2020年北京市房山区实验中学高二数学下学期期末试题

数学试卷
一、选择题
1.设集合{}1,2,3,4P =,{}|2Q x x =≤,则 P Q ⋂= ( ) A. {}1,2 B. {}3,4 C. {}1
D. {}2,1,0,1,2-- 2.在复平面内,复数12i
z i
-=
-对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、已知 是
上的奇函数，且当
时，
，则
（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
4、下列说法正确的是( ) A 、 B 、
C 、
D 、< 5、命题
是命题
的 （ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6、若变量
与 之间的相关系数
，则变量
与 之间（ ）
A ．不具有线性相关关系
B ．具有线性相关关系
C ．它们的线性相关关系还需要进一步确定
D ．不确定
7、“指数函数 是增函数，
是指数函数，所以
是
增函数”，在以上演绎推理中，下列说法正确的是
A ．推理完全正确
B ．大前提不正确
C ．小前提不正确
D ．推理形式不正确
8、想沏壶茶喝．洗烧开水的壶、灌入凉水需2分钟，洗茶壶、茶杯需2分钟，拿茶叶需1分钟，烧开水需15分钟，沏茶需1分钟．最省时的操作时间是
A ．17分钟
B ．18分钟
C ．19分钟
D ．20分钟
9.把函数()sin y x x R =∈的图像上所有点向左平行移动3
π
个单位长度,再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍(纵坐标不变),得到的图像所表示的函数是( ) A. sin 2,3y x x R π⎛
⎫=-
∈ ⎪⎝⎭ B. sin ,26x y x R π⎛⎫
=+∈ ⎪⎝⎭
C. sin 2,3y x x R π⎛
⎫=+∈ ⎪⎝
⎭
D.
2sin 2,3y x x R π⎛
⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
10、已知 是奇函数
的导函数，
，当
时，
，
则使得
成立的 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题 11、
． 12.函数2()4cos cos()2sin |ln(1)|22
x f x x x x π
=---+的零点个数为__________.
13、已知 且 ,则
14、若函数
为 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
15、若存在 ,使
,则实数 的取值范围是 ． 16、“整数对”按如下规律排成一列: , , , , ,
,
,
,
,
,……,则第
个
数对是 ． 三、解答题 17、（Ⅰ）证明： ．
（Ⅱ）已知圆的方程是
，则经过圆上一点
的切线方程为
，类比上述性质，试写出椭圆 类似的性质．
18、铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法为：行李质量不超过
，按
元
计算；超过
而不超过
时，其超过部分按
元
计
算，超过时，其超过部分按元计算．设行李质量为，托运费用为
元．
（Ⅰ）写出函数的解析式；
（Ⅱ）若行李质量为，托运费用为多少？
19、设平面向量，，函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间．
20、已知函数．
（Ⅰ）若求函数在上的最大值；
（Ⅱ）若对任意，有恒成立，求的取值范围．
21、已知函数．
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）若，求的取值集合及的值．
22、已知函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,讨论的单调性;
(3)若对任意的, ,恒有成立,求实数的取值范围.
参考答案
1.答案：A
解析：因为集合{}1,2,3,4P =,{}|2Q x x =≤则{}1,2P Q ⋂=,选A. 2.答案：A 解析：()22121222i i
i z i i i i i
--===-=+--,在复平面内复数z 对应的点为()2,1在第一象限.故A 正确.
答案： 3、
解析： 由已知得 ．
故选D ．
考点：函数的奇偶性． 答案： 4、 解析： 试题分析:
是不含有任何元素的集合,空集是任何集合的子集,所以A 项改为
就正确了,同时可知C 项 不正确,Q 表示有理数集,而
是无理数,所以D 项不正确
考点:空集及各种常见数集 点评:
是不含有任何元素的集合,空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,常见数集有:
自然数集N,正整数集 ,整数集Z,有理数集Q,实数集R 答案： 5、 解析： 命题
，所以命题
是命题
的充
分不必要条件； 故选A ．
考点：充要条件． 答案： 6、
解析： 由相关系数 的意义可知 越接近1，表明两相关变量的线性相关关系就越强，
这表明变量
与 之间具有线性相关关系；故选B ．
考点：线性回归分析． 答案： 7、
解析： 以上推理中， 是幂函数，不是指数函数，所以小前提不正确，故选C ． 考点：演绎推理． 答案： 8、
