湖北省黄冈市晨光中学2020年高二数学理期末试题含解析

湖北省黄冈市晨光中学2020年高二数学理期末试题含
解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X>4)等于
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
参考答案：
B
略
2. 双曲线上的点P到左焦点的距离是6，这样的点有（）
A. 3个
B. 4个
C. 2个
D. 1个
参考答案：
A
3. 用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为（）A．7 B．8 C．9 D．10
参考答案：
B
【考点】用数学归纳法证明不等式．
【分析】先求左边的和，再进行验证，从而可解．
【解答】解：左边的和为，当n=8时，和为，
故选B．
4. 要描述一个工厂某种产品的生产步骤，应用（）
A．程序框图B．工序流程图C．知识结构
图D．组织结构图
参考答案：
B
5. 已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2，x)，且(a+b)⊥a，则x= ( )
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
6. 如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是
A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（）A．B． C．D．
参考答案：
A
略
7. 已知集合，,若，则实数的取值范围是
A、B、
C、D、
参考答案：
D
略
8. 给出如下四个命题：
①若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；
②命题“若x≥2且y≥3，则x+y≥5”的否命题为“若x＜2且y＜3，则x+y＜5”；
③四个实数a、b、c、d依次成等比数列的必要而不充分条件是ad=bc；
④在△中，“”是“”的充分不必要条件．
其中不正确的命题的个数是（）
A．4 B．3 C．2 D．1学科
参考答案：
B
略
9. 已知等比数列满足，且，则当时，
( )
A. B. C.
D.
参考答案：
C
10. 已知幂函数的图象经过点（4，2），则（）
A.2
B.4
C.4
D.8
参考答案：
B
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若直线与抛物线交于两点，若线段的中点的横坐标是2，则
参考答案：
12. 设抛物线的焦点为F，经过点P(l,4)的直线l与抛物线相交于A、B两点，且点P恰为AB的中点，则=___________
参考答案：
10
略
13. 不等式的解集是｛｝，则a+b=___________
参考答案：
-3
略
14. 已知xy=4 （x＞0，y＞0），x+y的最小值是M，则M= ．
参考答案：
4
考点：基本不等式在最值问题中的应用．
专题：不等式的解法及应用．
分析：根据不等式x+y求解即可．
解答：解：∵xy=4 （x＞0，y＞0），
x+y=2=4，（x=y=2时等号成立）
∴x+y的最小值是4，
故答案为：4
点评：本题考查了基本不等式的运用，属于容易题．
15. 已知实数满足则的最小值是▲．
参考答案：
16. 已知正四棱锥O-ABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
参考答案：
略
17. 若函数h(x)= ax3+bx2+cx+d (a≠0)图象的对称中心为M(x0, h(x0))，记函数h(x)的导函数为g(x)，则有g′(x0)=0，设函数f(x)=x3－3x2+2,则
=________．
参考答案：
由题意得，，解得，，因为
，即函数的图象关于点对称，
则
，故答案为0．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 设函数
（1）解不等式；
（2）求函数的最小值。

参考答案：
（1）
时，
时，
时，
综上，
（2）时，
时，
时，
综上，
略
19. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为
.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，所求椭圆方程为。

（Ⅱ）设，。

（1）当轴时，。

（2）当与轴不垂直时，
设直线的方程为。

由已知，得。

把代入椭圆方程，整理得，
，。

当且仅当，即时等号成立。

当时，，
综上所述。

当最大时，面积取最大值。

略
20. 设函数在及时取得极值．
（1）求a、b的值以及在x=3处的切线方程；
（2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围．
参考答案：
(1) , ………………3分
切线………………6分
(2) 恒成立，
由（1）知，即有………………10分
得到………………12分
21. 已知函数f（x）=x3+x2+ax+b，g（x）=x3+x2+lnx+b，（a，b为常数）．
（Ⅰ）若g（x）在x=1处的切线过点（0，﹣5），求b的值；
（Ⅱ）设函数f（x）的导函数为f′（x），若关于x的方程f（x）﹣x=xf′（x）有唯一解，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）令F（x）=f（x）﹣g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+ln2，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义即可求b的值；
（Ⅱ）求出方程f（x）﹣x=xf′（x）的表达式，利用参数分离法构造函数，利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围；
（Ⅲ）求函数的导数，利用导数和极值之间的关系进行求解即可，
【解答】解：（Ⅰ）设g（x）在x=1处的切线方程为y=kx﹣5，
因为，
所以k=11，故切线方程为y=11x﹣5．
当x=1时，y=6，将（1，6）代入，
得．…
（Ⅱ）f'（x）=3x2+5x+a，
由题意得方程有唯一解，
即方程有唯一解．
令，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），
所以h（x）在区间上是增函数，在区间上是减函数．
又，
故实数b的取值范围是．…
（Ⅲ）F（x）=ax﹣x2﹣lnx，
所以．
因为F（x）存在极值，所以在（0，+∞）上有根，
即方程2x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上有根，则有△=a2﹣8≥0．
显然当△=0时，F（x）无极值，不合题意；
所以方程必有两个不等正根．
记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1，x2，则
=＞
，
解得a2＞16，满足△＞0．
又，即a＞0，
故所求a的取值范围是（4，+∞）．…
22. 如图，为直角三角形，，以为直径的圆交于点，点
是边的中点，连交圆于点.
（1）求证：四点共圆；
（2）求证：.
参考答案：
连，有平行则，所以，则，所以四点共圆；是圆的切线，延长交圆于则
，所以命题成立。