并画出函数y 1，y 2的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当△BCP 为等腰三角形时，AP 的长度约为 cm ．
22．定义：平面内，如果一个四边形的四个顶点到某一点的距离都相等，则称这一点为该四边形的外心．
（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形中，一定有外心的是；
（2）已知四边形ABCD有外心O，且A，B，C三点的位置如图1所示，请用尺规确定该四边形的外心，并画出一个满足条件的四边形ABCD；
（3）如图2，已知四边形ABCD有外心O，且BC=8，sin∠BDC=4
5
，求OC的长．
23．如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为BD的中点，且BD＝8，AC＝9，sinC
＝1
3
，求⊙O的半径．
24．如图，点D是以AB为直径的半圆O上一点，连接BD，点C是»AD的中点，过点C作直线BD的垂线，垂足为点E．
求证：（1）CE是半圆O的切线；
（2）BC2＝AB•BE．
25．（1
）计算：
30
2017
13
130260
2
()cos sin
π
-
︒︒
⎛⎫⎛⎫
-++-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
（2）解分式方程：
12
33
x
x x
+
-
+-
＝1
【参考答案】***
二、填空题 13．7：3 14．2或
15．29° 16．12 17．80
18．0＜m ＜2． 三、解答题
19．﹣2≤x＜1，整数解有﹣2、﹣1、0． 【解析】 【分析】
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】
()3151924x x x
x ①②⎧-≤+⎪
⎨-<⎪
⎩
， 解不等式①，得x≥﹣2， 解不等式②，得x ＜1，
∴不等式组的解集为﹣2≤x＜1， ∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0． 【点睛】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（1）m ＝3；（2）4；（3）x ＜﹣1或0＜x ＜3． 【解析】 【分析】
（1）根据已知条件得到OB=1，由cos ∠AOB=
10
，得到，根据勾股定理即可得到结论； （2）先把两函数的解析式联立组成方程组，求出x 、y 的值，得出A 、C 两点的坐标，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）观察图象，根据一次函数与反比例函数的交点坐标即可求出一次函数的值大于反比例函数的值x 的取值范围． 【详解】
解：（1）∵A （﹣1，m ），AB ⊥x 轴于B ，
∵cos ∠AOB
， ∴OA
，
∴AB
3， ∴A （﹣1，3）， ∴m ＝3；
（2）∵A （﹣1，3）是双曲线1k
y x
=与直线y 2＝﹣x ﹣（k+1）在第二象限的交点， ∴k ＝﹣3，
∴反比例函数的解析式为：13
y x
=-
，一次函数的解析式为：y 2＝﹣x+2， 23y x y x =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
解得13x y =-⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=-⎩
，
∴C （3，﹣1）， ∴△AOC 的面积＝
12×2×1+1
2
×2×3＝4； （3）由图象知，y 1＞y 2成立的x 的取值范围为：x ＜﹣1或0＜x ＜3．
【点睛】
此题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，反比例函数的性质，求两函数的交点坐标，比较函数值的大小，三角形的面积等知识，能根据△ABO 的面积求出k 的值是解答此题的关键． 21．（1）3；（2）详见解析；（3）1.2或1.6或3.0． 【解析】 【分析】
（1）利用圆的半径相等即可解决问题； （2）利用描点法画出图象即可．
（3）图中寻找PB 长关于x 的函数：直线y=-x+6与两个函数的交点的横坐标以及y 1与y 2的交点的横坐标即可. 【详解】
解：（1）（1）∵PA＝0时，点P与点A重合，AB＝6，PC＝AC＝5.37，BC＝2.68，
∴AB2＝PC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴AB是直径．
当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3，
∴y1＝3，
故答案为3．
（2）如图；
（3）观察图象可知：当x＝y，即当PB＝PC或PB＝BC时，x＝3或1.2，
当y1＝y2时，即PC＝BC时，x＝1.6，或x＝6（与P重合，△BCP不存在）
综上所述，满足条件的x的值为1.2或1.6或3，．
故答案为1.2或1.6或3.0．
【点睛】
本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．22．（1）矩形；（2）见解析；（3）5.
