当涂县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

当涂县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ） A ．（4，1，1） B ．（﹣1，0，5） C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）
2． 等比数列{a n }满足a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，则a 2a 6=（ ）
A ．6
B ．9
C ．36
D ．72
3． 复数2
(2)i z i
-=（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为（ ）
A ．43i -+
B ．43i +
C ．34i +
D ．34i -
【命题意图】本题考查复数的运算和复数的概念等基础知识，意在考查基本运算能力．
4． 已知实数x ，y 满足有不等式组，且z=2x+y 的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值是（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．
5． 将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 设m ，n 是正整数，多项式（1﹣2x ）m +（1﹣5x ）n 中含x 一次项的系数为﹣16，则含x 2
项的系数是（ ） A ．﹣13 B ．6 C ．79 D ．37
7．
某个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为92＋14π，则该几何体的体积为（ ） A ．80＋20π B ．40＋20π C ．60＋10π D ．80＋10π
8． 如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．
B ．|a|＞|b|
C ．a 2＞b 2
D ．a 3＞b 3
9． 某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天． 甲说：我在1日和3日都有值班； 乙说：我在8日和9日都有值班；
丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是（ ）
A ．2日和5日
B ．5日和6日
C ．6日和11日
D ．2日和11日
10．已知直线l 1 经过A （﹣3，4），B （﹣8，﹣1）两点，直线l 2的倾斜角为135°，那么l 1与l 2（ ） A ．垂直 B ．平行 C ．重合 D ．相交但不垂直
11．已知f （x ）=
，则f （2016）等于（ ）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
12．已知全集R U =，集合{|||1,}A x x x R =≤∈，集合{|21,}x
B x x R =≤∈，则集合U A
C B 为（ ）
A.]1,1[-
B.]1,0[
C.]1,0(
D.)0,1[- 【命题意图】本题考查集合的运算等基础知识，意在考查运算求解能力.
二、填空题
13．二项式
展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
14．已知函数f （x ）是定义在R 上的单调函数，且满足对任意的实数x 都有f[f （x ）﹣2x ]=6，则f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于 ．
15．△ABC 外接圆半径为，内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A=60°，b=2，则c 的值为 ．
16．自圆C ：22
(3)(4)4x y -++=外一点(,)P x y 引该圆的一条切线，切点为Q ，切线的长度等于点P 到原点O 的长，则PQ 的最小值为（ ） A ．
1310 B ．3 C ．4 D ．2110
【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力、数形结合的思想．
17．某种产品的加工需要A，B，C，D，E五道工艺，其中A必须在D的前面完成（不一定相邻），其它工艺的顺序可以改变，但不能同时进行，为了节省加工时间，B 与C 必须相邻，那么完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有种．（用数字作答）
18．已知（ax+1）5的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则a=．三、解答题
19．在△ABC中，D为BC边上的动点，且AD=3，B=．
（1）若cos∠ADC=，求AB的值；
（2）令∠BAD=θ，用θ表示△ABD的周长f（θ），并求当θ取何值时，周长f（θ）取到最大值？
20．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且
（1）求数列和的通项公式
（2）设，数列的前项和为,求证:
（3）设数列满足（），若数列是递增数列，求实数的取值范围。

