八公山区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

八公山区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知f （x ）=x 3﹣3x+m ，在区间[0，2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f （a ），f （b ），f （c ）为边长的三角形，则m 的取值范围是（ ）
A ．m ＞2
B ．m ＞4
C ．m ＞6
D ．m ＞8
2． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（
）A ．﹣2B ．2
C ．﹣98
D ．98　
3． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）A ．x=πB ．C ．
D ．
　4． 设函数
，则“
”是“函数
在
上存在零点”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 在ABC ∆中，若60A ∠=
，45B ∠=
，BC =，则AC =（
）
A ．
B ．
C.
D 6． 为了解决低收入家庭的住房问题，某城市修建了首批108套住房，已知三个社区分别有低收入家C B A ,,庭360户，270户，180户，现采用分层抽样的方法决定各社区所分配首批经济住房的户数，则应从社C 区抽取低收入家庭的户数为（ ）
A ．48
B ．36
C ．24
D ．18
【命题意图】本题考查分层抽样的概念及其应用，在抽样考查中突出在实际中的应用，属于容易题．7． 某个几何体的三视图如图所示，其中正（主）视图中的圆弧是半径为2的半圆，则该几何体的表面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．π1492+π1482+π2492+π
2482+【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的面积度量.重点考查空间想象能力及对基本面积公式的
运用，难度中等.
8． 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n =n 2+2n （n ∈N *），则++…+=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 已知抛物线的焦点为，，点是抛物线上的动点，则当的值最小时，2
4y x =F (1,0)A -P ||
||
PF PA PAF ∆的
面积为（ ）
B. C. D. 2
4
【命题意图】本题考查抛物线的概念与几何性质，考查学生逻辑推理能力和基本运算能力.
10．一个骰子由六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ）1~6A ．6
B ．3
C ．1
D ．2
11．已知函数与轴的交点为，且图像上两对称轴之间的最
()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<y (0,1)小距离为，则使成立的的最小值为（
）1111]
2
π
()()0f x t f x t +--+=t A ．
B ．
C ．
D ．
6
π
3
π
2
π
23
π
12．P 是双曲线=1（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，且焦距为2c ，则△PF 1F 2
的内切圆圆心的横坐标为（ ）
A ．a
B ．b
C ．c
D ．a+b ﹣c
二、填空题
13．如图，函数f （x ）的图象为折线 AC B ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是 ．
14．在中，已知角的对边分别为，且，则角ABC ∆C B A ,,c b a ,,B c C b a sin cos +=B 为
.
15．函数()y f x =图象上不同两点()()1122,,,A x y B x y 处的切线的斜率分别是A B k k ，，规定
(),A B
k k A B AB
ϕ-=
（AB 为线段AB 的长度）叫做曲线()y f x =在点A 与点B 之间的“弯曲度”，给出以下命题：
①函数3
2
1y x x =-+图象上两点A 与B 的横坐标分别为1和2，则(),A B ϕ>②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；③设点A,B 是抛物线2
1y x =+上不同的两点，则(),2A B ϕ≤；
④设曲线x
y e =（e 是自然对数的底数）上不同两点()()112212,,,,1A x y B x y x x -=且，若(),1
t A B ϕ⋅<恒成立，则实数t 的取值范围是(),1-∞.
其中真命题的序号为________.（将所有真命题的序号都填上）
16．已知为常数，若,则_________.
