2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级(上)期末数学试卷

2023-2024学年吉林省长春市汽开区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）2sin45°的值为（）
A．B．1C．D．
2．（3分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
3．（3分）若点A在二次函数y＝（x﹣5）2﹣4图象的对称轴上，则点A的坐标可能是（）A．（﹣5，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，﹣4）4．（3分）某学校每年抽出一部分资金购买书籍用于扩充图书室．已知2021年该学校用于购买图书的费用为10000元，2023年用于购买图书的费用增加到14400元．设该校这两年购买图书的费用的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（）
A．10000（1+x）2＝14400B．10000（1+2x）＝14400
C．10000（1+x）•2＝14400D．10000（1+x2）＝14400
5．（3分）已知点A是⊙O外一点，且⊙O的半径为6，则OA的长可能为（）A．2B．4C．6D．8
6．（3分）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD）可测量零件的内孔直径AB．若OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（）
A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm
7．（3分）如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子AB的长为10米，梯子与地面形成的夹角为∠BAC＝41°，则墙的高度BC为（）
A．10cos41°米B．10sin41°米
C．米D．米
8．（3分）如图，在圆形纸板上裁剪两个扇面．具体操作如下：作⊙O的任意一条直径FC，以点F为圆心、OF长为半径作圆，与⊙O相交于点E、A；以点C为圆心、OC长为半径作圆，与⊙O相交于点D、B；连结EF、F A、BC、CD，得到两个扇形，并裁剪下来．若⊙O的半径为10cm，则剩余纸板（图中阴影部分图形）的面积为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）关于x的方程x2﹣2x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值是．10．（3分）抛物线y＝3（x﹣2）2+9的顶点坐标为．
11．（3分）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上．若线段AB＝2cm，则线段BC＝cm．
12．（3分）如图，MN是⊙O的切线，M是切点，连结OM、ON．若∠N＝36°，则∠MON 的大小为度．
13．（3分）如图，AB为半圆O的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点P 在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q．若AB＝4，则弧BQ的长为．
14．（3分）跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小冬与小雪将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1米，并且相距4米，现以两人的站立点所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小冬拿绳子的手的坐标是（0，1）．身高1.60米的小丽站在绳子的正下方，且距y轴1米时，绳子刚好经过她的头顶．若身高1.75米的小伟站在这条绳子的正下方，他距y轴m米，为确保绳子超过他的头顶，则m的取值范围为．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）解方程：x2﹣4x+1＝0．
16．（6分）现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案均为成都第31届世界大学生夏季运动会会徽（卡片分别记为A1，A2，第三张卡片的正面图案为成都第31届世界大学生夏季运动会吉祥物“蓉宝”（卡片记为B），卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“蓉宝”
的概率．
17．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）的图象经过点（﹣1，﹣4）、（1，6），求这个二次函数的表达式．
18．（7分）在汽开区中小学科技节会场上，一架无人机进行实时航拍．如图，无人机在空中A处的飞行高度为AC，地面观测点B处观测无人机在空中A处的仰角α＝18°，已知BC＝70米，求此时无人机的飞行高度AC．（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325】
19．（7分）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC．
（2）在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD＝∠C．
（3）在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD＝∠B．
20．（7分）如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）延长ED交BA的延长线于点F．若∠F＝30°，AB＝8，则BE的长为．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（﹣1，0）和点，顶点为C．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）求顶点C的坐标．
（3）当时，直接写出x的取值范围．
22．（9分）【问题呈现】小华在一次学习过程中遇到了下面的问题：
点A为⊙O内一定点，点P为⊙O上一动点，确定点P的位置，使线段AP最长．【问题解决】以下是小华的方法：
如图①，连结AO并延长交⊙O于点P，点P为所求．
理由如下：在⊙O上取点P′（异于点P），连结AP′、OP′．
接下来只需证明AP＞AP′．
请你补全小华的证明过程．
【类比结论】点A为⊙O外一定点，点P为⊙O上一动点，设⊙O的半径为r，AO的长
（用为m，则线段AP长度的最大值为，线段AP长度的最小值为．
含r、m的代数式表示）
【拓展延伸】如图②，在半圆O中，直径AB的长为10，点D在半圆O上，AD＝6，点C在上运动，连结AC，H是AC上一点，且∠DHC＝90°，连结BH．在点C运动的过程中，线段BH长度的最小值为．
23．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝5，AC＝10，点D为边AC的中点，动点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向点C运动，点P在AB上以每秒1个单位长度的速度运动，在BC上以每秒个单位长度的速度运动，在点P运动过程中，连结PD，将△APD沿PD翻折得到△A′PD．设点P的运动时间为t秒（0＜t＜10）．（1）求BC的长．
（2）用含t的代数式表示线段BP的长．
（3）当△A′PD与△ABC相似时，求t的值．
（4）当四边形AP A′D为中心对称图形时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+n经过点A（4，﹣6）．点P是该抛物线上一点，其横坐标为m．以AP为对角线作矩形ABPC，AB⊥y轴．
（1）求抛物线所对应的函数表达式．
（2）当抛物线在矩形ABPC内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，m的取值范围为．
（3）设抛物线在矩形ABPC内部的图象（包括边界）的最高点的纵坐标与最低点的纵坐标之差为h时，求h与m之间的函数关系式．
（4）设这条抛物线的顶点为D，△APD的面积为S．当S＝6时，直接写出m的值．。