晶体能带的对称性ppt课件

；.
23
Ge 的能带图
GaAs能带图
导带 价带
L
X U,K
见黄昆书p213 tu4-35
；.
24
6.8 能态密度和费米面
一. 能态密度 二. 费米面
见黄昆书4.7节
与孤立原子中的本征能态形成一系列分立能级不同，固 体中电子的能级非常密集，形成准连续分布，和孤立原 子那样去标注每个能级是没有意义的，为了概括晶体中 电子能级的状况，我们引入“能态密度”的概念，这个 函数在讨论晶体电子的各种过程时特别在输运现象的分 析中是非常重要的。
于本征函数的结果，
n (r ) nk (r )
应为具有同样本征值的另一本征函数。
nk
(r
Rn
)
eik Rn
nk
(r)
又由于晶体点群操作应保持点乘积不变，则有：
A B (A B) AB
1A B 1A；. B AB
5
因此有：
n
(r
Rn
)
nk
[
(r
Rn
)]
eik Rn
nk
(r)
原胞是晶体点阵的最小重复单位，因此点阵具有的点群 对称性全部反映在原胞中是能够理解的。
；.
7
3. En (k ) En (k )
反演对称性
在晶体中电子运动的哈密顿算符
2
H 2 U r
2m
是实算符，H*＝H。
如果 nk(r) 是方程的解，那么 *nk(r) 也是方程的解，
且这两个解具有相同的能量本征值。即有
: k (0,0,0)
E1 0
X
:
k
0,
2
a
,
0
E1X
2 2
2m a
2
1 2
2
2m a；.
19
面心立方晶体的第一布里渊区: 如果 fcc 的晶格常数为 a，则其
z
倒格子的晶格常数为 4
a
所以：
X
:
0,
2
a
, 0
(0,0,0)
L
:
2
a
,
2
a
,
2
a
K
:
2
a
,
2
a
,
0
y
: 111
k
E(0) n
k Gn
E(0) n
k
2m k Gn 2
1. 一维情况
Gn '
n'
2
a
E(0) n
k
2
2m
k
2
a
n
2
；. k为简约波矢
13
为简单，取 k 的单位为
a
， En(0)(k)的单位为
2 2
2m a
E(0) n
k
k
2n2
0k 1
第一能带：n=1，n’=0
E(0) 1
k
k
2
0 1
应特别注意，这个表达式只是对同一能带才正确。
；.
2
一、三两章 已经讲过。
FBZ
2nd BZ 3rd BZ
正S方im晶pl格e 的Cu头bi三c 个La布tti里ce渊, F区B。Z;
2nd BZ; 3rd BZ ；.
3
FBZ
2nd BZ
Simple Cubic Lattice, FBZ; 2nd BZ; 3rd BZ; 4th BZ
能带图时，就可以充分利用其对称性质。
晶体的对称性包括点对称操作和平移对称性，它们都
会反映到本征能量的对称性上。
晶体能带的对称性和晶格振动色散关系所具有的对称
性相同，我们可以参照理解。
；.
1
一、 En(k)函数的对称性
1. En (k ) En (k Gh )
平移对称性
Bloch定理一节中曾指出简约波矢 k 表示原胞之间电 子波函数位相的变化，如果 k 改变一个倒格矢量，它们 所标志的原胞之间波函数位相的变化是相同的，也就是
n1,
n2
(0)
n1
,
n2
exp
i kx
2n1 x 2n2 y
显然，当n1和n2的绝对 值最小时，相应的能量
最低。
n1n2 00
（第一布里渊区）
E(0) 00
k
2 x
0 kx 1
0 1 （单）
相应的波函数：
0,0 eikxx ；.
(0,0) 16
第一近邻倒格点： n1n2 10 , 01 ,01,10
10
E(0) 10
kx
22
4 1 （单）
波函数：
1,0 exp i kx 2 x
E(0) 01
E(0) 01
kx2 4
4 5 （双）
波函数：
0,1 exp i kx x 2 y
{ 0,1
exp
i kx x
2 y
E(0) 10
kx
22
4 9 （单）
波函数：
1,0Δ = exp i kx 2 x
；.
