(易错题精选)初中数学方程与不等式之不等式与不等式组经典测试题附解析

（易错题精选）初中数学方程与不等式之不等式与不等式组经典测试题附解析
一、选择题
1．不等式组32110x x -<⎧⎨+≥⎩
的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】
【分析】
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】 32110 x x -<⎧⎨+≥⎩
①② 解不等式①得，1x <，
解不等式②得，1x ≥-
所以，不等式组的解集为：-11x ≤<，
在数轴上表示为：
故选D.
【点睛】
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
2．若关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜
13，则关于x 的不等式（m+n ）x ＞n ﹣m 的解集是（ ）
A ．x ＜﹣12
B ．x ＞﹣12
C ．x ＜12
D ．x ＞
12
【答案】A
【解析】
【分析】
根据不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜
13，则0m <，0n <，3m n =，即可求出不等式的解集.
【详解】
解：∵关于x 的不等式mx ﹣n ＞0的解集是x ＜
13， ∴0m <，0n <，3m n =，
∴0m n +<，
解不等式()m n x n m >-+， ∴n m x m n -<
+， ∴3132
n m n n x m n n n --<==-++； 故选：A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式，以及不等式的性质，解题的关键是熟练掌握解不等式的方法和步骤.
3．若m n >,则下列不等式中成立的是( )
A ．m+a<n+b
B ．ma>nb
C ．ma 2>na 2
D ．a-m<a-n
【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
A. 不等式两边加的数不同，错误；
B. 不等式两边乘的数不同，错误；
C. 当a =0时，错误；
D. 不等式两边都乘−1，不等号的方向改变，都加a ，不等号的方向不变，正确； 故选D.
点睛：不等式的性质：(1)不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
(2)不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；(3)不等式的两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.
4．下列不等式的变形正确的是（ ）
A ．若,am bm >则a b >
B ．若22am bm >，则a b >
C ．若,a b >则22am bm >
D ．若a b >且0,ab >则11a b
> 【答案】B
【解析】
【分析】 根据不等式的性质，对每个选项进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：当0m <时，若am bm >，则a b <，故A 错误；
若22am bm >，则a b >，故B 正确；
当=0m 时，22=am bm ，故C 错误；
若0a b >>，则
11a b
<，故D 错误； 故选：B ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的性质进行判断．
5．若关于x 的不等式0521x m x -<⎧⎨-≤⎩
，整数解共有2个，则m 的取值范围是( ) A ．3m 4<<
B ．3m 4<≤
C ．3m 4≤≤
D ．3m 4≤< 【答案】B
【解析】
【分析】
首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m 的范围．
【详解】
解：0521x m x -<⎧⎨-≤⎩L L ①②
， 解①得x m <，
解②得2x ≥．
则不等式组的解集是2x m ≤<．
Q 不等式组有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则34m <≤．
故选B ．
【点睛】
本题考查了不等式组的整数解，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．若不等式组
0,
122
x a
x x
-≥
⎧
⎨
->-
⎩
有解，则a的取值范围是（）
A．a＞－1 B．a≥－1 C．a≤1D．a＜1
【答案】D
【解析】
【分析】
首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律：大小小大中间找，确定a的取值范围是a＜1．
【详解】
解：
122
x a
x x
-≥
⎧
⎨
->-
⎩
①
②
，
由①得：x≥a，
由②得：x＜1，
∵不等式组有解，
∴a＜1，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是正确解出两个不等式的解集，掌握确定不等式组解集的方法．
7．不等式组
1
240
x
x
>
⎧
⎨
-≤
⎩
的解集在数轴上可表示为（）
A ．
B ．
C ．
D ．【答案】A
【解析】
【分析】
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
【详解】
解：
1 240
x
x
>
⎧
⎨
-≤
⎩
①
②
∵不等式①得：x＞1，
解不等式②得：x≤2，
∴不等式组的解集为1＜x≤2，
在数轴上表示为：，故选A.
