薄膜渗透率的测定

薄膜渗透率的测定
摘要
根据问题的要求，我们对题目进行恰当的分析，通过合理的假设，们建立微积分数学模型和数据拟合数学模型，求出不同关系量之间的关系。

对于问题，我们运用高等数学和高中物理和生物学的相关知识，同时也用MATLAB进行求解，得出A=0.00006985525148 B=-0.00002994067803 K=0.10117070586401 关键词：数据拟合，渗透率，质量守恒
一、问题的重述
某种医用薄膜有允许一种物质的分子穿透它，从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在试制时，需要测定薄膜被这种分子穿透的能力。

测定方法如下：
用面积S的薄膜将容器分成体积分别为V A，V B的两部分，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。

此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。

通过单位面积膜分子扩散的速度与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数K表示薄膜被该
物质分子穿透的能力，称为渗透率。

的值。

V A=V B=1000cm3,S=10cm2,求容器的B部分溶液浓度V A
的测试结果如下表（其中C j的单位为毫克/cm3）
S
V B
二、模型的假设
1、薄膜两侧的溶液始终是均匀的，即在任何的时刻膜两侧的每一处溶液的浓度都相同。

2、物质从膜的任何一侧向另一侧渗透的性能是相同的。

三、符号说明：
t: 时间
CA（t）：t时刻A侧溶液的浓度。

CB（t）：t时刻B侧溶液的浓度。

aA：A侧初始时刻的浓度
aB:：B侧初始时刻的浓度
Cj:：B侧在j时刻测得的浓度
V：体积
SK：物质质量的增加
四、问题的分析
渗透率和浓度差是本文所要求的关系量，我们先用质量守恒建立溶质间的渗透关系，用微分方程，建立微分数学模型来求t时刻薄膜两侧的浓度，体积差。

最后通过数据拟合，得出K的值。

四、模型的建立与求解
令时刻t，膜两侧溶液的浓度分别为CA（t）和CB(t), 初始时刻两侧的浓度分别为aA和aB,单位为mg/cm3. 又设B侧在tj时刻测得的浓度为cj(j=1,2,3……n).
在A侧经△t 物质质量增加为：V ACA(t+△t)-V ACA(t)
从B侧渗透到A侧的物质质量为：SK(CB-CA)△t.
由质量守恒：
V(CA(t+△t)-CA(t))=SK(CB-CA)△t
两边同除V A△t得：
dCA/dt=SK(CB-CA)/V A (1)
在B侧，经△t 物质增加为：
VBCB(t+△t)-VBCB(t)
从A侧渗透到B侧的物质质量为：
SK(CA-CB)△t
由质量守恒定律得：
VB(CB(t+△t)-CB(t))=SK(CA-CB)△t
dCB/dt=SK(CA-CB)/VB (2)
得到薄膜两侧溶液满足微分方程组的初值问题：
dCA/dt=SK(CB-CA)/V A (1)
dCB/dt=SK(CA-CB)/VB (2)
CA（0）=Aa，CB(0)=aB
又能有整个容器的溶液中含有该物质的质量不变，即成立
V ACA(t)+VBCB(t)=常数=V AaA+VbaB (3)
即：CA(t)=Aa+VB*Ab/V A-VB*CB(t)/V A (4)
将（4）式代入（2 ）式；根据积分中值定理：
dCB/dt=SK(Aa+VB*Ab/V A-VB*CB(t)/VA -CB)/VB (5)
dCB/dt=a-bCB
CB(0)=aB
其中a= SK(Aa/VB+Ab/V A)
b=SK(1/V A+1/VB);
解得：
CB(t)=(aA V A+aBVB)/(V A+VB)+(V A(aB-aA)/(VA+VB))*e.^(-sk(1/VA+1/VB)*t 令
A=(aA V A+aBVB)/(V A+VB)=0.2
B=V A(aB-aA)/(V A+VB)=0.05
CB(t)=A+B*E.^(-SK(1/V A+1/VB)*t
将已知数据代入,通过数据拟合求参数k ：
s=10,V A==VB=1000
A=0.00006985525148 B=-0.00002994067803 K=0.10117070586401
附录：
运用MATLAB：
函数一：function f=curvefun1(x,tdata)
f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata) %其中x(1)=a;x(2)=b;x(3)=k;
调用函数一：
tdata=100:100:1000;
cdata=1e-05*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];
x0=[0.2,0.05,0.05];
x=curvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata);
f=curvefun1(x,tdata);
x,f
x =
0.00006985525148 -0.00002994067803 0.10117070586401
f =1.0e-004 *
0.45399226319512 0.49879178593386 0.53538475333677 0.56527447495634
0.58968887810267 0.60963095346149 0.62591995988254 0.63922508111045
0.65009291714129 0.65896993960280。