【解析】
【分析】
（1）根据平行四边形、矩形和菱形在对角线上的性质求解可得；
（2）连接BC、AB，作两线段的中垂线，交于点O，以O为圆心、OA为半径作圆，在AC上取一点D，顺次连接即可得；
（3）作出四边形的外接圆，连接BO，作OE⊥BC于点E，依据圆周角定理和圆心角定理得出∠COE＝∠BDC，
由垂径定理得CE＝1
2
BC＝4，据此利用正弦函数的定义可得答案
【详解】
解：（1）∵矩形对角线相等且互相平分，
∴矩形对角线交点到四顶点的距离相等，即对角线交点是矩形的外心，
故答案为：矩形；
（2）如图1，点O即为四边形的外心，满足条件的四边形ABCD如图所示．
（3）如图2，作四边形ABCD的外接圆，连接BO，作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠COE，
∵∠BOC＝2∠BDC，
∴∠COE＝∠BDC，
∵BC＝8，OE⊥BC，
∴CE＝1
2
BC＝4，
∵sin∠BDC＝4
5
，
∴sin∠BDC＝sin∠COE＝
4
5 CE
OC
，
则OC＝5．
【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形、矩形、菱形的性质，四边形外接圆的性质，圆周角定理和圆心角定理及垂径定理等知识点．
23．⊙O的半径为25
6
．
【解析】
【分析】
如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH 中，根据BH2+OH2＝OB2，构建方程即可解决问题。

【详解】
解：如图，连接OA．交BC于H．
∵点A为BD的中点，∴OA⊥BD，BH＝DH＝4，∴∠AHC＝∠BHO＝90°，
∵
1AH
sin C
3AC
==，AC＝9，
∴AH＝3，
设⊙O的半径为r，
在Rt△BOH中，∵BH2+OH2＝OB2，∴42+(r﹣3)2＝r2，
∴r＝25
6
，
∴⊙O的半径为25
6
．
【点睛】
本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．（1）详见解析；（2）详见解析．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠DBC，根据等腰三角形的性质得到∠OCB＝∠OBC，等量代换得到∠OCB＝∠CBD，推出OC∥BD，根据平行线的性质得到OC⊥CE，于是得到结论；
（2）连接AC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
证明：（1）连接OC，
∵点C是AD的中点，
∴AC CD
=，
∴∠ABC＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∵CE⊥BE，
∴OC⊥CE，
∴CE 是半圆O 的切线；
（2）连接AC ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB ＝90°，
∵CE ⊥BE ，
∴∠E ＝90°，
∴∠E ＝∠ACB ，
∵∠ABC ＝∠CBD ，
∴△ABC ∽△CBE ， ∴AB BC BC BE
=， ∴BC 2＝AB•BE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．（1）8；（2）x ＝0
【解析】
【分析】
（1）先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算；
（2）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．
【详解】
（1）原式1812=-+++
8=+80+＝
＝8；
（2）去分母，得(1)(3)2(3)3)
3x x x x x +--+=+(（﹣） 去括号，得2223269x x x x --=---，
合并同类项，得40x -= ，
∴0x =，
经检验，0x =是原分式方程的根，
故原方程的解为x ＝0．
【点睛】
本题考查了实数的计算以及解分式方程，熟练掌握实数的运算法则与分式方程的解法是解题的关键．
2019-2020学年数学中考模拟试卷
一、选择题
1．若关于x 的一元二次方程kx 2
-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围( )
A.k 1<且k 0≠
B.k 0≠
C.k 1<
D.k 1>
2．如图，在平面直角坐标系中，点B 的坐标(0，，∠AOC ＝45°，∠ACO ＝30°，则OC 的长为( )
