2018年湖北省荆州中学高考数学二模试卷(文科)(解析版)

2018年湖北省荆州中学高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x﹣1）＜0}，B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（1，3）C．（1，3]D．（1，2）
2．（5分）已知i是虚数单位，复数z1＝3﹣4i，若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1•z2＝（）
A．﹣25B．25C．﹣7D．7
3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6B．7C．8D．9
4．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）
A．B．C．D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入t∈[﹣1，2]，则输出的s的值属于（）
A．[﹣1，]B．[]C．[]D．[]
6．（5分）命题p：∀x∈R，sin x+cos x≥﹣2，命题q：∃x＜0，e﹣x＜1，真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）7．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．3cm3B．5cm3C．4cm3D．6cm3
8．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝
9．（5分）设3x＝2，y＝ln2，，则（）
A．x＜y＜z B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x 10．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x﹣3
C．D．y＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）
11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面P AB所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知f（x）＝x3e x+2ax（e为自然对数的底数）有二个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝2，则||＝．
14．（5分）若x，y满足约束条件则z＝x﹣2y的最大值为．
15．（5分）湖北省从2018年入学的高中学生开始实施高考改革，高考科目除语数外三门学科外，需从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科中选三门．某同学随机选取，结果选到和改革前文科生（政治、历史、地理）或者理科生（物理、化学、生物）的考试科目相同的概率为．
16．（5分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a＝6，4sin B＝5sin C，当A＝2C时，△ABC的周长为．
三、解答题：共70分.第17～21题为必考题，共60分．
17．（12分）已知数列{a n}是递增的等差数列，a2＝3，若a1，a3﹣a1，a8+a1成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n＝，数列{b n}的前n项和S n，求S n．
18．（12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在（195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图．
表1甲流水线样本的频数分布表
（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
（3）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
附：（其中n＝a+b+c+d为样本容量）
19．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝，点C为圆O上一点，且BC＝，．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB．
（1）求证：CD⊥平面P AB；
（2）求点D到平面PBC的距离．
20．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px（x＞0）与椭圆C2：x2+2y2＝m2（m＞0）的一个交点
为P（1，t），点F是C1的焦点，且|PF|＝．
（1）求C1与C2的方程；
（2）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于B，直线AB交y轴于E，且∠OAE＝∠EOB？若存在，求出点A的坐标和△AOB的面积；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知函数．
（1）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题作答.选考题：共10分[选修4-4坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：ρ＝2sinθ．
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）记射线与直线l和曲线C的交点分别为点M和点N（异于点O），求的最大值．
[选修4-5不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）解关于x的不等式f（x）≥1﹣x2；
（2）若关于x的不等式f（x）＜a﹣x2+|x+1|的解集非空，求实数a的取值范围．
2018年湖北省荆州中学高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.
