广东省汕头市龙湖实验中学八年级数学上册《11.3.2 多边形的内角和》教案 (新版)新人教版

11.3．2 多边形的内角和
[教学目标]1、了解多边形的内角、外角等概念；2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．
[重点难点]多边形的内角和与多边形的外角和公式是重点；多边形的内角和定理的推导是难点。

[教学过程]
一、复习导入
我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？
二、多边形的内角和
〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？
A
D
B C
可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？
〔投影2〕观察下页的图形，填空：
五边形六边形
从五边形一个顶点出发可以引对角线，它们将五边形分成三角形，五边形的内角和等于；
从六边形一个顶点出发可以引对角线，它们将六边形分成三角形，六边形的内角和等于；
〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引对角线，它们将n边形分成三角形，n边形的内角和等于。

n边形的内角和等于（n一2）·180°．
从上页的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。

现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？
分法一〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。

A B C D
123
45A
B C D E
O 1234A
B C
D E O
图1 图2
分法二 〔投影4〕如图2，在边AB 上取一点O ，连OE 、OD 、OC ，则可以（5－1）个三角形。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n 边形，用同样的方法可以得到n 边形内角和＝（n 一2）×180°．
三、例题
〔投影6〕例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 如图，已知四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝180°，求∠B 与∠D 的关系．
分析：∠A 、∠B 、∠C 、∠D 有什么关系？
解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°
又∠A ＋∠C ＝180°
∴∠B ＋∠D= 360°－（∠A ＋∠C ）=180°
这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．
〔投影7〕例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？
如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．
分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边形的内角和是多少度？
1234
A
B
C
D E
F 56 解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180°
∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°
∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180° 又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°
∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°
这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n 边形可以得到同样的结果：
n 边形的外角和等于360°。

对此，我们也可以这样来理解。

〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A 出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A 点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．
四、课堂练习
课本24页练习1、2、3题。

五、课堂小结
n边形的内角和是多少度？
n边形的外角和是多少度？
作业：
25页习题11.3 第4、5、6、题。