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键.
8．下列四个不等式：(1)ac bc >；(2)-ma mb <；22 (3) ac bc >；(4)1a b
>,一定能推出a b >的有(
) A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】
【分析】 根据不等式的性质逐个判断即可求得答案．
【详解】
解：在（1）中，当c ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，
在（2）中，当m ＞0时，则有-a ＜b ，即a ＞-b ，故不能推出a ＞b ，
在（3）中，由于c 2＞0，则有a ＞b ，故能推出a ＞b ，
在（4）中，当b ＜0时，则有a ＜b ，故不能推出a ＞b ，
综上可知一定能推出a ＞b 的只有（3），
故选：A ．
【点睛】
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键，特别是在不等式的两边同时乘或除以一个不为0的数或因式时，需要确定该数或因式的正负．
9．已知三个实数a ，b ，c 满足a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，则（ ）
A ．b ＞0，b 2﹣ac ≤0
B ．b ＜0，b 2﹣ac ≤0
C ．b ＞0，b 2﹣ac ≥0
D ．b ＜0，b 2﹣ac ≥0 【答案】C
【解析】
【分析】
根据a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，可以得到b 与a 、c 的关系，从而可以判断b 的正负和b 2﹣ac 的正负情况．
【详解】
∵a ﹣2b +c ＜0，a +2b +c ＝0，
∴a +c ＝﹣2b ，
∴a ﹣2b +c ＝（a +c ）﹣2b ＝﹣4b ＜0，
∴b ＞0，
∴b 2﹣ac ＝222222a c a ac c ac +++⎛⎫-= ⎪⎝⎭＝2222042a ac c a c -+-⎛⎫= ⎪⎝⎭
…，
即b ＞0，b 2﹣ac ≥0，
故选：C ．
【点睛】
此题考查不等式的性质以及因式分解的应用，解题的关键是明确题意，判断出b 和b 2-ac 的正负情况．
10．关于x 的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则不等式组的解集是（ ）
A ．1x >-
B ．3x ≤
C ．13x -≤≤
D ．13x -<≤
【答案】D
【解析】
【分析】
数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】
由数轴知，此不等式组的解集为-1＜x≤3，
故选D ．
【点睛】
考查解一元一次不等式组，不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解
集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
11．某商品进价为800元，出售时标价为1200元，后来商店准备打折出售，但要保持利润率不低于20%，则最多打( )折．
A ．6折
B ．7折
C ．8折
D ．9折
【答案】C
【解析】
【分析】
设打了x 折，用售价×折扣﹣进价得出利润，根据利润率不低于20%，列不等式求解．
【详解】
解：设打了x 折，
由题意得，1200×0.1x ﹣800≥800×20%，
解得：x≥8．
答：至多打8折．
故选：C
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用，正确理解利润率的含义，理解利润＝进价×利润率，是解题的关键．
12．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到”结果是否“为一次程序操作．如果程序操作进行了三次才停止，那么x 的取值范围是（ ）
A ．11x ≥
B ．1123x ≤≤
C ．1123x <≤
D ．23x ≤
【答案】C
【解析】
【分析】
根据运算程序，前两次运算结果小于等于95，第三次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【详解】 解依题意得：()()219522119522211195x x x ⎧+≤⎪⎪++≤⎨⎪⎡⎤+++>⎪⎣⎦⎩
①②
③ 解不等式①得，x≤47，
解不等式②得，x≤23，
解不等式③得，x ＞11，
所以，x 的取值范围是11＜x≤23．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运输程序并列出不等式组是解题的关键．
13．在数轴上表示不等式x <2的解集，正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
把不等式x＜2的解集在数轴上表示出来可知答案．