解析： 先洗烧开水的壶、灌入凉水的2分钟，之后烧开水15分钟，在烧开水的过程中，完成洗茶壶、茶杯的2分钟，拿茶叶的1分钟，之后沏茶1分钟，所以总共18分钟，故选B ． 考点：统筹安排，最省时的判断方法． 9.答案：C
解析：函数sin y x =图像向左平行移动3
π
个单位长度, 得函数sin 3y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
, 再把sin 3y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
1
2
倍(纵坐标不变),
得到的图象所表示的函数是sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
. 故选C
答案： 10、 解析： 构造函数
，则
，故知函数
在
上是增函数，又因为
是奇函数，所以函数
是偶函
数，且知 ； 所以 ，且在
是减函数，在坐标系中作出函数 的草图如
下：
由图可知使得 成立的 的取值范围是 ； 故选B ．
考点：1．导数的求导法则；2．函数导数与单调性之间的关系． 答案： 11、 解析：
故答案为： ．
考点：两角和与差的三角公式． 12.答案：2 解析： 答案： 13、 解析： 试题分析:因为
且
,所以
,
所以。

点评:我们要熟记对数的运算法则,对数的运算法则易记错,我们一定要记准! 答案： 14、
解析：函数在上是增函数，满足，得
考点：分段函数的单调性．
答案：15、
解析：本题等价于函数的图像有落在轴下方的点，即
，，，所以所求的实数的取值范围是．
考点：函数的图像．
答案：16、
解析：观察可知整数对的排列规律是：和为2的只有1个，和为3的有2个且从第一个数是1的开始排列, ,和为4的有3个且从第一个数是1的开始排列, , ,和为5的有4个且从第一个数是1的开始排列, , , ,……依此类推；由于
，由此可知第50个数对是和为11的第5个数对；
故答案为：．
考点：归纳推理．
答案：17、
解析：第一问用分析法证明等式即可，第二个类比着可以得出结果，属于基础题，很简单．
试题解析：（Ⅰ）证明：欲证，
只需证，
即证，
上式显然成立，故原等式成立． 5分
（Ⅱ）圆的性质中，经过圆上一点的切线方程就是将圆的方程中的一个与分别用的横坐标与纵坐标替换．故可得椭圆类似的性质为：过椭圆
一点的切线方程为． 10分
考点：分析法证明等式，类比推理．
答案：18、
解析：第一问根据题中的条件，结合题意，将函数值与自变量之间的关系找出来，注意分类讨论思想的应用，注意分段函数的应用，第二问根据自变量所属的范围，带入相应的解析式，从而求得对应的函数值．
试题解析：（Ⅰ）（1）若，则； 2分
（2）若，则； 4分
（3）若，则． 6分
所以，由（1）（2）（3）可知
8分
（Ⅱ）因为，所以（元）．10分
考点：函数应用题，分类讨论的思想，分段函数的应用，已知自变量求函数值．
答案：19、
解析：解决该题的关键是要明确向量的数量积的坐标运算式，注意三角函数的和角公式的应用和辅助角公式的应用，注意函数的最小正周期的确定方法，第二问注意其单调区间的求解方法，注意整体角的思维的运用．
试题解析：（Ⅰ）
2分
4分
所以，的最小正周期为． 6分
（Ⅱ）由8分
得 10分
所以，的单调递增区间为． 12分
考点：向量的数量积的坐标运算式，三角函数的和角公式，辅助角公式，单调区间的求解方法．答案：20、
解析：第一问结合导数的应用，确定出函数的单调区间，从而确定出函数的最值点，代入求得相应的最值，第二问有关恒成立问题的解法，将其转化为函数的最小值大于零即可，下一步有关最值的确定方法，需要借助于函数图像的走向，注意对参数的取值范围进行讨论，从而求得结果．
试题解析：（Ⅰ）
令 2分
当变化时，的取值情况如下：
，． 5分
（Ⅱ）,令 6分
（1）当时，在上为增函数，
不合题意；7分
（2）当时，在上是减函数，在上为增函数，
，得； 9分
（3）当时，在上是减函数，在上为增函数，
，不合题意． 11分
综上，．12分
考点：函数的最值，函数的单调性的确定，恒成立问题．
答案：21、
解析：第一问结合函数的定义域的求解思路，使得式子有意义，可得分母不等于零，从而解得角的终边不落轴上，从而求得函数的定义域，第二问根据题中所给的函数值，求得
，从而得到，进一步求得的值．
试题解析：（Ⅰ）由，得，2分
所以，函数的定义域为．3分
（Ⅱ）由，得
即，
，（*）5分
，
，
所以，．8分
由，得，
则，10分
当时，代入（*），矛盾，舍去；
当时，代入（*），成立．
所以，的取值集合是．13分
考点：函数的定义域，正弦和角公式，三角方程．
答案：22、
解析：试题分析:第一问,将代入中确定函数的解析式,对进行求导,判断的单调性,确定在时,函数有极小值,但无极大值,在解题过程中,注意函数的定义域;第二问,对求导, 的根为和,所以要判断函数的单
调性,需对和的大小进行3种情况的讨论;第三问,由第二问可知,当时, 在为减函数,所以为最大值, 为最小值,所以的最大值可以求出来,因为对任意的恒成立,所以,将的最大值代入后,
,又是一个恒成立,整理表达式,即对任意恒成立,所以再
求即可.
试题解析:(1)当时,
1分
由,解得. 2分
∴ 在上是减函数,在上是增函
数. 3分
∴ 的极小值为,无极大
值. 4分
(2) . 5分
①当时, 在和上是减函数,在上是增函
数; 6分
②当时, 在上是减函
数; 8分
③当时, 在和上是减函数,在上是增函
数. 8分
(3)当时,由(2)可知在上是减函数,
∴
.
9分
由对任意的恒成立, ∴
10分
即对任意恒成立,
即对任意恒成
立, 11分
由于当时, ,∴
. 12分。