【步步高】(广东专用)2015高考数学大一轮复习 5.1 正弦定理和余弦定理导学案 理

正弦定理和余弦定理
导学目标： 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化，进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
自主梳理
1．三角形的有关性质
(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝________； (2)a ＋b ____c ，a －b <c ；
(3)a >b ⇔sin A ____sin B ⇔A ____B ；
(4)三角形面积公式：S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝1
2ac sin B ＝_________________；
(5)在三角形中有：sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或________________⇔三角形为等腰或直角三角形；
sin(A ＋B )＝sin C ，sin A ＋B
2＝cos C
2
. 2．正弦定理和余弦定理 定理
正弦定理 余弦定理
内容
________________
＝2R
a 2＝____________，
b 2＝____________，
c 2＝____________.
变形 形式
①a ＝__________，
b ＝__________，
c ＝__________；
②sin A ＝________， sin B ＝________， sin C ＝________； ③a ∶b ∶c ＝__________；
④a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a
sin A
cos A ＝________________； cos B ＝________________； cos C ＝_______________.
解决 的问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他
两条边．
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角．
其他两个角.
自我检测
1．(2010·上海)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )
A ．一定是锐角三角形
B ．一定是直角三角形
C ．一定是钝角三角形
D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形
2．(2010·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2
－b 2
＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A 等于
( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．(2011·烟台模拟)在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，△ABC 的面积为3，则边a 的值为( )
A ．27 B.21 C.13
D ．3
4．(2010·山东)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2，b ＝2， sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．
5．(2010·北京)在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π
3
，则a ＝________.
探究点一 正弦定理的应用
例1 (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝45°，求角A 、C 和边c ； (2)在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求边b 和c .
变式迁移1 (1)在△ABC 中，若tan A ＝1
3，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________；
(2)在△ABC 中，若a ＝50，b ＝256，A ＝45°，则B ＝________. 探究点二 余弦定理的应用
例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边，且a 2
＋c 2
－b 2
＝ac .
(1)求角B 的大小；
(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．
变式迁移2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，B ＝2π
3，b ＝13，a ＋c ＝4，
求a .
探究点三 正、余弦定理的综合应用
例3 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果(a 2
＋b 2
)sin(A －
B )＝(a 2－b 2)sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．
变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中，AC AB ＝cos B
cos C
.
(1)证明：B ＝C ；
(2)若cos A ＝－13，求sin ⎝
⎛⎭⎪⎫4B ＋π3的值．
1．解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用，用到三角变换的基本方法，同时它是对正、余弦定理，三角形面积公式等的综合应用．
2．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而求
出其他的边和角时，有可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
3．在解三角形中的三角变换问题时，要注意两点：一是要用到三角形的内角和及正、余弦定理，二是要用到三角变换、三角恒等变形的原则和方法．“化繁为简”“化异为同”是解此类问题的突破口．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．(2010·湖北)在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于 ( )
A ．－223
B.223
C ．－
63
D.63
2.在△ABC 中AB ＝3，AC =2，BC 10AB → AC →
等于 ( ) A ．－32
B ．－23
C.23
D.32
3．在△ABC 中，sin 2A 2＝c －b 2c
(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
4．(2011·聊城模拟)在△ABC 中，若A ＝60°，BC ＝43，AC ＝42，则角B 的大小为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．45°或135°
5．(2010·湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，
c
＝2a ，则
( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
题号 1 2 3 4 5 答案
二、填空题(每小题4分，共12分)
6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2
＝ac ，则△ABC 的形状为________________．
7．(2010·广东)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.
8．(2011·龙岩模拟)在锐角△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D ，且BD ∶DC ∶AD ＝2∶3∶6，则∠BAC 的大小为________．
三、解答题(共38分)
9.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos 2A =，AB →AC →
=3. (1)求△ABC 的面积； (2)若b ＋c ＝6，求a 的值．
10．(12分)(2010·陕西)在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．
11．(14分)(2010·重庆)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且3b 2
＋3c 2
－3a 2
＝42bc .
