淄川区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

淄川区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若A （3，﹣6），B （﹣5，2），C （6，y ）三点共线，则y=（ ）
A ．13
B ．﹣13
C ．9
D ．﹣9
2． 已知某运动物体的位移随时间变化的函数关系为，设物体第n 秒内的位移为a n ，则
数列{a n }是（ ） A ．公差为a 的等差数列 B ．公差为﹣a 的等差数列
C ．公比为a 的等比数列
D ．公比为的等比数列
3． 函数y=+
的定义域是（ ） A ．{x|x ≥﹣1}
B ．{x|x ＞﹣1且x ≠3}
C ．{x|x ≠﹣1且x ≠3}
D ．{x|x ≥﹣1且x ≠3}
4． 将函数y=cosx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，所得函
数图象的一条对称轴方程是（ ）
A ．x=π
B ．
C ．
D ．
5． 已知α∈（0，π），且sin α+cos α=，则tan α=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 已知集合2
{320,}A x x x x R =-+=∈，{05,}B x x x N =<<∈，则满足条件A C B ⊆⊆的集合C 的
个数为
A 、
B 、2
C 、3
D 、4
7． 若复数z 满足iz=2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）
A ．（2，4）
B ．（2，﹣4）
C ．（4，﹣2）
D ．（4，2）
8． 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
9． “x ＞0”是“
＞0”成立的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．非充分非必要条件
D ．充要条件
10．在10
201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝
⎭的展开式中，含2
x 项的系数为（ ）
（A ）10 （ B ） 30 （C ） 45 （D ） 120
11．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公比q=2，S k+2﹣S k =48，则k 等于（ ）
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
12．设复数z 满足（1﹣i ）z=2i ，则z=（ ）
A ．﹣1+i
B ．﹣1﹣i
C ．1+i
D ．1﹣i
二、填空题
13．在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD 的体积的最大值为 ．
14．命题“∀x ∈R ，x 2
﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．
15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）
①tanA •tanB •tanC=tanA+tanB+tanC
②tanA+tanB+tanC 的最小值为3
③tanA ，tanB ，tanC 中存在两个数互为倒数 ④若tanA ：tanB ：tanC=1：2：3，则A=45°
⑤当tanB ﹣1=
时，则sin 2
C ≥sinA •sinB ．
16．在极坐标系中，O 是极点，设点A ，B 的极坐标分别是（2，），（3，），则O 点到直线AB
的距离是 ．
17．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）
A ．（0，）
B ．（
，0） C ．（0，4） D ．（0，2）
18．如果实数,x y 满足等式()2
2
23x y -+=，那么
y
x
的最大值是 ． 三、解答题
19．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|21|f x x =-．
（1）若不等式1()21(0)2
f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；
（2）若不等式()2|23|2
y
y a
f x x ≤+
++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．
20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．
（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为，求a ，b 的值．
21．设函数f （x ）=|x ﹣a|﹣2|x ﹣1|． （Ⅰ）当a=3时，解不等式f （x ）≥1；
（Ⅱ）若f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0对任意的x ∈[1，2]恒成立，求实数a 的取值范围．
22．【常州市2018届高三上武进区高中数学期中】已知函数()()2
21ln f x ax a x x =+--，R a ∈．
⑴若曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线经过点()2,11，求实数a 的值； ⑵若函数()f x 在区间()2,3上单调，求实数a 的取值范围； ⑶设()1
sin 8
g x x =，若对()10,x ∀∈+∞，[]20,πx ∃∈，使得()()122f x g x +≥成立，求整数a 的最小值．
23．某志愿者到某山区小学支教，为了解留守儿童的幸福感，该志愿者对某班40名学生进行了一 次幸福指数的调查问卷，并用茎叶图表示如图（注：图中幸福指数低于70，说明孩子幸福感弱；幸福指 数不低于70，说明孩子幸福感强）．
（1）根据茎叶图中的数据完成22⨯列联表，并判断能否有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否是留
（2）从5人中随机抽取2人进行家访， 求这2个学生中恰有一人幸福感强的概率．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
附表：
24．如图，F1，F2是椭圆C：+y2=1的左、右焦点，A，B是椭圆C上的两个动点，且线段AB的中点M
在直线l：x=﹣上．
（1）若B的坐标为（0，1），求点M的坐标；
（2）求•的取值范围．
淄川区高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】D
【解析】解：由题意，=（﹣8，8），=（3，y+6）．
∵∥，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，
故选D．
【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．2．【答案】A
【解析】解：∵，
∴a n=S（n）﹣s（n﹣1）=
=
∴a n﹣a n﹣1==a
∴数列{a n}是以a为公差的等差数列
故选A
