雄县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

雄县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A ．720 B ．270 C ．390 D ．300
2． 已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜1
2x ，x ≥1
若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
3． 执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝10，则输出的i ＝（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
4． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2
=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）
A ．
﹣
=1
B ．
﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=1
5． 1F ，2F 分别为双曲线22
221x y a b
-=（a ，0b >）的左、右焦点，点P 在双曲线上，满足120PF PF ⋅=，
若12PF F ∆的内切圆半径与外接圆半径之比为1
2
，则该双曲线的离心率为（ ）
C. 1
D. 1
【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，意在考查
基本运算能力及推理能力．
6．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）
A．i≥7？B．i＞15？C．i≥15？D．i＞31？
7．执行右面的程序框图，若输入x=7，y=6，则输出的有数对为（）
A．（11，12）B．（12，13）C．（13，14）D．（13，12）
8．已知变量x与y负相关，且由观测数据算得样本平均数=3，=2.7，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是（）
A．=﹣0.2x+3.3 B．=0.4x+1.5 C．=2x﹣3.2 D．=﹣2x+8.6
9．设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为﹣16，则含x2项的系数是（）
A．﹣13 B．6 C．79 D．37
10．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）
A． B． C．4 D．
11．在平面直角坐标系中，把横、纵坐标均为有理数的点称为有理点．若a为无理数，则在过点P（a，﹣）的所有直线中（）
A．有无穷多条直线，每条直线上至少存在两个有理点
B．恰有n（n≥2）条直线，每条直线上至少存在两个有理点
C．有且仅有一条直线至少过两个有理点
D．每条直线至多过一个有理点
12．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：①当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|；②f（2x）=cf（x）（c为正常数），
若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c的值是（）
A．1 B．±2 C．或3 D．1或2
二、填空题
13．已知曲线y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a的范围为．
14．已知f（x）=，则f（﹣）+f（）等于．
15．已知数列{a n}满足a n+1=e+a n（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015=．
16．已知直线l的参数方程是（t为参数），曲线C的极坐标方程是ρ=8cosθ+6sinθ，则曲线C上到直线l的距离为4的点个数有个．
17．（若集合A⊊{2，3，7}，且A中至多有1个奇数，则这样的集合共有个．
18．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为．
三、解答题
19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分．
20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，其余人主要的休闲方式是运动．
（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；
（2）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为休闲方式与性别有关系．独立性检验观察值计算公式
，独立性检验临界值表：
21．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．
22．已知函数f（x）=lg（x2﹣5x+6）和的定义域分别是集合A、B，
（1）求集合A，B；
（2）求集合A∪B，A∩B．
23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，设F1，F2是椭圆的左、右焦点，
过F2的直线与椭圆右侧（如图）相交于M，N两点，直线F1M，F1N分别与直线x=4相交于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△F2PQ面积的最小值．
24．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）e x．
（1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；（3）当m=0时，求证：f（x）≥x2+x3．
雄县第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】C
解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队． 各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人， 首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型；
所求方案有： ++=390．
故选：C ． 2． 【答案】
【解析】选C.由题意得log 2（a ＋6）＋2log 26＝9. 即log 2（a ＋6）＝3，
∴a ＋6＝23＝8，∴a ＝2，故选C. 3． 【答案】
【解析】解析：选B.程序运行次序为 第一次t ＝5，i ＝2； 第二次t ＝16，i ＝3； 第三次t ＝8，i ＝4；
第四次t ＝4，i ＝5，故输出的i ＝5. 4． 【答案】A
【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y 2
=λ，
把（2，﹣2）代入方程
﹣y 2
=λ，
解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．
故选A ．
【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．
5． 【答案】D
【解析】∵120PF PF ⋅=，∴12PF
PF ⊥，即12PF F ∆为直角三角形，∴2222
12124PF PF F F c +==，12||2PF PF a -=，则222221212122()4()PF PF PF PF PF PF c a ⋅=+--=-，
2222121212()()484PF PF PF PF PF PF c a +=-+⋅=-.所以12PF F ∆内切圆半径
12122PF PF F F r c +-=
=，外接圆半径R c =.c =，整理，得
2()4c
a
=+1e =，故选D. 6． 【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1 不满足条件，S=8，i=3 不满足条件，S=11，i=7 不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S 的值即为14， 结合选项可知判断框内应填的条件是：i ≥15？ 故选：C ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S ，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
7． 【答案】 A
【解析】解：当n=1时，满足进行循环的条件，故x=7，y=8，n=2， 当n=2时，满足进行循环的条件，故x=9，y=10，n=3， 当n=3时，满足进行循环的条件，故x=11，y=12，n=4， 当n=4时，不满足进行循环的条件， 故输出的数对为（11，12）， 故选：A
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．
8． 【答案】A
【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项B ，C ； 回归直线方程经过样本中心，
把=3， =2.7，代入A 成立，代入D 不成立．
故选：A ．
9． 【答案】 D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．10．【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
11．【答案】C
【解析】解：设一条直线上存在两个有理点A（x1，y1），B（x2，y2），