(1)求sin A 的值；
(2)求2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋C ＋π41－cos 2A 的值．
答案 自主梳理
1．(1)π (2)> (3)> > (4)12bc sin A (5)A ＋B ＝π2 2.a sin A ＝b sin B ＝c sin C b
2
＋c 2
－2bc cos A a 2
＋c 2
－2ac cos B a 2
＋b 2
－2ab cos C ①2R sin A 2R sin B 2R sin C
②a 2R b 2R c 2R ③sin A ∶sin B ∶sin C b 2＋c 2－a 22bc a 2＋c 2－b 22ac a 2＋b 2－c 2
2ab
自我检测 1．C 2.A 3.C 4.
π
6
5.1
课堂活动区
例1 解题导引 已知三角形的两边和其中一边的对角，可利用正弦定理求其他的角和边，但要注意对解的情况进行判断，这类问题往往有一解、两解、无解三种情况．具体判断方法如下：在△ABC 中．已知a 、b 和A ，求B .若A 为锐角，①当a ≥b 时，有一解；②当
a ＝
b sin A 时，有一解；③当b sin A <a <b 时，有两解；④当a <b sin A 时，无解．若A 为直
角或钝角，①当a >b 时，有一解；②当a ≤b 时，无解．
解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，sin A ＝3
2
.
∵a >b ，∴A >B ，∴A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°，
c ＝b sin C sin B ＝6＋2
2
；
当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°，
c ＝b sin C sin B ＝6－22
.
综上，A ＝60°，C ＝75°，c ＝
6＋2
2
， 或A ＝120°，C ＝15°，c ＝
6－2
2
. (2)∵B ＝60°，C ＝75°，∴A ＝45°. 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ，
得b ＝
a ·sin B sin A ＝46，c ＝a ·sin C
sin A
＝43＋4.
∴b ＝46，c ＝43＋4. 变式迁移1 (1)
10
2
(2)60°或120° 解析 (1)∵在△ABC 中，tan A ＝1
3
，C ＝150°，
∴A 为锐角，∴sin A ＝110
.
又∵BC ＝1.
∴根据正弦定理得AB ＝
BC ·sin C sin A ＝10
2.
(2)由b >a ，得B >A ，由a
sin A ＝b
sin B ， 得sin B ＝
b sin A a ＝25650×22＝3
2
， ∵0°<B <180° ∴B ＝60°或B ＝120°.
例2 解 (1)∵a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，
∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝1
2
.
∵0<B <π，∴B ＝π
3
.
(2)方法一 将c ＝3a 代入a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，得b ＝7a .
由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝57
14
.
∵0<A <π，
∴sin A ＝1－cos 2
A ＝2114
， ∴tan A ＝sin A cos A ＝3
5
.
方法二 将c ＝3a 代入a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ， 得b ＝7a .
由正弦定理，得sin B ＝7sin A .
由(1)知，B ＝π3，∴sin A ＝21
14
.
又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2
A ＝5714.
∴tan A ＝sin A cos A ＝3
5
.
方法三 ∵c ＝3a ，由正弦定理，得sin C ＝3sin A .
∵B ＝π3，∴C ＝π－(A ＋B )＝2π
3
－A ，
∴sin(2π
3
－A )＝3sin A ，
∴sin 2π3cos A －cos 2π
3sin A ＝3sin A ，
∴
32cos A ＋1
2
sin A ＝3sin A ， ∴5sin A ＝3cos A ， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35
.
变式迁移2 解 由余弦定理得，b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ＝a 2＋c 2
－2ac cos 23π
＝a 2
＋c 2
＋ac ＝(a ＋c )2
－ac . 又∵a ＋c ＝4，b ＝13，∴ac ＝3，
联立⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋c ＝4ac ＝3
，解得a ＝1，c ＝3，或a ＝3，c ＝1.
∴a 等于1或3.