3．如图，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝26°，则∠COB 的度数是（ ）
A.52°
B.64°
C.48°
D.42°
4．已知二次函数y ＝x 2+bx+c （b ，c 是常数）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+b 与反比例函数y ＝在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
5．如图，AB 、CD 相交于点O ，∠1= 80°，DE ∥AB ，DF 是∠CDE 的平分线，与AB 交于点F 那么∠DFB 的度数为（ ）
A ．80°
B ．100°
C ．120°
D ．130°
6．2018年某区域GDP （区域内生产总值）总量为90.03亿元，用科学计数法表示90.03亿为（ ）
A ．9.003×1010
B ．9.003×109
C ．9.003×108
D ．90.03×108
7．半径为r 的圆的内接正六边形边长为( )
A ．1r 2
B ．r 2
C ．r
D ．2r 8．关于x 的方程（m ﹣2）x 2﹣4x+1＝0有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A ．m≤6
B ．m ＜6
C ．m≤6且m≠2
D ．m ＜6且m≠2
9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝4，按以下步骤作图：以点B 为圆心，适当长为半径画弧，交AB ，BC 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圆心，大于
12
EF 的长为半径画弧，两弧在∠ABC 内部相交于点H ，作射线BH ，交DC 于点G ，则DG 的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
10．如图，点D 、E 分别为△ABC 的边AB 、AC 上的点，BE 与CD 相交于点O ，现有四个条件：①AB ＝AC ；②OB ＝OC ；③∠ABE ＝∠ACD ；④BE ＝CD ，选择其中2个条件作为题设，余下2个条件作为结论，所有命题中，真命题的个数为（ ）
A ．.3
B ．.4
C ．.5
D ．、6
11．抛物线y ＝（x+3）2﹣4的对称轴为（ ）
A ．直线x ＝3
B ．直线x ＝﹣3
C ．直线x ＝4
D ．直线x ＝﹣4
12．下列运算结果正确的是（ ）
A ．()322x x x x x x -+÷=-
B ．()236a a a -⋅=
C ．236(2x )8x -=-
D ．2224a (2a)2a -=
二、填空题
13．计算：52---=（）__________．
14．如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别是各边的中点，随机地向△ABC 中内掷一粒米，则米粒落到阴影区域内的概率是_____．
15．如图，在正方形ABCD 中，点P 是AB 上一动点(不写A B 、重合)，对角线AC BD 、相交于点O ，过点P 分别作AC BD 、的垂线，分别交AC BD 、于点E F 、，交AD BC 、于点M N 、，下列结论：①APE ∆≌AME ∆；②PM PN AC +=；③POF ∆∽BNF ∆；④当PMN ∆∽AMP ∆时，点P 是AB 的中点，其中一定正确的结论有_______.(填上所有正确的序号)
16．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．
17．如图，已知A （，2）、B （，1），将△AOB 绕着点O 逆时针旋转，使点A 旋转到点A′（，
）的位置，则图中阴影部分的面积为_____．
18．用一组a 、b 、c 的值说明命题“若a ＞b ，则ac ＞bc”错误的，这组值可以是a ＝ ，b ＝ ，c ＝ ．
三、解答题
19．如图，我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图2中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图，已知1BC =米，37MBC ︒∠=.从水平地面店D 处看点C ，仰角45ADC ︒∠=，从点E 处看点B ，仰角53AEB ︒∠=.且 2.2DE =米，求匾额悬挂的高度AB 的长.