28
原因是明显的：在 6.2节已经指出，周期场的微扰使布里渊 区附近界面内的能量下降，而等能面的凸出正意味着达到同 样的能量 E ，需要更大的 k 值，当能量 E 超过边界上A点的 能量EA，一直到 E 接近于在顶角C点的能量EC （即达到第一 能带的顶点）时，等能面将不再是完整的闭合面，而成为分 割在各个顶角附近的曲面。
dE kE dk
所以：
N(E)
1 V
dZ dE
1
4 3
dS Econst k E(k )
1. 近自由电子的能态密度
对于自由电子：
E(0) k 2k2
2m
在 k空间中，能量为E的等能面是半径为
的球面，在球面上
kE
dE dk
2
m
k
；.
k
2mE
2
27
N(E)
1
4
3
E const
dS k E(k)
1
4 3
m 2k
dS
E const
1
4
3
m 2k
4 k 2
2m
3 2
2 2 3
1
E2
考虑周期场的影响，在近自由电子情况下，周期 场的影响主要表现在布里渊区边界附近，而离布里渊 区边界较远处，周期场对电子运动的影响很小。
下面以简单立方晶体为例，考察第一布里渊区内电
子的等能面，从原点出发，等能面基本保持为球面，在 接近布里渊区边界时，等能面开始向边界突出。
简并性将部分地消除，通常用群论方法来确定某些高
简并态如何分裂，一维情况，布里渊区区心和边界都
是二重简并的，6.2节的计算中已经使用了这个结果。
；.
21
三维情况复杂的多，简并微扰需要按不同的 k，不同 的能带分布进行。
下面是Si 的第一布里渊区和能带图
Energy (eV)
L
X U,K
；.
22
Si 的能带图
能量 En(k)。因此，我们只需研究
清楚简约区中 1/8 空间中电子的能
ky
量状态，就可以知道整个 k 空间中
的能量状态了。我们将这部分体积
称为简约区的不可约体积。依此类
P’
P
推，对于立方晶系的 Oh(m3m) 点
kx
群，只需研究 (1/48)b即可。减少 在确定、计算能带时所要做的工作
P’’
是对称性研究的意义之一。
En(0)(k)曲线。
, 为简单，取kx、ky的单位为
a
En(0)(k)的单位为
2 2
2m a
-/a
E(0) n
k
kx 2n1 2
ky 2n2
2
在X轴上，ky=0 100
/a ky
-/a
M Z X kx
E(0) n1n2
kx 2n1 2 4n22
；.
15
相应的波函数为
；.
17
第二近邻倒格点： n1n2 11,11,11,11
E(0) E(0)
11
11
kx 2 2 4
8 5 （双）
相应的波函数：
1,1 exp i kx 2 x 2 y
{ 1,1 exp i kx 2 x 2 y
E(0) 11
E(0) 11
费米面是固体物理中最重要的概念之一，只有费米面附
近的电子才能参与热跃迁或输运过程，决定着晶体的各 种物理性质，晶体势场的影响使FS的形状变得复杂，从 而对性质的影响变得复杂。
；.
25
一、能态密度: 和5.2中一样，它定义为单位能量间隔内的电子 状态数，和黄昆书不同，我们明确为单位体积内的能态密度。
点：k 0,0
X点：k a ,0
M点：k
a
,
a
点线：k k,0
Z点线：k
a
,
k
点线：k k,k
；.
11
简单立方晶格的简约区中 k 的特殊位置：
点：k 0,0,0
M点：k
a
,
a
,
0
100 点线：k k,0,0
110 点线：k k,k,0
X点：k a ,0,0
R点：k
a
,
a
,
a
Z点线：k a ,k,0
ei
1k Rn
nk
(r)
所以 n(r) 的波矢标记应该是：
1k
n(r)是本征函数之一，所以可以写成：
n 1k (r )
从而有：
n 1k (r ) nk (r )
；.
6
从上式可得有 -1k 和 k 所对应的能量本征值相等，
即有：
En ( 1k ) En (k )
由于-1遍历晶体点群的所有的对称操作，所以有：
: 110
x
: 100
；.
20
X是 010 方向，记作 ，能带 E1 k
同样可以给出：
近邻：
2
a
,
2
a
,
2
a
2
a
,
0,
2
a
E2
3
1 2m
2
a
2
E2X
2
1 2m
2
a
2
E2 k 是四重简并的。见黄昆书图4-15
以此类推，可以给出前页图。详见黄昆书 p178~184
在计入周期势场的微扰作用后，上述高对称点或轴的
Hˆ Hˆ
nk
nk
(r ) (r )
En En
(k )
(k )
nk
nk
(r ) (r )
；.