,a b ()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，5a b -=三、解答题
17．如图，在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 四边长为1的菱形，∠ABC=，OA ⊥底面ABCD ，OA=2
，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．（Ⅰ）证明：直线MN ∥平面OCD ；（Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（Ⅲ）求点B 到平面OCD 的距离．
18．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且，．{}n a n n S 990S =15240S =（1）求的通项公式和前项和；{}n a n a n n S （2）设，为数列的前项和，若不等式对于任意的恒成立，求实数的
1
(1)
n n a b n =+n S {}n b n n S t <*n ∈N t 取值范围．
19．（本题满分14分）已知两点与是直角坐标平面内两定点，过曲线上一点作)1,0(-P )1,0(Q C ),(y x M y
轴的垂线，垂足为，点满足，且.N E ME =0=⋅（1）求曲线的方程；
C （2）设直线与曲线交于两点，坐标原点到直线的距离为
，求面积的最大值.l C B A ,O l 2
3
AOB ∆【命题意图】本题考查向量的基本运算、轨迹的求法、直线与椭圆的位置关系，本题知识交汇性强，最值的求解有一定技巧性，同时还要注意特殊情形时三角形的面积．总之该题综合性强，难度大．
20．已知数列{a n}共有2k（k≥2，k∈Z）项，a1=1，前n项和为S n，前n项乘积为T n，且a n+1=（a﹣1）S n+2（n=1，2，…，2k﹣1），其中a=2，数列{b n}满足b n=log2，
（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|≤，求k的值．
21．如图，四边形ABCD与A′ABB′都是边长为a的正方形，点E是A′A的中点，AA′⊥平面ABCD．（1）求证：A′C∥平面BDE；
（2）求体积V A′﹣ABCD与V E﹣ABD的比值．
22．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点
（1）求证：直线AF∥平面BEC1
（2）求A到平面BEC1的距离．
八公山区第二中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）
一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：由f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）=0得到x1=1，x2=﹣1（舍去）
∵函数的定义域为[0，2]
∴函数在（0，1）上f′（x）＜0，（1，2）上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m﹣2，f（x）max=f（2）=m+2，f（0）=m
由题意知，f（1）=m﹣2＞0 ①；
f（1）+f（1）＞f（2），即﹣4+2m＞2+m②
由①②得到m＞6为所求．
故选C
【点评】本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[0，2]上的最小值与最大值
2．【答案】A
【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4
所以f（7）=f（3）=f（﹣1），
又f（x）在R上是奇函数，
所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×12=﹣2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．
3．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x，再向右平移个单位得到y=cos[（x）]，
由（x）=kπ，得x=2kπ，
即+2kπ，k∈Z，
当k=0时，，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．　
4． 【答案】A
【解析】【知识点】零点与方程【试题解析】因为所以若，则函数
在
上存在零点；
反过来，若函数在上存在零点，则则故不一定。

故答案为：A 5． 【答案】B 【解析】
考点：正弦定理的应用.6． 【答案】C
【解析】根据分层抽样的要求可知在社区抽取户数为．
C 249
2
108180270360180108=⨯=++⨯7． 【答案】A
8． 【答案】D
【解析】解：∵S n =n 2+2n （n ∈N *），∴当n=1时，a 1=S 1=3；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=（n 2+2n ）﹣[（n ﹣1）2+2（n ﹣1）]=2n+1．
∴=
=
，
∴++…+
=
+
+…+
=
=﹣．
故选：D ．
【点评】本题考查了递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．　
9． 【答案】B
【解析】设，则
又设，则，，所以2
(,)4
y P y 2
|
|||
PF PA
=2
14
y t +=244y t =-1t …，当且仅当，即时，等号成立，此时点，
||||PF PA ==2t =2y =±(1,2)P ±的面积为，故选B.
PAF ∆11
||||22222
AF y ⋅=⨯⨯=10．【答案】A 【解析】
试题分析：根据与相邻的数是，而与相邻的数有，所以是相邻的数，故“？”表示的数是，1,4,31,2,51,3,5故选A ．
考点：几何体的结构特征．11．【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质．12．【答案】A
【解析】解：如图设切点分别为M ，N ，Q ，
则△PF 1F 2的内切圆的圆心的横坐标与Q 横坐标相同．由双曲线的定义，PF 1﹣PF 2=2a ．
由圆的切线性质PF 1﹣PF 2=F I M ﹣F 2N=F 1Q ﹣F 2Q=2a ，∵F 1Q+F 2Q=F 1F 2=2c ，
∴F2Q=c﹣a，OQ=a，Q横坐标为a．
故选A．
【点评】本题巧妙地借助于圆的切线的性质，强调了双曲线的定义．
二、填空题
13．【答案】　（﹣1，1]　．
【解析】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log2（x+1）的图象，如图所示：
由图可得不等式f（x）≥log2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．
故答案为：（﹣1，1]
14．【答案】
4
【解析】
考
点：正弦定理．
【方法点晴】本题考查正余弦定理,根据正弦定理，将所给的含有边和角的等式化为只含有角的等式，再利用三角形的三角和是，消去多余的变量，从而解出角.三角函数题目在高考中的难度逐渐增加，以考查三︒180B 角函数的图象和性质，以及三角形中的正余弦定理为主，在年全国卷（ ）中以选择题的压轴题出
2016现.