（参考数据：
343 sin37,cos37,tan37
554︒︒︒
≈≈≈）
20．某商场计划购进A、B两种新型节能台灯，已知B型节能台灯每盏进价比A型的多40元，且用3000元购进的A型节能台灯与用5000元购进的B型节能台灯的数量相同．
（1）求每盏A型节能台灯的进价是多少元？
（2）商场将购进A、B两型节能台灯100盏进行销售，A型节能台灯每盏的售价为90元，B型节能台灯每盏的售价为140元，且B型节能台灯的进货数量不超过A型节能台灯数量的2倍．应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时利最多？此时利润是多少元？
21．一服装经销商计划购进某品牌的A型、B型、C型三款服装共60套，每款服装至少要购进8套，且恰好用完购服装款61000元．设购进A型服装x套，B型服装y套，三款服装的进价和预售价如下表：
（1）如果所购进的A型服装与B型服装的费用不超过39000元，购进B型服装与C型服装的费用不超过34000元，那么购进三款服装各多少套？
（2）假设所购进服装全部售出，综合考虑各种因素，该服装经销商在购进这批服装过程中需另外支出各种费用共1500元．
①求出预估利润P（元）与x（套）的函数关系式；（注：预估利润P＝预售总额﹣购服装款﹣各种费用）
②求出预估利润的最大值，并写出此时购进三款服装各多少套．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线y=1
2
x b
+与抛物线y=2
11
3
22
x x
--+交于A、B两点，且点A在
x轴上，点B的横坐标为-4，点P为直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB于点Q，PH⊥AB于H．
（1）求b的值及sin∠PQH的值；
（2）设点P的横坐标为t，用含t的代数式表示点P到直线AB的距离PH的长，并求出PH之长的最大值以及此时t的值；
（3）连接PB，若线段PQ把△PBH分成成△PQB与△PQH的面积相等，求此时点P的坐标．
23．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+（k﹣1）x+k．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）求该函数的图象顶点M的坐标（用k的代数式表示）；
（3）当﹣3≤k＜3时，求顶点M的纵坐标的取值范围．
24．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；
（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．
25．（1）计算|﹣3|+（﹣1）2019﹣（10﹣2sin60°
【参考答案】***
一、选择题
二、填空题
13．-3
14．1 4
15．①②④16．80
17．7
8 .
18．1；﹣1，0．（答案不唯一）
三、解答题
19．3.2米
【解析】
【分析】
过C 作CF AM ⊥于F ，过C 作CH AD ⊥于H ，则四边形AHCF 是矩形，可得HC=AF ，通过解Rt BCF ∆求出BF=0.8，通过解Rt CDH ∆可求出HC ，最后列式求解即可.
【详解】
过C 作CF AM ⊥于F ，过C 作CH AD ⊥于H ，则四边形AHCF 是矩形，所以AF =CH,CF =AH .
在Rt BCF ∆中，1BC =，037CBF ∠=.
BF BCcos370.8,CF BCsin 370.6︒︒====
在Rt BAE ∆中，053BEA ∠=，所以34
AE AB =
在Rt CDH ∆中，CDH 45︒∠=， 0.8CH DH FA AB ===+，
0.60.8 1.4AD AH DH AB AB =+=++=+，
3 2.24
AD AE DE AB =+=+， 31.4 2.24
AB AB +=+， 3.2AB =
即匾额悬挂的高度是3.2米
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
20．（1）每盏A 型节能台灯的进价是60元；（2）A 型台灯购进34盏，B 型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．
【解析】
【分析】
（1）设每盏A 型节能台灯的进价是x 元，则B 型节能台灯每盏进价为（x+40）元，根据用3000元购进的A 型节能台灯与用5000元购进的B 型节能台灯的数量相同，列方程求解；
（2）设购进B 型台灯m 盏，根据商场购进100盏台灯且规定B 型台灯的进货数量不超过A 型台灯数量的2倍，列不等式求解，进一步得到商场在销售完这批台灯时获利最多时的利润．
解：（1）设每盏A 型节能台灯的进价是x 元，则B 型节能台灯每盏进价为（x+40）元， 根据题意得，3000500040
x x =+ ， 解得：x ＝60，
经检验：x ＝60是原方程的解，
故x+40＝100，
答：每盏A 型节能台灯的进价是60元，则B 型节能台灯每盏进价为100元；
（2）设购进B 型节能台灯m 盏，购进A 型节能台灯（100﹣m ）盏，
依题意有m≤2（100﹣m ），
解得m≤6623
， 90﹣60＝30（元），
140﹣100＝40（元），
∵m 为整数，30＜40，
∴m ＝66，即A 型台灯购进34盏，B 型台灯购进66盏时获利最多，
34×30+40×66
＝1020+2640
＝3660（元）．
此时利润为3660元．
答：（1）每盏A 型节能台灯的进价是60元；（2）A 型台灯购进34盏，B 型台灯购进66盏时获利最多，利润为3660元．
【点睛】
本题考查分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
21．（1）购进A 型服装30套，B 型服装10套，则C 型服装为20套；（2）①P ＝500x+500；②最大值为17500元，此时购进A 型服装34套，B 型服装18套，C 型服装8套.