由于也在此直线上，
所以，当x1=x2时，有x1=x2=a为无理数，与假设矛盾，此时该直线不存在有理点；
当x1≠x2时，直线的斜率存在，且有，
又x2﹣a为无理数，而为有理数，
所以只能是，且y2﹣y1=0，
即；
所以满足条件的直线只有一条，且直线方程是；
所以，正确的选项为C．
故选：C．
【点评】本题考查了新定义的关于直线方程与直线斜率的应用问题，解题的关键是理解新定义的内容，寻找解题的途径，是难理解的题目．
12．【答案】D
【解析】解：∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|．
当1≤x＜2时，2≤2x＜4，
则f（x）=f（2x）=（1﹣|2x﹣3|），
此时当x=时，函数取极大值；
当2≤x≤4时，
f（x）=1﹣|x﹣3|；
此时当x=3时，函数取极大值1；
当4＜x≤8时，2＜≤4，
则f（x）=cf（）=c（1﹣|﹣3|），
此时当x=6时，函数取极大值c．
∵函数的所有极大值点均落在同一条直线上，
即点（，），（3，1），（6，c）共线，
∴=，
解得c=1或2．
故选D．
【点评】本题考查的知识点是三点共线，函数的极值，其中根据已知分析出分段函数f（x）的解析式，进而求出三个函数的极值点坐标，是解答本题的关键．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：因为y=（a﹣3）x3+lnx存在垂直于y轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x＞0时有解，
所以3（a﹣3）x3+1=0，即a﹣3＜0，所以此时a＜3．
函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，
即f'（x）=3x2﹣2ax﹣3≤0恒成立，即，
因为函数在[1，2]上单调递增，所以函数的最大值为，
所以，所以．
综上．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．14．【答案】4．
【解析】解：由分段函数可知f（）=2×=．
f（﹣）=f（﹣+1）=f（﹣）=f（﹣）=f（）=2×=，
∴f（）+f（﹣）=+．
故答案为：4．
15．【答案】2016．
【解析】解：由a n+1=e+a n，得a n+1﹣a n=e，
∴数列{a n}是以e为公差的等差数列，
则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，
∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．
故答案为：2016e．
【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．
16．【答案】2
【解析】解：由，消去t得：2x﹣y+5=0，
由ρ=8cosθ+6sinθ，得ρ2=8ρcosθ+6ρsinθ，即x2+y2=8x+6y，
化为标准式得（x﹣4）2+（y﹣3）2=25，即C是以（4，3）为圆心，5为半径的圆．
又圆心到直线l的距离是，
故曲线C上到直线l的距离为4的点有2个，
故答案为：2．
【点评】本题考查了参数方程化普通方程，考查了极坐标方程化直角坐标方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．
17．【答案】6
【解析】解：集合A为{2，3，7}的真子集有7个，奇数3、7都包含的有{3，7}，则符合条件的有7﹣1=6个．
故答案为：6
【点评】本题考查集合的子集问题，属基础知识的考查．
18．【答案】84．
【解析】解：（x2﹣）9的二项展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x18﹣3r，
令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7===84，
故答案为：84．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）依题意，
根据频率分布直方图中各个小矩形的面积和等于1得，
10（2a+0.02+0.03+0.04）=1，
解得a=0.005．
∴图中a的值0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05
=73（分），
【点评】本题考查频率分布估计总体分布，解题的关键是理解频率分布直方图，熟练掌握频率分布直方图的性质，且能根据所给的数据建立恰当的方程求解
20．【答案】
【解析】解：（1）
（2）
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为休闲方式与性别有关系﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
【点评】独立性检验是考查两个分类变量是否有关系，并且能较精确的给出这种判断的可靠程度的一种重要的统计方法，主要是通过k2的观测值与临界值的比较解决的
21．【答案】
【解析】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．
∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．
∴a n=1，b n=1；
或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．
（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．
当时，c n=a n b n=（2n﹣1）3n﹣1，
∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1，
3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，
∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，
∴S n=（n﹣1）3n+1．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（1）由x2﹣5x+6＞0，即（x﹣2）（x﹣3）＞0，
解得：x＞3或x＜2，即A={x|x＞3或x＜2}，
由g（x）=，得到﹣1≥0，
当x＞0时，整理得：4﹣x≥0，即x≤4；
当x＜0时，整理得：4﹣x≤0，无解，
综上，不等式的解集为0＜x≤4，即B={x|0＜x≤4}；
（2）∵A={x|x＞3或x＜2}，B={x|0＜x≤4}，
∴A∪B=R，A∩B={x|0＜x＜2或3＜x≤4}．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率e=，
∴，解得a2=4，b2=3，
∴椭圆C的方程为=1．
（Ⅱ）设直线MN的方程为x=ty+1，（﹣），
代入椭圆，化简，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，
∴，，
设M（x1，y1），N（x2，y2），又F1（﹣1，0），F2（1，0），
则直线F1M：，令x=4，得P（4，），同理，Q（4，），
∴=||=15×||=180×||，
令μ=∈[1，），则=180×，
∵y==在[1，）上是增函数，
∴当μ=1时，即t=0时，（）min=．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、直线方程、弦长公式、函数单调性、椭圆性质的合理运用．
24．【答案】
【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x2+mx+m）e x=0，所以x2+mx+m=0．
因为函数f（x）没有零点，所以△=m2﹣4m＜0，所以0＜m＜4．
（2）f'（x）=（2x+m）e x+（x2+mx+m）e x=（x+2）（x+m）e x，
令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m，
当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣m）﹣m （﹣m，﹣2）﹣2 （﹣2，+∞）
f'（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗me﹣m↘（4﹣m）e﹣2↗
当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣m．
当m=2时，f'（x）=（x+2）2e x≥0，f（x）在R上为增函数，
所以f（x）无极大值．
当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：
x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣m）﹣m （﹣m，+∞）
f'（x）+0 ﹣0 +
f（x）↗（4﹣m）e﹣2↘me﹣m↗
当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣2，
所以
（3）当m=0时，f（x）=x2e x，令ϕ（x）=e x﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e x﹣1，
当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数，
所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．
所以φ（x）≥φ（0）=0，e x﹣1﹣x≥0，所以e x≥1+x，
因此x2e x≥x2+x3，即f（x）≥x2+x3．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．。