江汉区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

江汉区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．设函数f（x）=的最小值为﹣1，则实数a的取值范围是（）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣D．a＞﹣
2．设D为△ABC所在平面内一点，，则（）
A．B．
C．D．
3．下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（）
A．y=x﹣1B．y=lnx C．y=x3D．y=|x|
4．设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
5．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）
A．9.6 B．7.68 C．6.144 D．4.9152
6． 设集合(){,|,,1A x y x y x y =
--是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 7． 已知三棱柱111ABC A B C - 的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 上的射影为BC 的中点， 则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为（ ）
A B D ．34
8． 下列判断正确的是（ ）
A ．①不是棱柱
B ．②是圆台
C ．③是棱锥
D ．④是棱台
9． 已知全集U R =，{|239}x
A x =<≤，{|02}
B y y =<≤，则有（ ）
A ．A Ø
B B ．A
B B =
C ．()R A B ≠∅ð
D ．()R A B R =ð
10．利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，则不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高 杂质低 旧设备 37 121 新设备
22
202
根据以上数据，则（ ） A ．含杂质的高低与设备改造有关 B ．含杂质的高低与设备改造无关
C ．设备是否改造决定含杂质的高低
D ．以上答案都不对
12．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
二、填空题
13．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．
14．长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱AB=AD=4cm ，AA 1=2cm ，则点A 1到平面AB 1D 1的距离等于 cm ．
15．若函数y=ln （﹣2x ）为奇函数，则a= ． 16．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是 ．
17．已知关于的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，则关于的不等式2
10bx ax ++>的解集 为___________.
18． 设函数()x
f x e =，()ln
g x x m =+．有下列四个命题：
①若对任意[1,2]x ∈，关于x 的不等式()()f x g x >恒成立，则m e <；
②若存在0[1,2]x ∈，使得不等式00()()f x g x >成立，则2
ln 2m e <-；
③若对任意1[1,2]x ∈及任意2[1,2]x ∈，不等式12()()f x g x >恒成立，则ln 22
e
m <
-； ④若对任意1[1,2]x ∈，存在2[1,2]x ∈，使得不等式12()()f x g x >成立，则m e <． 其中所有正确结论的序号为 .
【命题意图】本题考查对数函数的性质，函数的单调性与导数的关系等基础知识，考查运算求解，推理论证能力，考查分类整合思想.
三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，四边形ABCD 外接于圆，AC 是圆周角BAD ∠的角平分线，过点C 的切线与AD 延长线交于点E ，AC 交BD 于点F ． （1）求证：BD
CE ；
（2）若AB 是圆的直径，4AB =，1DE =，求AD 长
20．现有5名男生和3名女生．
（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？
（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？
21．设函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）求函数在
上的最大值与最小值．
22．（本小题满分12分）设f （x ）＝－x 2＋ax ＋a 2ln x （a ≠0）． （1）讨论f （x ）的单调性；
（2）是否存在a ＞0，使f （x ）∈[e －1，e 2]对于x ∈[1，e]时恒成立，若存在求出a 的值，若不存在说明理由．
23．（本小题满分12分）
已知直三棱柱111C B A ABC -中，上底面是斜边为AC 的直角三角形，F E 、分别是11AC B A 、的中点.
（1）求证：//EF 平面ABC ； （2）求证：平面⊥AEF 平面B B AA 11.
24．（本小题满分12分）已知等差数列｛n a ｝满足：n n a a >+1（*
∈N n ），11=a ，该数列的 前三项分别加上1，1，3后成等比数列，且1log 22-=+n n b a . （1）求数列｛n a ｝，｛n b ｝的通项公式； （2）求数列｛n n b a ⋅｝的前项和n T .
江汉区第三中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】C
【解析】解：当x≥时，f（x）=4x﹣3≥2﹣3=﹣1，
当x=时，取得最小值﹣1；
当x＜时，f（x）=x2﹣2x+a=（x﹣1）2+a﹣1，
即有f（x）在（﹣∞，）递减，
则f（x）＞f（）=a﹣，
由题意可得a﹣≥﹣1，
解得a≥﹣．
故选：C．
【点评】本题考查分段函数的运用：求最值，主要考查指数函数的单调性和二次函数的值域的求法，属于中档题．
2．【答案】A
【解析】解：由已知得到如图
由===；
故选：A．
【点评】本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是想法将向量表示为．
3．【答案】D
【解析】解：选项A：y=在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx为非奇非偶函数，不正确；
选项C：记f（x）=x3，∵f（﹣x）=（﹣x）3=﹣x3，∴f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）是奇函数，又∵y=x3区间（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D：记f（x）=|x|，∵f（﹣x）=|﹣x|=|x|，∴f（x）≠﹣f（x），故y=|x|不是奇函数，不正确．
故选D
4．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
5．【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（1﹣20%）x，
结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．
故选：C．
6．【答案】A
【解析】
考点：二元一次不等式所表示的平面区域.
