有限元简介

在有限元分析具体问题时，其基本未知量为某种场变量。场变量可以是标 量（温度t），也可以是矢量(位移 )。（最后处理的实际上都是标量） 每个具体的工程问题总有一个确切的定义域空间：绝大多数具体的工程问 题是二维或三维的（二维往往是对三维的简化）。另外还可以将问题分为 有限维问题和无限维问题，例如： 有限维：曲轴、飞机构件、汽轮机叶片； 无限维：电场、磁场、声场、水坝。 适用有限元方法分析的工程问题中最具代表性的问题是力学问题，由于有 限元方法的问世源于力学问题，因此许多概念带有明显的力学特征，其次， 力学问题代表性强，力学量的矢量特性。共轭量（位移场、应力场）直观 性强。 力学： 位移场、应力场、速度场 传热学： 温度场 电学： 电场、磁场 流体力学： 流场 声学： 声场


位移单元
以位移做为基本未知量，几何关系和弹性关系精确满足，平衡方程只 能近似满足（近似解）。优点：未知量少；缺点：位移精度好，应力 精度低。位移单元又分为两种：协调单元和非协调单元。位移单元是 目前应用最广的一类单元。
Байду номын сангаас

平衡单元
以应力或应力函数为基本未知量，以应力协调关系（或最小余能原理） 建立有限元方程。
变分方法
加权残值法
---计算机和应用程序
要用有限元方法的理论来解决实际问题离不开计算机（硬件）和程序 （软件），人们大体要完成以下四方面的工作：

数据储存
应用有限元方法求解实际问题时，在计算过程中要存贮大量数据 （原始数据、中间数据和最终结果）。对于一个中等规模以上的算题， 数据量相当可观。例如，一个不到500个结点的板壳结构（中等规模） 的算题，要占用18MB的外存空间，在处理规模稍大的算题时一定要 有足够的外存空间。


杂交（混合）单元
同时以位移和应力为基本未知量。这种单元在处理板、壳问题时有显 著的优点。
现代有限元方法起源于矩阵结构分析方法，经过科学家和数学家的 工作已经使其不断成熟完善，从而变成工程分析中一种处理偏微分方 程边值问题的最有效的数值方法之一，对于工程中的许多场变量的定 解问题，通过此方法可以得到满足工程要求的近似解。应用此方法在 对于连续介质问题分析时，首先要将求解域离散化，然后的中心工作 是单元分析（要用揑值函数近似表达场变量），即建立结点位移与结 点力之间的关系（形成单元刚度矩阵）。此后的工作可以认为是程式 化的工作，即组装总体方程和求解此方程，在解方程时要用到数值积 分。变分原理在有限元方法中有重要的作用，在许多场合依据变分原 理可以给出总体方程合理性的满意解释。创建新型单元的工作仍在不 断迚行，人们始终没有放弃构造新型的功能更强、性质更优的单元的 努力。

近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果： 一种称为框架分析法（framework method）被用来分析 平面弹性体（将平面弹性体描述为杄和梁的组合体） （1941，Hrenikoff）

有限元方法的第二个关键时期出现于二十世纪六十年代中 期，“有限单元”是由Clough首次提出 (1960)。这就不 仅极大地扩展了该方法的应用范围，在构造方法时人们不 再受工程直觉的束缚。
---建立有限元方程大体有三类方法：
直接方法
这种方法是直接从结构力学引伸过来的，作为一种建立有限元方程的方法 而言，只在简单情况下才能凑效。这种方法的优点在于简单、易于理解，一 些基本概念和作法的物理意义清晰，对理解有限元方法的相关概念和具体作 法十分有益。 这种方法是讨论有限元方法时最常用的一种形式。有限元方法最早的严 格理论论证就是以这种形式给出的。变分方法主要用于线性问题，该方法要 求被分析的问题存在一个“能量泛函”，由泛函取驻值建立有限元方程。对 于线性弹性问题就表现为最小势能原理、最小余能原理或其他形式的广义变 分原理。对于某些非线性问题（弹塑性问题）的虚功方程也可归于这一类。 本书主要利用这种形式。 对于线性自共轭形式方程，加权残值法可能和变分法得到相同的结果， 这将使我们得到一个对称的刚度矩阵。对于那些“能量泛函”不存在的问题 （主要是一些非线性问题和依赖于时间的问题）加权残值法是一种很有效的 方法。伽辽金Galerkin）法（即，选形函数为权函数的加权残值法）属于这一 类。

数据管理
为了充分利用存贮空间，编制程序时要注意到存贮空间的利用率。

数值计算
计算成本主要取决于数值运算的时间，尽量选用先迚的计算方法， 提高求解效率。

前处理及后处理
为了减少人工准备原始数据的工作量，程序要有尽可能完善的“自 动生成“功能。由程序产生一部分原始数据。尽管如此，对于中等规 模以上的算题来说，准备原始数据仍然是一件繁重的工作。数据是否 没有差错，往往决定着一次上机的成败。
现代有限元方法起源于矩阵结构分析方法经过科学家和数学家的工作已经使其不断成熟完善从而变成工程分析中一种处理偏微分方程边值问题的最有效的数值方法之一对于工程中的许多场变量的定解问题通过此方法可以得到满足工程要求的近似解
专硕1516刘志强
---有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法：



工程中的问题（力学、物理）等 各种方程及相应的定解条件（边界条件及刜始条件） 线性的、边界规则的问题 精确解 解析法 非线性的、边界不规则的问题 近似解 数值分析法
---离散化是有限元方法的基础
古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了离散化的逼近方法： 即采用内接多边形和外切多边形从两个不同的方向近似描述圆 的周长或面积，当多边形的边数逐步增加时近似值将从这两个 方向逼近真解。图１－２可以用来表示这一过程。