2018年福州一中面向福州七平潭综合实验区乡镇

2018年福州一中面向福州七县、平潭综合实验区乡镇
和农村地区（“追梦计划”）招生考试
数学与逻辑试卷参考答案
（满分：150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题
4分，共 40分．）
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共 20分．）
（11）101o （12）24 （13）10092 （14）6 （15）18-三、解答题（本大题共7小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） （16）（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）原式=1
2124
-+ …………………………………4分 =3
4
-． …………………………………6分
（Ⅱ）原式=1
3(3)(1)x x x ⨯-+⨯⨯ …………………………………10分
（17）解：Q Q ∴∴∴(2A ，(8B ， ∴2k =⨯=8h =⨯=． …………………………………6分
M
（Ⅱ）过D 作x 轴的垂线，垂足记为G
∴//BF DG ， ∴△CDG ∽△CBF ．
D Q 为BC 中点，
∴22BF DG ==，1
2
FG FC =
， ∴2AE BF ==． …………………………………8分
D Q 在反比例函数()10k
y k x
=
>的图象上， ∴515k =⨯=． …………………………………9分
A Q 在反比例函数()10k
y k x
=
>的图象上， ∴25OE ⨯=，解得5
2
OE =
． …………………………………10分 Rt Q △AOE 与Rt △BCF 中，OA BC =，AE BF =， ∴△AOE ≌Rt △BCF ， ∴5
2
FG OE ==
． …………………………………11分 55
524
OG OE EF FG AB =++=
++=Q ， ∴5
4
AB =
． …………………………………12分 （18）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）Q 四边形ABCD 是矩形，
∴A C D ∠=∠=∠，
依题意可知90NMF C ∠=∠=o
， ∴90AMP FMD ∠+∠=o ，
Q 90MFD FMD ∠+∠=o ，∴AMP MFD ∠=∠， ∴AMP DFM ∆∆∽． …………………………………4分
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AMP DFM ∆∆∽．
Q AMP ∆的面积与DFM ∆面积的比为16:9 ∴
4
3
AM MP AP DF FM DM ===． …………………………………6分 设CF a =，DF b =，则CD AD a b ==+， 依题意MF CF a ==，则43
b AM =
， ∴3
b
MD AD AM a =-=-． …………………………………8分
在Rt MDF ∆中，222MF MD DF =+，
222()3b a b a =+-，解得5
3a b =， …………………………………11分
∴:5:3CF DF =． …………………………………12分 （19）（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）依题意12,O O 分别在,B D ∠∠的平分线上，即在BD 上．………………………1分
连接12,,O E O H BD ，则12,O E AB O H AD ⊥⊥，如图1
在1Rt O EB ∆，2Rt O HD ∆中1230EBO HDO ∠=∠=o ． …………………………………2分 设1O e 与2O e 的半径分别为,r R ，则122,2BO r DO R ==，
所以()1122223BD BO OO O D r r R R r R =++=+++=+ ………………………………4分 连接AC 交连接BD 于点O ，则AOB ∆为直角三角形，
从而22cos3042
BD BO AB ===⋅=o ， …………………………………5分 所以(
)3r R +=
r R +=
． …………………………………6分
D
B
B
D
C
图1 图2
解：（Ⅱ）设1O e
与2O e 面积之和为S ，则
22S r R ππ=+
2
2
r r ππ⎫=+-⎪⎪
⎝⎭
242
3r π⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝
⎭ 2
223r π
π⎛=+ ⎝⎭
…………………………………8分 62
r ≤≤Q
，（如图2） …………………………………10分
所以当3r =时，min 23S π=
；当62r ==时，max 56
S π
=．
∴
2536
S ππ
≤≤
． …………………………………12分 （20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当01x <≤时，图象在直线1y =的上方；
当14x <<时，若0k <，01k
y x
=
<<不合题意，故0k >，……………………………1分 y 随着x 的增大而减小，所以4
k
y >
， …………………………………2分 要使函数图象始终在直线1y =的上方，只要
14
k
≥，所以4k ≥．………………………3分 （Ⅱ）①若0a =，min 1y =，不合题意，舍去； …………………………………4分 ②若01a <<，当1a x ≤≤时，y 随着x 的增大而增大，
当11x a ≤≤+时，y 随着x 的增大而减小， …………………………………5分 当x a =时，211y a =+，当1x a =+时，22