7．【答案】D
【解析】
考
点：异面直线所成的角. 8． 【答案】C
【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C ．
9． 【答案】A
【解析】解析：本题考查集合的关系与运算，3(log 2,2]A =，(0,2]B =，∵3log 20>，∴A ØB ，选A ． 10．【答案】C
【解析】解：由ln （3a ﹣1）＜0得＜a ＜，
则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a ，不等式ln （3a ﹣1）＜0成立的概率是P=， 故选：C ．
11．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 杂质高 杂质低 合计 旧设备
37
121
158
新设备22 202 224
合计59 323 382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
12．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r×2r＋1
2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，
2πr
即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，
即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，
∴r＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2）×5＝80＋10π.
2π×2
二、填空题
13．【答案】（﹣1，﹣1）．
【解析】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，
即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），
故答案为：（﹣1，﹣1）．
14．【答案】
【解析】解：由题意可得三棱锥B1﹣AA1D1的体积是=，
三角形AB
D1的面积为4，设点A1到平面AB1D1的距离等于h，则，
1
则h=
故点A1到平面AB1D1的距离为．
故答案为：．
15．【答案】4．
【解析】解：函数y=ln（﹣2x）为奇函数，
可得f （﹣x ）=﹣f （x ），
ln （+2x ）=﹣ln （﹣2x ）．
ln （
+2x ）=ln （
）=ln （
）．
可得1+ax 2﹣4x 2
=1，
解得a=4．
故答案为：4．
16．【答案】 ①④ ．
【解析】解：由所给的正方体知， △PAC 在该正方体上下面上的射影是①， △PAC 在该正方体左右面上的射影是④， △PAC 在该正方体前后面上的射影是④ 故答案为：①④
17．【答案】),1()2
1,(+∞-∞ 【
解
析
】
考
点：一元二次不等式的解法. 18．【答案】①②④ 【
解
析
】
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查圆周角定理、弦切角定理、三角形相似的判断与性质等基础知识，意在考查逻辑推证能力、转化能力、识图能力．
∴
DE DC BC BA =BC AB
=，则2
4BC AB DE =⋅=，∴2BC =． ∴在Rt ABC ∆中，1
2
BC AB =，∴30BAC ∠=︒，∴60BAD ∠=︒，
∴在Rt ABD ∆中，30ABD ∠=︒，所以1
22
AD AB ==．
20．【答案】
【解析】解：（1）先排3个女生作为一个整体，与其余的5个元素做全排列有 A 33A 66
=4320种．
（2）从中选5人，且要求女生只有2名，则男生有3人，先选再排，故有C 32C 53A 55
=3600种
【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理，排列数公式、组合数公式的应用，注意特殊元素和特殊位置要优先排．
21．【答案】
【解析】【知识点】三角函数的图像与性质恒等变换综合
【试题解析】（Ⅰ）因为
．
所以函数的最小正周期为．
（Ⅱ）由（Ⅰ），得．
因为，
所以，
所以．
所以．
且当时，取到最大值；
当时，取到最小值．
22．【答案】
【解析】解：（1）f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋a 2
x
＝－2（x＋a
2
）（x－a）
x.
①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－a
2
，
由f′（x）＞0得0＜x＜－a
2.
此时f （x ）在（0，－a
2
）上单调递增，
在（－a
2，＋∞）上单调递减；
②当a ＞0时，由f ′（x ）＜0得x ＞a ， 由f ′（x ）＞0得0＜x ＜a ，
此时f （x ）在（0，a ）上单调递增，在（a ，＋∞）上单调递减． （2）假设存在满足条件的实数a ， ∵x ∈[1，e]时，f （x ）∈[e －1，e 2]， ∴f （1）＝－1＋a ≥e －1，即a ≥e ，① 由（1）知f （x ）在（0，a ）上单调递增， ∴f （x ）在[1，e]上单调递增，
∴f （e ）＝－e 2＋a e ＋e 2≤e 2，即a ≤e ，② 由①②可得a ＝e ，
故存在a ＝e ，满足条件．
23．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【
解
析
】
试
题解析：证明：（1）连接C A 1，∵直三棱柱111C B A ABC -中，四边形C C AA 11是矩形， 故点F 在C A 1上，且F 为C A 1的中点，
在BC A 1∆中，∵F E 、分别是11AC B A 、的中点，∴BC EF //. 又⊄EF 平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，∴//EF 平面ABC .
考点：1.线面平行的判定定理；2.面面垂直的判定定理. 24．【答案】（1）12-=n a n ,n
n b 2
1=；（2）n n n T 23
23+-=. 【解析】
试题分析：（Ⅰ1）设d 为等差数列{}n a 的公差，且0>d ，利用数列的前三项分别加上3,1,1后成等比数列，
求出d ，然后求解n b ；（2）写出n
n n T 21
2...232321321-++++=
利用错位相减法求和即可． 试题解析：解：（1）设d 为等差数列{}n a 的公差，0>d ，
由11=a ，d a +=12，d a 213+=，分别加上3,1,1后成等比数列，] 所以)24(2)2(2d d +=+ 0>d ，∴2=d ∴122)1(1-=⨯-+=n n a n
又1log 22--=n n b a ∴n b n -=2log ，即n
n b 21
=
（6分）
考点：数列的求和．。