【解析】
【分析】
（1）首先设购进A 型服装x 套，B 型服装y 套，则C 型服装为（60-x-y ）套；根据题意可得
()()900120039000120011006034000900120011006061000x y y x y x y x y ⎧+≤⎪+--≤⎨⎪++--⎩
①②
＝③，求解不等式组即可求得答案； （2）①根据由预估利润P=预售总额-购机款-各种费用，即可求得利润P （元）与x （套）的函数关系式为：P=1200x+1600y+1300（60-x-y ）-61000-1500，整理即可求得答案；
②根据题意列出不等式组：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩
，解此不等式组求得x 的取值范围，然后根据①中一次函数的
增减性，即可答案．
解：（1）设购进A 型服装x 套，B 型服装y 套，则C 型服装为（60﹣x ﹣y ）套；
由题意，得()()900120039000120011006034000900120011006061000x y y x y x y x y ⎧+≤⎪+--≤⎨⎪++--⎩
①②＝③，
整理得：3413011320250x y y x y x +≤⎧⎪-≤-⎨⎪-⎩
＝，
∴可得不等式组：()(
)3425013025011320x x x x ⎧+-≤⎪⎨--≤-⎪⎩， 解得：x ＝30，y ＝10，
∴购进A 型服装30套，B 型服装10套，则C 型服装为20套；
（2）①由题意，得P ＝1200x+1600y+1300（60﹣x ﹣y ）﹣61000﹣1500，
整理得：P ＝500x+500，
∴利润P （元）与x （套）的函数关系式为：P ＝500x+500；
②由（1）得：y ＝2x ﹣50，
∴购进C 型服装套数为：60﹣x ﹣y ＝110﹣3x ，
根据题意列不等式组，得：8250811038x x x ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩
，
解得29≤x≤34，
∴x 范围为29≤x≤34，且x 为整数．
∵P 是x 的一次函数，k ＝500＞0，
∴P 随x 的增大而增大．
∴当x 取最大值34时，P 有最大值，最大值为17500元．
此时购进A 型服装34套，B 型服装18套，C 型服装8套．
【点睛】
此题考查了一次函数与不等式组的实际应用问题．此题难度较大，解题的关键是结合图表，理解题意，求得不等式组与一次函数，然后根据函数的性质求解，注意函数思想的应用．
22．（1）b=-1
，sin PQH ∠=
（2
）2PH 1)=++t=-1时，PH
；（3）P （-3，0）．
【解析】
【分析】
（1）令y=0，求出点A 的坐标，然后把点A 的坐标代入直线解析式，求出点B 的值，然后根据点A 和点C 的坐标，求出OA 和OC 的长度，根据勾股定理求出AC 的长度，根据PQ ∥OC ，可得∠PQH=∠OCA ，然后求出sin ∠PQH 的值；
（2）求出点P 和点Q 的坐标，运用三角函数，求出PH 的函数关系式，运用求最大值的方法求解即可．
（3）作BD ⊥PQ 交PQ 的延长线于点D ，由S △PQB =S △PQH ，得出BQ=QH ，利用三角函数求出QH 和BQ 的关系式，运用相等的关系求出t ，即可得出点P 的坐标．
【详解】
解：（1）令y=0得：211x x 3022-
-+=，化简x 2+x-6=0，解得x 1=-3，x 2=2， ∴A （2，0），
∵A （2，0）在直线12
y x b =
+上， ∴1+b=0，解得b=-1，
∴OC=1，OA=2，
AC ∴=
∵PQ ∥OC ，
∴∠PQH=∠OCA ，
sin PQH sin OCA
5∴∠=∠==， （2）2111P t,t t 3,Q t,t 1222⎛⎫⎛⎫--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 21PQ t t 42
∴=--+，
sin PQH 5
∠=，
)2221PH t t 4t 2t (t 1)
25555⎛⎫∴=--+=++=-++ ⎪⎝⎭，
∴当t=-1时，PH ， （3）如图，作BD ⊥PQ 交PQ 的延长线于点D ，设点P 的横坐标为t ，