例3 解题导引 利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转化为边边关系或角角关系．
解 方法一 ∵(a 2
＋b 2
)sin(A －B )＝(a 2
－b 2
)sin(A ＋B ) ⇔a 2
[sin(A －B )－sin(A ＋B )]
＝b 2
[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]， ∴2a 2
cos A sin B ＝2b 2
cos B sin A ， 由正弦定理，得
sin 2
A cos A sin
B ＝sin 2
B cos B sin A ， ∴sin A sin B (sin A cos A －sin B cos B )＝0， ∴sin 2A ＝sin 2B ，由0<2A <2π，0<2B <2π， 得2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，
即△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B ＝2b 2
cos B sin A ， 由正、余弦定理，即得
a 2
b ×b 2＋
c 2－a 22bc ＝b 2a ×a 2＋c 2－b 2
2ac
，
∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2
)， 即(a 2
－b 2
)(c 2
－a 2
－b 2
)＝0， ∴a ＝b 或c 2
＝a 2
＋b 2
，
∴三角形为等腰三角形或直角三角形．
变式迁移3 解题导引 在正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c
sin C ＝2R 中，2R 是指什么？a ＝
2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 的作用是什么？
(1)证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知得 sin B sin C ＝cos B
cos C
. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.
因为－π<B －C <π，从而B －C ＝0. 所以B ＝C .
(2)解 由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ， 故cos 2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝1
3.
又0<2B <π，于是sin 2B ＝1－cos 2
2B ＝223.
从而sin 4B ＝2sin 2B cos 2B ＝42
9，
cos 4B ＝cos 22B －sin 2
2B ＝－79.
所以sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
4B ＋π3
＝sin 4B cos π3＋cos 4B sin π
3 ＝
42－7318
. 课后练习区
1．D 2.D 3.B 4.B 5.A 6．等边三角形
解析 ∵b 2
＝a 2
＋c 2
－2ac cos B ， ∴ac ＝a 2
＋c 2－ac ， ∴(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，又B ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． 7．1
解析 由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°知，B ＝60°. 由正弦定理知，1sin A ＝3
sin 60°，
即sin A ＝1
2
.
由a <b 知，A <B ，∴A ＝30°，
C ＝180°－A －B ＝180°－30°－60°＝90°，
∴sin C ＝sin 90°＝1. 8.
π
4
解析 设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β， 则tan α＝13，tan β＝1
2，
∴tan∠BAC ＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝13＋121－13×12
＝1.
∵∠BAC 为锐角，∴∠BAC 的大小为π
4
.
9．解 (1)因为cos A 2＝25
5
，
所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝4
5
.……………………………………………………(4
分)
又由AB →·AC →＝3得bc cos A ＝3，所以bc ＝5，
因此S △ABC ＝12
bc sin A ＝2.…………………………………………………………………(8分)
(2)由(1)知，bc ＝5，又b ＋c ＝6，
由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－165
bc ＝20，所以a ＝2 5.………(12分)
10．解
在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，
由余弦定理得， cos∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 2
2AD ·DC
＝
100＋36－1962×10×6＝－12，…………………………………………………………………(6分)
∴∠ADC ＝120°，∠ADB ＝60°.…………………………………………………………(8分)
在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，
∠ADB ＝60°，
由正弦定理得AB sin∠ADB ＝AD sin B
， ∴AB ＝AD ·sin∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°
＝10×
3
22
2＝5 6.…………………………………………………………………………(12
分)
11．解 (1)∵3b 2＋3c 2－3a 2
＝42bc ，
∴b 2＋c 2－a 2＝423bc . 由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝223
，……………………………………………(4分) 又0<A <π，故sin A ＝1－cos 2A ＝13
.……………………………………………………(6分)
(2)原式＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A ＋π41－cos 2A
………………………………………………………(8分) ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π42sin 2A
＝2⎝
⎛⎭⎪⎫22sin A ＋22cos A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫22sin A －22cos A 2sin 2A …………………………………………
(11分)
＝sin 2A －cos 2A 2sin 2A ＝－72
. 所以2sin A ＋
π4
sin B ＋C ＋π41－cos 2A ＝－
72.……………………………………………………(14分)。