【点评】本题主要考察了数列的递推公式求解数列的通项公式，等差数列的定义的应用，属于数列知识的简单应用
3．【答案】D
【解析】解：由题意得：
，
解得：x≥﹣1或x≠3，
故选：D．
【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．
4．【答案】B
【解析】解：将函数y=cosx的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
得到y=cos x，再向右平移个单位得到y=cos[（x）]，
由（x）=kπ，得x=2kπ，
即+2k π，k ∈Z ，
当k=0时，
，
即函数的一条对称轴为，
故选：B
【点评】本题主要考查三角函数的对称轴的求解，利用三角函数的图象关系求出函数的解析式是解决本题的关键．
5． 【答案】D
【解析】解：将sin α+cos α=①两边平方得：（sin α+cos α）2
=1+2sin αcos α=
，即2sin αcos α=﹣＜0，
∵0＜α＜π，∴＜α＜π，
∴sin α﹣cos α＞0，
∴（sin α﹣cos α）2
=1﹣2sin αcos α=
，即sin α﹣cos α=②，
联立①②解得：sin α=，cos α=﹣，
则tan α=﹣．
故选：D ．
6． 【答案】D
【解析】{|(1)(2)0,}{1,2}A x x x x =--=∈=R ， {}{}|05,1,2,3,4=<<∈=N B x x x ． ∵⊆⊆A C B ，∴C 可以为{}1,2，{}1,2,3，{}1,2,4，{}1,2,3,4． 7． 【答案】C
【解析】解：复数z 满足iz=2+4i ，则有z=
=
=4﹣2i ，
故在复平面内，z 对应的点的坐标是（4，﹣2），
故选C ．
【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．
8． 【答案】D 【解析】
因为，有可能为负值，所以排除A ，C ，因为函数为减函数且，所以，排除B ，
故选D
答案：D
9． 【答案】A
【解析】解：当x ＞0时，x 2
＞0，则
＞0
∴“x ＞0”是“＞0”成立的充分条件；
但
＞0，x 2
＞0，时x ＞0不一定成立
∴“x ＞0”不是“＞0”成立的必要条件；
故“x ＞0”是“＞0”成立的充分不必要条件；
故选A
【点评】判断充要条件的方法是：①若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的充分不必要条件；②若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的必要不充分条件；③若p ⇒q 为真命题且q ⇒p 为真命题，则命题p 是命题q 的充要条件；④若p ⇒q 为假命题且q ⇒p 为假命题，则命题p 是命题q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p 与命题q 所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p 与命题q 的关系．
10．【答案】C
【解析】因为1010
101
9102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2
x 项只能在
10(1)x +展开式中，即为2210
C x ，系数为2
1045.C =故选C ． 11．【答案】D
【解析】解：由题意，S k+2﹣S k =
，
即3×2k =48，2k
=16，
∴k=4． 故选：D ．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础题．
12．【答案】A
【解析】解：∵复数z 满足z （1﹣i ）=2i ，
∴z==﹣1+i
故选A．
【点评】本题考查代数形式的除法运算，是一个基础题，这种题目若出现一定是一个送分题目，注意数字的运算．
二、填空题
13．【答案】．
【解析】解：过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB与P，
设点P到CD的距离为h，
则有V=×2×h××2，
当球的直径通过AB与CD的中点时，h最大为2，
则四面体ABCD的体积的最大值为．
故答案为：．
【点评】本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台的体积、球内接多面体等基础知识，考查运算求解能力，考查空间想象力．属于基础题．
14．【答案】．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x∈R，x2﹣2x﹣1＞0”的否定形式是：
．
故答案为：．
15．【答案】①④⑤
【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC，
又∵tan（A+B）=，
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC，
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确；
当A=，B=C=时，tanA+tanB+tanC=＜3，故②错误；
若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；
由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tan3A=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；
当tanB﹣1=时，tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC=，C=60°，
此时sin2C=，
sinA•sinB=sinA•sin（120°﹣A）=sinA•（cosA+sinA）=sinAcosA+sin2A=sin2A+﹣
cos2A=sin（2A﹣30°）≤，
则sin2C≥sinA•sinB．故⑤正确；
故答案为：①④⑤
【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．
16．【答案】．
【解析】解：根据点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），可得A、B的直角坐标分别是（3，
）、（﹣，），
故AB的斜率为﹣，故直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣3），即x+3y﹣12=0，
所以O点到直线AB的距离是=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．17．【答案】D
【解析】解：把抛物线y=x2方程化为标准形式为x2=8y，
∴焦点坐标为（0，2）．
故选：D．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．
18．
【解析】
考点：直线与圆的位置关系的应用. 1
【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、直线与圆相切的判定与应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化与化归的思想方
的最值转化为直线与圆相切是解答的关键，属于中档试题.