∵S △PQB =S △PQH ，
∴BQ=QH ，
在RT △PHQ 中，
sin PQH
∠=，
QH :PH :PQ 1:2∴=
21QH t t 4
2⎛⎫∴==--+ ⎪⎝⎭
， 在RT △BDQ 中，
∵∠BQD=∠PQH ，
sin BQD sin PQH
∴∠=∠= BD
BQ ∴=
BQ BD (t 4)22∴=
=+， BQ QH =，
214)t t 4
2⎛⎫+=--+ ⎪⎝⎭
， ∴t 2+7t+12=0，
∴t 1=-3，t 2=-4（舍去），
∴P （-3，0）．
【点睛】
本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，涉及勾股定理，三角函数及方程，解题的关键是找准相等解的关系利用三角函数求解．
23．（1）1个或2个（2）（12k -，2
(1)4
k +）（3）当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t ＜4
【解析】
【分析】
（1）计算判别式的值得到△＝（k+1）2≥0，然后根据判别式的意义确定该函数的图象与x 轴的交点的个数；
（2）利用配方法，把一般式配成顶点式即可得到该函数的图象顶点M 的坐标；
（3）设顶点M 的纵坐标为t ，利用（2）的结论得到t ＝
14
（k+1）2，则t 为k 的二次函数，然后利用二次函数的性质求解．
【详解】
解：（1）∵△＝（k ﹣1）2﹣4×（﹣1）×k ＝k2+2k+1＝（k+1）2≥0，
∴该函数的图象与x 轴的交点的个数为1个或2个；
（2）∵y ＝﹣x 2+（k ﹣1）x+k
222k 1k 1x (k 1)x k 22--⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=--++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22
1(1)=24k k x -+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ ∴该函数的图象顶点M 的坐标为2k 1(k 1),2
4⎛⎫-+ ⎪⎝⎭； （3）设顶点M 的纵坐标为t ，
则t ＝14
（k+1）2， 当k ＝﹣1时，t 有最小值0；
当﹣3≤k＜﹣1，t 随k 的增大而减小，则0＜t≤1；
当﹣1＜k ＜3时，t 随k 的增大而减小，则0＜t ＜4，
∴t 的范围为0≤t＜4，
即当﹣3≤k＜3时，顶点M 的纵坐标t 的取值范围为0≤t＜4．
【点睛】
本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2
+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．△＝b 2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数（△＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点）．也考查了二次函数的性质．
24．（1）见解析；（2）⊙O 的直径为9．
【解析】
【分析】
（1）利用圆内接四边形对角互补以及邻补角的定义得出∠FED=∠A ，进而得出∠B+∠A=90°，求出答案；
（2）利用相似三角形的判定与性质首先得出△FED ∽△FAC ，进而求出即可．
【详解】
（1）证明：∵∠A+∠DEC ＝180°，∠FED+∠DEC ＝180°，
∴∠FED ＝∠A ，
∵BC 是⊙O 的切线，
∴∠BCA ＝90°，
∴∠B+∠A ＝90°，
∴∠B+∠FED ＝90°；
（2）解：∵∠CFA ＝∠DFE ，∠FED ＝∠A ，
∴△FED ∽△FAC ， ∴
DE DF AC FC
=， ∴326AC =， 解得：AC ＝9，即⊙O 的直径为9．
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的性质等知识，得出△FED∽△FAC是解题关键．
25．1
【解析】
【分析】
先算绝对值、乘方，三角函数，再算加减.
【详解】
解：原式＝3﹣1﹣1﹣2×
2
＝3﹣1﹣1
＝1
【点睛】
考核知识点：含有三角函数值的运算.。