1．（5分）已知集合A＝{x|log2（x﹣1）＜0}，B＝{x|x≤3}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2）B．（1，3）C．（1，3]D．（1，2）
【解答】解：∵集合A＝{x|log2（x﹣1）＜0}＝{x|1＜x＜2}，
B＝{x|x≤3}，
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}＝（1，2）．
故选：D．
2．（5分）已知i是虚数单位，复数z1＝3﹣4i，若在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，则z1•z2＝（）
A．﹣25B．25C．﹣7D．7
【解答】解：∵复数z1＝3﹣4i，且在复平面内，复数z1与z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝﹣3﹣4i，
则z1•z2＝（3﹣4i）（﹣3﹣4i）＝﹣25．
故选：A．
3．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n．若a1+a3＝6，S4＝16，则a4＝（）A．6B．7C．8D．9
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n．a1+a3＝6，S4＝16，
∴，
解得a1＝1，d＝2，
∴a4＝a1+3d＝7．
故选：B．
4．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中把三角形的田称为“圭田”，把直角梯形的田称为“邪田”，称底是“广”，称高是“正从”，“步”是丈量土地的单位．现有一邪田，广分别为十步和二十步，正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．若在邪田内随机种植一株茶树，求该株茶树恰好种在圭田内的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：∵现有一邪田，广分别为十步和二十步，
正从为十步，其内有一块广为八步，正从为五步的圭田．
在邪田内随机种植一株茶树，
∴该株茶树恰好种在圭田内的概率为S＝＝．
故选：A．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入t∈[﹣1，2]，则输出的s的值属于（）
A．[﹣1，]B．[]C．[]D．[]
【解答】解：执行程序框图知，输入的t∈[﹣1，2]，
输出算式S＝；
输出S的值，由﹣1≤t＜1时，S＝21﹣t∈（1，4]；
1≤t≤2时，S＝∈[，1]，
此分段函数在t∈[﹣1，2]时，输出的s∈[，4]．
故选：D．
6．（5分）命题p：∀x∈R，sin x+cos x≥﹣2，命题q：∃x＜0，e﹣x＜1，真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∨q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）
【解答】解：（1）命题p：sin x+cos x＝，
由y＝sin（x+）≥﹣1，∴≥﹣∴p真；
（2）命题q：当x＜0时，e﹣x＞1，故q假．
A选项：p∧q为真时，需要p与q同时为真．
B选项：（￢p）∨q为真时，需要￢p与q中至少有一个为真．
C选项：p∧（￢q）为真时，需要p与￢q同时为真，符合题意．
D选项：（￢p）∧（￢q）为真时，需要￢p与￢q同时为真．
故选：C．
7．（5分）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）
A．3cm3B．5cm3C．4cm3D．6cm3
【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的直四棱柱，
且四棱柱的底面如侧视图所示，可以分割为一个梯形和一个直角三角形（如图），
S底面＝
∴该四棱柱的体积为V四棱柱＝S底面h＝2＝5．
故选：B．
8．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2
于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝
【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0，b＞0），左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为P，
∴丨OP丨＝a，
设双曲线的右焦点为F′，
∵P为线段FQ的中点，
∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，
由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a，
∴b＝2a．
∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，
即2ax±ay＝0，
∴2x±y＝0．
故选：B．
9．（5分）设3x＝2，y＝ln2，，则（）
A．x＜y＜z B．y＜z＜x C．z＜x＜y D．z＜y＜x
【解答】解：∵3x＝2，0＝log31＜x＝log32＜log33＝1，
x＝log32＜y＝ln2＜lne＝1，
＝＜＝＜x＝log 32，
∴z＜x＜y．
故选：C．
10．（5分）下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x﹣3
C．D．y＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝2﹣x＝（）x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于B，y＝x﹣3＝，为奇函数，在其定义域上不是减函数，不符合题意；
对于C，y＝，有f（﹣x）＝＝＝f（x），为偶函数，不符合题意；
对于D，y＝lg（2﹣x）﹣lg（2+x）＝lg，有f（﹣x）＝lg＝﹣lg＝﹣f（x），为奇函数，
有＞0，解可得﹣2＜x＜2，则函数的定义域为（﹣2，2），且在定义域为减函数，符合题意；
故选：D．