法，本题的解答中把y
x
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角不等式、基本不等式等基础知识，以及考查等价转化的能力、逻辑思维能力、运算能力．
20．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）≥1，即|x ﹣3|﹣|2x ﹣2|≥1 x
时，3﹣x+2x ﹣2≥1，∴x ≥0，∴0≤x ≤1；
1＜x ＜3时，3﹣x ﹣2x+2≥1，∴x ≤，∴1＜x ≤；
x ≥3时，x ﹣3﹣2x+2≥1，∴x ≤﹣2∴1＜x ≤，无解，…
所以f （x ）≥1解集为[0，]．…
（Ⅱ）当x ∈[1，2]时，f （x ）﹣|2x ﹣5|≤0可化为|x ﹣a|≤3， ∴a ﹣3≤x ≤a+3，…
∴
，…
∴﹣1≤a ≤4．…
22．【答案】⑴2a =⑵11,,64
⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦⎣⎭
⑶2
【解析】试题分析：（1）根据题意，对函数f x （）求导，由导数的几何意义分析可得曲线y f x =（）
在点11f （，（））处的切线方程，代入点
211（，），计算可得答案； （2）由函数的导数与函数单调性的关系，分函数在（23，）上单调增与单调减两种情况讨论，综合即可得答案；
（3）由题意得，2min max f x g x +≥（）（），
分析可得必有()()215
218
f x ax a x lnx +--≥＝ ，对f x （）求导，对a 分类讨论即可得答案． 试题解析：
⑵
()()()211'ax x f x x
-+=
，
∴若函数()f x 在区间()2,3上单调递增，则210y ax =-≥在()2,3恒成立，
410{ 610
a a -≥∴-≥，得14a ≥；
若函数()f x 在区间()2,3上单调递减，则210y ax =-≤在()2,3恒成立，
410{
610
a a -≤∴-≤，得1
6a ≤，
综上，实数a 的取值范围为11,,64
⎛⎤
⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝
⎦
⎣⎭
；
⑶由题意得，()()min max 2f x g x +≥，
()max 1
28g x g π⎛⎫== ⎪⎝⎭，
()min 158f x ∴≥，即()()215
21ln 8
f x ax a x x =+--≥，
由()()()()()2
22112111'221ax a x ax x f x ax a x x x
+---+=+--==， 当0a ≤时，()10f <，则不合题意；
当0a >时，由()'0f x =，得1
2x a
=或1x =-（舍去）， 当1
02x a
<<时，()'0f x <，()f x 单调递减， 当1
2x a
>
时，()'0f x >，()f x 单调递增． ()min 115
28
f x f a ⎛⎫∴=≥ ⎪⎝⎭，即117ln 428a a --≥， 整理得，()117
ln 2228a a -⋅
≥， 设()1ln 2h x x x =-，()211
02h x x x
∴=+>'，()h x ∴单调递增，
a Z ∈，2a ∴为偶数，
又()172ln248h =-<，()17
4ln488
h =->，
24a ∴≥，故整数a 的最小值为2。

23．【答案】（1）有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关；（2）
35
.
【解析】
∴2
40(67918)4 3.84115252416
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯． ∴有95%的把握认为孩子的幸福感强与是否留守儿童有关．
（2）按分层抽样的方法可抽出幸福感强的孩子2人，记作：1a ，2a ；幸福感强的孩子3人，记作：1b ，2b ，
3b ．
“抽取2人”包含的基本事件有12(,)a a ，11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b ，12(,)b b ，
13(,)b b ，23(,)b b 共10个．
事件A ：“恰有一人幸福感强”包含的基本事件有11(,)a b ，12(,)a b ，13(,)a b ，21(,)a b ，22(,)a b ，23(,)a b 共6个． 故63()105
P A =
=． 考点：1、 茎叶图及独立性检验的应用；2、古典概型概率公式. 24．【答案】
【解析】解：（1）∵B 的坐标为（0，1），且线段AB 的中点M 在直线l ：x=﹣上， ∴A 点的横坐标为﹣1，
代入椭圆方程
+y 2=1，解得y=±
，故点A （﹣1，）或点A （﹣1，﹣）．
∴线段AB 的中点M （﹣， +
）或（﹣，﹣
）．
（2）由于F 1（﹣1，0），F 2（1，0），当AB 垂直于x 轴时，AB 的方程为x=﹣，点A （﹣，﹣）、
B （﹣，
），
求得•=．
当AB 不垂直于x 轴时，设AB 的斜率为k ，M （﹣，m ），A （x 1，y 1 ），B （x 2，y 2），
由可得 （x 1+x 2）+2（y 1+y 2）•
=0，∴﹣1=﹣4mk ，即 k=，
故AB 的方程为 y ﹣m=（x+），即 y=x+ ①．
再把①代入椭圆方程+y 2=1，可得x 2+x+•
=0．
由判别式△=1﹣＞0，可得0＜m 2
＜．
∴x 1+x 2=﹣1，x 1•x 2=，y 1•y 2=（
•x 1+
）（
x 2+
），
∴
•
=（x 1﹣1，y 1 ）•（x 2﹣1，y 2）=x 1•x 2+y 1•y 2﹣（x 1+x 2）+1=
．
令t=1+8m 2
，则1＜t ＜8，∴ •
=
= [3t+]．
再根据 [3t+]在（1，
）上单调递减，在（
，8）上单调递增求得 [3t+]的范围为[，）．
综上可得， [3t+]的范围为[
，
）．
【点评】本题主要考查本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，两个向量的数量积公式的应用，直线和二次曲线的关系，考查计算能力，属于难题．。