21．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．
（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=
（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．
22．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y 10 13 9.9 7 10 13 10.1 7 10
经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数y=Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y=f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
23．设函数f（x）=x2e x．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＞m恒成立，求实数m的取值范围．
24．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为
A[]
B[]
C[]
D[]
当涂县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：设C （x ，y ，z ），
∵点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C ，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C （4，﹣3，1）． 故选：C ．
2． 【答案】D
【解析】解：设等比数列{a n }的公比为q ，
∵a 1=3，a 1+a 3+a 5=21，∴3（1+q 2+q 4）=21，解得q 2
=2． 则a 2a 6=9×q 6
=72．
故选：D ．
3． 【答案】A
【解析】根据复数的运算可知43)2()2(22
--=--=-=i i i i
i z ，可知z 的共轭复数为43z i =-+，故选A.
4． 【答案】B
【解析】解：由约束条件
作出可行域如图，
联立，得A（a，a），
联立，得B（1，1），
化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，
由图可知z max=2×1+1=3，z min=2a+a=3a，
由6a=3，得a=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x﹣）]=sin（2x﹣）；考察选项不难发现：
当x=时，sin（2×﹣）=0；
∴（，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．
6．【答案】D
【解析】
二项式系数的性质．
【专题】二项式定理．
【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，从而求得含x2项的系数．
【解答】解：由于多项式（1﹣2x）m+（1﹣5x）n中含x一次项的系数为（﹣2）+（﹣5）=﹣16，
可得2m+5n=16 ①．
再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2，
故含x2项的系数是（﹣2）2+（﹣5）2=37，
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．【答案】
【解析】解析：选D.该几何体是在一个长方体的上面放置了半个圆柱．
依题意得（2r×2r＋1
2）×2＋5×2r×2＋5×2r＋πr×5＝92＋14π，
2πr
即（8＋π）r2＋（30＋5π）r－（92＋14π）＝0，
即（r－2）[（8＋π）r＋46＋7π]＝0，
∴r＝2，
∴该几何体的体积为（4×4＋1
2）×5＝80＋10π.
2π×2
8．【答案】D
【解析】解：若a＞0＞b，则，故A错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则|a|=|b|，故B错误；
若a＞0＞b且a，b互为相反数，则a2＞b2，故C错误；
函数y=x3在R上为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故D正确；
故选：D
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的单调性，难度不大，属于基础题．
9．【答案】C
【解析】解：由题意，1至12的和为78，
因为三人各自值班的日期之和相等，
所以三人各自值班的日期之和为26，
根据甲说：我在1日和3日都有值班；乙说：我在8日和9日都有值班，可得甲在1、3、10、12日值班，乙在8、9、2、7或8、9、4、5，
据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日，
故选：C．
【点评】本题考查分析法，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
10．【答案】A
【解析】解：由题意可得直线l1的斜率k1==1，
又∵直线l2的倾斜角为135°，∴其斜率k2=tan135°=﹣1，
显然满足k1•k2=﹣1，∴l1与l2垂直
故选A
11．【答案】D
【解析】解：∵f （x ）=， ∴f （2016）=f （2011）=f （2006）=…=f （1）=f （﹣4）=log 24=2，
故选：D ．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．
12．【答案】C.
【解析】由题意得，[11]
A =-，，(,0]
B =-∞，∴(0,1]U A
C B =，故选C.
二、填空题
13．【答案】 70 ．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式
=
展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C 8r x 8﹣2r 令8﹣2r=0得r=4 则其常数项为C 84
=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．
14．【答案】 6 ．
【解析】解：根据题意可知：f （x ）﹣2x
是一个固定的数，记为a ，则f （a ）=6，
∴f （x ）﹣2x =a ，即f （x ）=a+2x
，
∴当x=a 时，
又∵a+2a
=6，∴a=2，
∴f （x ）=2+2x
，
∴f （x ）+f （﹣x ）=2+2x +2+2﹣x =2x +2﹣x
+4
≥2+4=6，当且仅当x=0时成立，
∴f （x ）+f （﹣x ）的最小值等于6，
故答案为：6．
【点评】本题考查函数的最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
15．【答案】．
【解析】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，
∴由正弦定理可得：，解得：a=3，
∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，
∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．
16．【答案】D
【解析】
17．【答案】24
【解析】解：由题意，B与C必须相邻，利用捆绑法，可得=48种方法，
因为A必须在D的前面完成，所以完成加工该产品的不同工艺的排列顺序有48÷2=24种，
故答案为：24．
【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．
18．【答案】．
【解析】解：（ax+1）5的展开式中x2的项为=10a2x2，x2的系数为10a2，
与的展开式中x3的项为=5x3，x3的系数为5，
∴10a2=5，
即a2=，解得a=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，利用展开式的通项公式确定项的系数是解决本题的关键．
三、解答题
19．【答案】
【解析】（本小题满分12分）
解：（1）∵，
∴，
∴…2分（注：先算∴sin∠ADC给1分）
∵，…3分
∴，…5分
（2）∵∠BAD=θ，
∴， (6)
由正弦定理有，…7分
∴，…8分
∴，…10分
=，…11分
当，即时f（θ）取到最大值9．…12分
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．
20．【答案】
【解析】
解：∵S n＝2－a n，即a n＋S n＝2，∴a n＋1＋S n＋1＝2.
两式相减：a n＋1－a n＋S n＋1－S n＝0.
即a n＋1－a n＋a n＋1＝0，故有2a n＋1＝a n，∵a n≠0，
，
∵b n＋1＝b n＋a n（n＝1,2,3，…），
得b2－b1＝1，，，，．
将这n－1个等式相加，得
又∵b1＝1，．
（2）证明：.
而
①－②得
＝8－（n＝1,2,3，…）．
∴T n＜8.
（3）由（1）知
由数列是递增数列，∴对恒成立，
即
恒成立，
即恒成立，
当为奇数时，即恒成立，∴，
当为偶数时，即恒成立，∴，
综上实数的取值范围为
21．【答案】
【解析】证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=
∴a n=×=，
S n=
又∵==S n
∴S n=
（II）∵a n=
∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…+（﹣nlog33）=﹣（1+2+…+n）
=﹣
∴数列{b n }的通项公式为：b n =﹣
【点评】本题主要考查等比数列的通项公式、前n 项和以及对数函数的运算性质．
22．【答案】
【解析】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴
=10，
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，
，
故
（0≤t ≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f （t ）≥11.5，即
∴
，
解得：12k+1≤t ≤5+12k k ∈Z
又0≤t ≤24
当k=0时，1≤t ≤5；
当k=1时，13≤t ≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
【点评】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角函数的解析式
注意由题中条件求出周期，最大最小值等．
23．【答案】
【解析】解：（1）…
令
∴f （x ）的单增区间为（﹣∞，﹣2）和（0，+∞）； 单减区间为（﹣2，0）．…
（2）令
∴x=0和x=﹣2，…
∴
∴f（x）∈[0，2e2]…
∴m＜0…
24．【答案】B
【解析】当x≥0时，
f（x）=，
由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；
由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。

∴当x＞0时，。

∵函数f（x）为奇函数，
∴当x＜0时，。

∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），
∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：。

故实数a的取值范围是。