11．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上，P A⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，若球O的体积为π，则直线PC与平面P AB所成角的正切值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设△ABC的中心为E，M为AB的中点，过O作OD⊥P A，则D为P A的中点，∴∠CPM是直线PC与平面P AB所成角．
∵△ABC是边长为2的等边三角形，
∴OD＝AE＝＝，
∵＝，
∴OP＝，
∴P A＝2PD＝2＝．
∴PM＝＝．
∴tan∠CPM＝＝．
故选：A．
12．（5分）已知f（x）＝x3e x+2ax（e为自然对数的底数）有二个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【解答】解∵若f（x）＝x3e x+2ax（e为自然对数的底数）有二个零点，
当x＝0时，f（x）＝0，函数f（x）有一个零点，
当x≠0时，f（x）＝x3e x+2ax＝0，即﹣2a＝x2e x，
∴y＝﹣2a和g（x）＝x2e x在（﹣∞，0）
或（0，+∞）有1个交点，
∴g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（2+x），
令g′（x）＝0，解得x＝0或x＝﹣2，
当x＜﹣2或x＞0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
当﹣2＜x＜0时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
故g（x）极大值＝g（﹣2）＝，g（x）极小值＝g（0）＝0，
而x→﹣∞时，g（x）→0，x→+∞时，g（x）→+∞，
y＝﹣2a和g（x）＝x2e x在（﹣∞，0）或（0，+∞）有1个交点，
只需﹣2a＞，
即a＜﹣
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知向量，夹角为60°，且||＝1，|2﹣|＝2，则||＝4．
【解答】解：∵|2﹣|＝2，∴＝12，
∴，
化为，
解得＝4．
故答案为：4．
14．（5分）若x，y满足约束条件则z＝x﹣2y的最大值为﹣3．
【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝x﹣2y为y＝x﹣，
由图可知，当直线y＝x﹣过点A（﹣1，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为﹣3．
故答案为：﹣3．
15．（5分）湖北省从2018年入学的高中学生开始实施高考改革，高考科目除语数外三门学科外，需从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科中选三门．某同学随机选取，结果选到和改革前文科生（政治、历史、地理）或者理科生（物理、化学、生物）的考
试科目相同的概率为．
【解答】解：高考科目除语数外三门学科外，需从政治、历史、地理、物理、化学、生物六门学科中选三门．
某同学随机选取，基本事件总数n＝＝20，
结果选到和改革前文科生（政治、历史、地理）或者理科生（物理、化学、生物）的考试科目相同的概率为：
p＝．
故答案为：．
16．（5分）已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a＝6，4sin B＝5sin C，当A＝2C时，△ABC的周长为15．
【解答】解：由a＝6，4sin B＝5sin C，A＝2C，可得B＝π﹣3C，
由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，
由，可得＝＝，
由sin C≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cos C＝，或﹣（舍去），
sin C＝＝，可得sin A＝2sin C cos C＝2××＝，可得：＝，
可得：c＝4，b＝5，则a+b+c＝15，
故答案为：15．
三、解答题：共70分.第17～21题为必考题，共60分．
17．（12分）已知数列{a n}是递增的等差数列，a2＝3，若a1，a3﹣a1，a8+a1成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n＝，数列{b n}的前n项和S n，求S n．
【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，d＞0，
由条件得，
∴，
∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
（2），
∴S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝．
18．（12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在（195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，如图所示是乙流水线样本的频率分布直方图．
表1甲流水线样本的频数分布表
（1）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，则甲、乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件？
（2）在甲流水线抽取的样本的不合格品中随机抽取两件，求两件不合格品的质量指标值均偏大的概率；
（3）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断在犯错误概率不超过0.1的前提下能否认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”？
附：（其中n＝a+b+c+d为样本容量）
【解答】解：（1）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，
甲流水线生产的不合格品有6件，
则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为，