【详解】
在数轴上表示不等式x＜2的解集
故选：A．
【点睛】
本题运用了不等式的解集在数轴上的表示方法，体现了数形结合的数学思想．
14．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由（1）得x＞-1，由（2）得x≤1，所以-1＜x≤1．故选B．
15．如果关于x的分式方程有负数解，且关于y的不等式组
无解，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．﹣2 B．0 C．1 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
解关于y的不等式组，结合解集无解，确定a的范围，再由分式方程
有负数解，且a为整数，即可确定符合条件的所有整数a的值，最后求所有符合条件的值之和即可．
【详解】
由关于y的不等式组，可整理得
∵该不等式组解集无解，
∴2a+4≥﹣2
即a≥﹣3
又∵
得x ＝ 而关于x 的分式方程
有负数解
∴a ﹣4＜0
∴a ＜4 于是﹣3≤a ＜4，且a 为整数
∴a ＝﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2、3
则符合条件的所有整数a 的和为0．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是解分式方程与解不等式组，求各种特殊解的前提都是先求出整个解集，再在解集中求特殊解，了解求特殊解的方法是解决本题的关键．
16．如果,0a b c ><，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．a c b +>
B ．a c b c +>-
C ．11ac bc ->-
D ．()()11a c b c -<- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据不等式的性质即可求出答案．
【详解】
解：∵0c <，
∴11c -<-，
∵a b >，
∴()()11a c b c -<-，
故选：D ．
【点睛】
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于中等题型．
17．下列不等式变形正确的是（ ）
A ．由a b >，得22a b -<-
B ．由a b >，得22a b -<-
C ．由a b >，得a b >
D ．由a b >，得22a b >
【答案】B
【解析】
【分析】
根据不等式的基本性质结合特殊值法逐项判断即可．
【详解】
解：A 、由a ＞b ，不等式两边同时减去2可得a-2＞b-2，故此选项错误；
B 、由a ＞b ，不等式两边同时乘以-2可得-2a ＜-2b ，故此选项正确；
C 、当a ＞b ＞0时，才有|a|＞|b|；当0＞a ＞b 时，有|a|＜|b|，故此选项错误；
D 、由a ＞b ，得a 2＞b 2错误，例如：1＞-2，有12＜（-2）2，故此选项错误．
故选：B ．
【点睛】
主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．若m ＞n ，则下列不等式正确的是（ ）
A ．m ﹣2＜n ﹣2
B ．44m n >
C ．6m ＜6n
D ．﹣8m ＞﹣8n
【答案】B
【解析】
【分析】
将原不等式两边分别都减2、都除以4、都乘以6、都乘以﹣8，根据不等式得基本性质逐一判断即可得．
【详解】
A 、将m ＞n 两边都减2得：m ﹣2＞n ﹣2，此选项错误；
B 、将m ＞n 两边都除以4得：
m n 44
> ，此选项正确； C 、将m ＞n 两边都乘以6得：6m ＞6n ，此选项错误； D 、将m ＞n 两边都乘以﹣8，得：﹣8m ＜﹣8n ，此选项错误，
故选B ．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握握不等式的基本性质，尤其是性质不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
19．若关于x 的不等式x ＜a 恰有2个正整数解，则a 的取值范围为（ ）
A ．2＜a ≤3
B ．2≤a ＜3
C ．0＜a ＜3
D ．0＜a ≤2 【答案】A
【解析】
【分析】
结合题意，可确定这两个正整数解应为1和2，至此即可求出a 的取值范围
【详解】
由于x<a 恰有2个正整数解，即为1和2，故2<a ≤3
故正确答案为A
【点睛】
此题考查了不等式的整数解，列出关于a的不等式是解题的关键
x ≥0的解集在数轴上表示正确的是（）
20．不等式26
A．B． C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求解出不等式的解集，再表示在数轴上
【详解】
解不等式：2x-6≥0
2x≥6
x≥3
数轴上表示为：
故选：B
【点睛】
本题考查不等式的求解，需要注意，若不等式两边同时乘除负数，则不等号需要变号。