1
y a =
+， 函数的最小值为1y ，2y 之中较小的一个． …………………………………6分 若21514y a =+=
，12a =，此时，2124513412
y y ==>=+，符合题意；…………………8分
若22514y a =
=+，35a =，此时，213451254
y a =+=>，即12y y >，符合题意；……10分 ③若1a ≥，当1a x a ≤≤+时，y 随着x 的增大而减小，
min 21y a =
+，由2514a =+解得3
5
a =，舍去． …………………………………11分 综上，12a =
或3
5
a =． …………………………………12分 （21）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）依题意，sin sin30DC DBC BD ∠==
o
，则1
2
DC =， …………………………………1分 cos cos30BC DBC BD
∠==o
，则2BC =， …………………………………2分
tan tan 451AC
ABC BC
∠==
=o
，2AC BC ==
，则12AD =，………………………3分
45ABC ∠=o Q ，∴9045A ABC ∠=-∠=o o ，
sin sin 452
DH A AD ==
=o
，则2DH AD ==，………………………………5分
∴sin15o 4
=
． …………………………………6分 （Ⅱ）DH AB ⊥Q ，∴90BHD ∠=o ，
180ADH HDC ∠+∠=o Q ，180ABC HDC ABC BHD ∠+∠+∠+∠=o ，
∴ADH ABC β∠=∠=， …………………………………7分 在Rt BDH ∆中，sin sin()DH
DBH BD
βα∠=-=，则sin()DH βα=-， …………………8分 在Rt BDC ∆中，sin sin DC
DBC BD
α∠==
，sin DC α=，…………………………………9分 cos cos BC
DBC BD
α∠==
，cos BC α=， …………………………………10分 在Rt ABC ∆中，tan tan AC
ABC BC
β∠==
，cos tan AC αβ=， cos tan sin AD AC CD αβα=-=-， 在Rt ADH ∆中，cos cos DH
ADH AD
β∠==
，则cos DH AD β=，………………………12分 sin()cos DH AD βαβ=-=
(cos tan sin )cos αβαβ=-sin (cos sin )cos sin cos sin cos cos β
α
αββααββ
=-=- ∴sin()sin cos sin cos βαβααβ-=-． …………………………………14分 （22）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）解法一：当1b =时，抛物线1C 的解析式为：2y x x c =++，
顶点坐标为141
()24c --，
， …………………………………1分 对称轴方程为1
2x =-，则点
1(0)2A -，， …………………………………2分 Q 点A 为抛物线1C 的顶点，∴
4104c -=，∴1
4c =． …………………………………3分 1C 的解析式的解析式为21
4y x x =++． …………………………………4分
解法二：根据抛物线图象的特点可知当点A 为1C 的顶点时，
1C 与x 轴只有一个交点， …………………………………1分
则当0y =时，即方程20x x c ++=有两个相等的实数根，则140c ∆=-=，
∴1
4
c =． …………………………………3分
1C 的解析式的解析式为21
4
y x x =++． …………………………………4分
（Ⅱ）1C 与x 轴交于(20)B b -，
，则2(2)(2)0b b b c -+-+=，则22c b =-． 则2212C y x bx b =+-：，当2220x bx b +-=时，解得12x b =-，2x b =．
则(0)C b ，
．(也可以利用抛物线的对称性求得) …………………………………5分 设22C y x px q =++：，过(0)2b
A -，，(0)C b ，， 则2
2()()022
b b p q b pb q ⎧-+-+=⎪⎨⎪++=⎩
，解得2b p =-，22b q =-． 则2
2
222
bx b C y x =--：． …………………………………7分
则2
2
(2)P t t bt b +-，
，2
2
()22
bt b Q t t --，． …………………………………8分 则22
2
2
3|2()||()|222
bt b b
PQ m t bt b t b t ==+----=-．
①当6t =，24b ≤≤时，t b >， 则2233327
|
()|9(3)2222
b PQ m b t b b b ==-=-+=--+
， 当3b =时m 有最大值
27
2
，当2b =或4时m 有最小值12， 则m 的取值范围是27122
m ≤≤
． …………………………………10分 ②由上可知2(0)2b D -，，则23
3332OD b +=+． 当t b ≤时，223333
|
()|32222
b PQ m b t b bt b ==-=-=+， 解得2t b =-，当24b ≤≤时，t 随b 的增大而增大，∴1
12t -≤≤-．…………………12分
当t b >时，223333
|
()|32222
b PQ m b t b bt b ==-=-+=+， 解得222
0b t b
+=>． 综上所述，t 的最小值为1-． …………………………………14分。