15．【答案】②③【解析】
试题分析：①错：(1,1),(2,5),|||7,A B A B AB k k =-
=(,)A B ϕ∴=<②对：如1y =
；③对；(,)2A B ϕ==
≤；
④错；(,)A B ϕ=
=
11,(,)A B ϕ==>因为1(,)t A B ϕ<恒成立，故1t ≤.故答案为②③.111]
考点：1、利用导数求曲线的切线斜率；2、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题通过新定义“弯曲度”对多个命题真假的判断考查利用导数求曲线的切线斜率、两点间的距离公式、最值问题、不等式恒成立问题以及及数学化归思想，属于难题.该题型往往出现在在填空题最后两题，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.16．【答案】【解析】
试题分析：由，得，
()()2
2
4+3a 1024f x x x f x b x x =++=++，22
()4()31024ax b ax b x x ++++=++即，比较系数得，解得或
2222
24431024a x abx b ax b x x +++++=++221
24104324a ab a b b ⎧=⎪+=⎨⎪++=⎩
1,7a b =-=-，则.
1,3a b ==5a b -=考点：函数的性质及其应用.
【方法点晴】本题主要考查了函数的性质及其应用，其中解答中涉及到函数解析式的化简与运算，求解解析式中的代入法的应用和多项式相等问题等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定难度，属于中档试题，本题的解答中化简的解析式是解答的关键.
()f ax b +三、解答题
17．【答案】
【解析】解：方法一（综合法）
（1）取OB中点E，连接ME，NE
∵ME∥AB，AB∥CD，∴ME∥CD
又∵NE∥OC，∴平面MNE∥平面OCD∴MN∥平面OCD
（2）∵CD∥AB，∴∠MDC为异面直线AB与MD所成的角（或其补角）
作AP⊥CD于P，连接MP
∵OA⊥平面ABCD，∴CD⊥MP
∵，∴，，∴
所以AB与MD所成角的大小为．
（3）∵AB∥平面OCD，
∴点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP，过点A作AQ⊥OP于点Q，
∵AP⊥CD，OA⊥CD，
∴CD⊥平面OAP，∴AQ⊥CD．
又∵AQ⊥OP，∴AQ⊥平面OCD，线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，
∵
，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，
，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．　
18．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查等差数列通项与前项和、数列求和、不等式性质等基础知识，意在考查逻辑n 思维能力、运算求解能力、代数变形能力，以及方程思想与裂项法的应用．
19．【答案】
【解析】（1）依题意知，∵，∴),0(y N )0,32()0,(32x x ME -=-==
),3
1(y x E 则， …………2分
)1,(-=y x QM )1,3
1
(+=y x PE ∵，∴，即0=⋅PE QM 0)1)(1(3
1
=+-+⋅y y x x 1322=+y x
∴曲线的方程为 …………4分C 13
22
=+y x
20．【答案】
【解析】（本小题满分13分）
解：（1）当n=1时，a2=2a，则；
当2≤n≤2k﹣1时，a n+1=（a﹣1）S n+2，a n=（a﹣1）S n﹣1+2，
所以a n+1﹣a n=（a﹣1）a n，故=a，即数列{a n}是等比数列，，
∴T n=a1×a2×…×a n=2n a1+2+…+（n﹣1）=，
b n==．…
（2）令，则n≤k+，又n∈N*，故当n≤k时，，
当n≥k+1时，．…
|b1﹣|+|b2﹣|+…+|b2k﹣1﹣|+|b2k﹣|
=+（）+…+（）…
=（k+1+…+b2k）﹣（b1+…+b k）
=[+k]﹣[]
=，
由，得2k2﹣6k+3≤0，解得，…
又k≥2，且k∈N*，所以k=2．…
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质和构造法的合理运用．
21．【答案】
【解析】（1）证明：设BD交AC于M，连接ME．
∵ABCD为正方形，∴M为AC中点，
又∵E为A′A的中点，
∴ME为△A′AC的中位线，
∴ME∥A′C．
又∵ME⊂平面BDE，A′C⊄平面BDE，
∴A′C∥平面BDE．
（2）解：∵V E﹣ABD====V A′﹣ABCD．∴V A′﹣ABCD：V E﹣ABD=4：1．
22．【答案】
【解析】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF，
则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1
又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1
∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形，
∴AF∥HE，
∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1
∴AF∥平面REC1．…
（2）等边△ABC中，高AF==，所以EH=AF=
由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于
∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1
可得S△=BC1•EH=××=，
而S△ABE=AB×BE=2
由等体积法得V A﹣BEC1=V C1﹣BEC，
∴S△×d=S△ABE×，（d为点A到平面BEC1的距离）
即××d=×2×，解之得d=
∴点A到平面BEC1的距离等于．…
【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．。