乙流水线生产的产品为不合格品的概率为；
于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了6万件产品，
则甲流水线生产的不合格品件数为（件），
乙流水线生产的不合格品件数为（件）；
（2）在甲流水线抽取的样本中，不合格品共有6件，
其中质量指标值偏小的有2件，记为A，B；
质量指标值偏大的有4件，记为c，d，e，f，
则从中任选2件有
AB，Ac，Ad，Ae，Af，Bc，Bd，Be，Bf，cd，ce，cf，de，df，ef共15种结果，
其中质量指标值都偏大有6种结果，
故所求概率为；
（3）填写2×2列联表如下：
计算，
所以在犯错误概率不超过0.1的前提下，
不能认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两条流水线的选择有关”．19．（12分）如图所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝，点C为圆O上一点，且BC＝，．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD＝DB．
（1）求证：CD⊥平面P AB；
（2）求点D到平面PBC的距离．
【解答】解：（1）证明：∵AB为圆O的直径，∴AC⊥CB，
∵Rt△ABC中，由，∴tan∠ABC＝＝，∠ABC＝30°，
∵AB＝4，3AD＝DB，∴DB＝3，BC＝2，
由余弦定理，得△BCD中，CD2＝DB2+BC2﹣2DB•BC cos30°＝3，
∴CD2+DB2＝12＝BC2，可得CD⊥AO．
∵点P在圆O所在平面上的正投影为点D，即PD⊥平面ABC，
又∵CD⊂平面ABC，∴PD⊥CD．
∵PD∩AO＝D得，∴CD⊥平面P AB．
（2）由可知，PD＝DB＝3，且Rt△BCD中，CD＝BC sin30°＝，
＝，
，，BC＝
又V P﹣BDC＝V D﹣PBC，得
解得d＝．
20．（12分）已知抛物线C1：y2＝2px（x＞0）与椭圆C2：x2+2y2＝m2（m＞0）的一个交点为P（1，t），点F是C1的焦点，且|PF|＝．
（1）求C1与C2的方程；
（2）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于B，直线AB交y轴于E，且∠OAE＝∠EOB？若存在，求出点A的坐标和△AOB的面积；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）由抛物线定义：，
所以p＝1，C1的方程为y2＝2x，
将P（1，t）代入C1：y2＝2x得t2＝2，
即，将代入C2：x2+2y2＝m2，
得m2＝5，
故C2方程为x2+2y2＝5．
即C1：y2＝2x，C2：x2+2y2＝5．
（2）由题意：直线OA的斜率存在且不为0，
设OA的方程为y＝kx（k≠0），由于OA⊥OB，则OB的方程为，
由得x2+2k2x2＝5，∴，
由，得，得x＝0（舍）或x＝2k2．
在第一象限内，若满足∠OAE＝∠EOB的点A存在，
则k＞OA，此时，B（2k2，﹣2k），
设直线AB与x轴交于点D，
由于∠OAE＝∠EOB，∠AOB＝∠DOE＝90°，
所以∠OAD＝∠AOD，∠DOB＝∠OBD，
故AD＝OD＝BD，即D为线段AB中点，
因此y A＝﹣y B，即，
解得，
故存在适合题意的，此时，
此时，AB方程为，即，点O到AB的距离，，
所以S△AOB＝××＝．
21．（12分）已知函数．
（1）若对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；
（2）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上恰有两个零点，求实数b的取值范围．
【解答】解：（1）＝，由f′（x）＞0解得，
由f′（x）＜0得
∴f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减
∴当时，函数f（x）取得最小值
由于对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，
所以
解得，故a的取值范围是
（2）依题意得，则
由g′（x）＞0解得x＞1；由g′（x）＜0解得0＜x＜1
所以g（x）在区间（0，1）上为减函数，在区间（1，+∞）上为增函数．
又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，
所以
解得，
所以b的取值范围是．
请考生在第22、23题中任选一题作答.选考题：共10分[选修4-4坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C：ρ＝2sinθ．
（1）求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）记射线与直线l和曲线C的交点分别为点M和点N（异于点O），求的最大值．
【解答】解：（1）由题意得直线l：（t为参数），
所以：直线l的普通方程为：x+y＝4，
所以其极坐标方程为：．
曲线C：ρ＝2sinθ．
由ρ＝2sinθ得：ρ2＝2ρsinθ，
所以x2+y2＝2y，
所以曲线C的直角坐标方程为：x2+y2﹣2y＝0．
（2）由题意|ON|＝2sinα，，
所以，
＝，
由于，
所以当时，取得最大值：．
[选修4-5不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．
（1）解关于x的不等式f（x）≥1﹣x2；
（2）若关于x的不等式f（x）＜a﹣x2+|x+1|的解集非空，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由题意f（x）≥1﹣x2⇔|x﹣1|≥1﹣x2⇔x﹣1≥1﹣x2或x﹣1≤x2﹣1，所以x2+x﹣2≥0或x2﹣x≥0，
即x≤﹣2或x≥1，或x≥1或x≤0，
故原不等式的解集为{x|x≤0或x≥1}．
（2）f（x）＜a﹣x2+|x+1|⇔a＞x2+|x﹣1|﹣|x+1|，
由于x2+|x﹣1|﹣|x+1|＝，
所以当x＝1时，x2+|x﹣1|﹣|x+1|的最小值为﹣1．
所以实数a的取值范围为：（﹣1，+∞）．。