8
同时按照Bloch定理有：
nk
(r
Rn )
nk (r Rn
eik Rn
nk
(r )
)
eik Rn
nk
(r
)
因此，nk(r) 和n-k(r) 能量是相同的。
En (k ) En (k )
kx 2 2 4
8 13 （双）
{ 相应的波函数：
1,1 exp i kx 2 x 2 y
1,1
exp
i kx
2 x
2 y
；.
18
3. 三维情况： 黄昆书 p179~184
三维情况下，构造出各
个布里渊区的几何结构，绘 出能带图是比较繁琐的，这 里只做简要介绍。
我们仿照一维情况，以 面心立方晶格为例，分析一 下如何把零级近似下的波矢 k 移入简约布里渊区，
说 k 和 k+Gh 是等价的，从这点出发我们也可认为 En k
是 k 空间的周期函数，其周期等于倒格矢。简约波矢的 取值范围就是倒易空间的Wigner-Seitz原胞，即第一布里 渊区内。我们利用这种平移对称性可以将第二Brillouin区 的每一块各自平移一个倒格矢而与第一Brillouin区重合。 同理，更高的Brillouin区也可通过适当的平移与第一区重 合，因此我们可以把注意力仅限制在第一区内，它包含 了晶体能带的所有必要信息。
S点线：k a ,k,k
T点线：k
a
,
a
,k
111 点线：k k, k, k
R
S T X
Z M
；.
12
三、自由电子的能带
自由电子的能量为 E(0) k 2k2
2m
这里，k’为广延波矢，不一定在简约区中，但我们一定可
以找到唯一一个倒格矢Gn’,使得
k k Gn
k为简约波矢。
2
E(0) n
6.7 晶体能带的对称性
一. En(k)函数的对称性 二. En(k)图示 三. 自由电子的能带
见黄昆书 4.6节 p202
晶体具有对称性，因而晶体中电子的运动状态也会具
有对称性，所以表述运动状态的本征能量和本征态也具有
对称性，了解了这种对称性，对于我们理解能带性质、简
化要处理的问题会很有帮助。比如在计算和绘制 k 空间的
3rd BZ 4th BZ
2. En (k ) En (k ) 点群对称性
该式表明能带与晶格有相同的对称性。 为晶体所属
点群的任一点对称操作。；证. 明如后：
4
设 nk(r)为晶体哈密顿量的本征函数，本征值为 En(k)。
Hˆ
nk
(r )
En
(k )
nk
(r )
由于晶体在所属点群操作下保持不变，则点群操作作用
这个结论不依赖于晶体的点群对称性，不管晶体中是否
有对称中心，在 k 空间中 En(k) 总是有反演对称的。这 实际上是时间反演对称性的结果。
；.
9
二、 En(k)图示
以二维正方晶格为例，二维正方晶格的点群是C4V(4mm), 所以，对于一般位置 P，在简约区中共有 8个点与 P点对称
相关。在这些点，电子都有相同的
；.
10
对于一般位置 k ，简约区 中对称相关的波矢量数就等于 点群的阶数。但若 k 在简约区 中的某些特殊位置（对称点、
对称轴或对称面）上，即在晶 体点群中，存在某些对称操作， -/a 使得
/a ky

Z
X kx
k=k 或 k=k+Gl
-/a
这时，简约区中等价波矢量数就少于点群的阶数。在二 维正方晶格的简约区中，k有以下特殊位置：
En (k ) En (k )
证毕。
这表明，在 k 空间中 En(k) 具有与晶体点群完全相同 的对称性。这样就可以在晶体能带计算和表述中把第 一布里渊区分成若干个等价的小区域，只取其中一个 就足够了。区域大小为第一布里渊区的 1/f，f 为晶体 点群对称操作元素数。如三维立方晶体 f = 48。
N E 1 dZ
ky
V dE
dZ为能量在 E－E+dE 两
kx
等能面间的能态数（考虑
了电子自旋）。
dZ=2(k)(k空间中能量在E → E+dE两等能面间的体积)
V
2 8 3 Econst dSdk
和自由电子情形不同，这里的 等能面已经不是球面，需要根 据等能面形状具体积分才行。
；.
26
因为：
相应波函数：
(0) 1,k
x
eikx
第二能带：n=2，n’=－1
E(0) 2
k
k
22
4 1
相应波函数：
(0) 2,k