九年级数学上册第二十四章圆24.1圆的有关性质24.1.4圆周角第1课时圆周角定理及其推论教案新版新人教版

24．1.4 第1课时圆周角定理及其推论
01 教学目标
1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．
2．掌握圆周角定理及其两个推论，能在证明或计算中熟练的应用它们处理相关问题．02 预习反馈
阅读教材P85～87，完成下列问题．
1．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
2．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
3．已知，如图所示，OA，OB是⊙O的两条半径，点C在⊙O上．若∠AOB＝90°，则∠ACB 的度数为45°．
4．圆周角定理的推论：
同弧或等弧所对的圆周角相等．
半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
5．如图所示，点A，B，C在圆周上，∠A＝65°，则∠D的度数为65°．
6．如图，A，B，C均在⊙O上，且AB是⊙O的直径，AC＝BC，则∠C＝90°，∠A＝45°．
03 新课讲授
知识点1 圆周角定理
例1(教材补充例题)如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，求∠C的度数．
【解答】 ∵OA ＝OB ，∠ABO ＝25°， ∴∠BAO ＝∠ABO ＝25°. ∴∠AOB ＝130°. ∴∠C ＝1
2
∠AOB ＝65°.
【跟踪训练1】 如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，若∠ABC＋∠AOC＝90°，则∠AOC 大小为60°．
知识点2 圆周角定理的推论
例2 (教材P87例4)如图，⊙O 的直径AB 为10 cm ，弦AC 为6 cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长．
【思路点拨】 根据AB 是直径的条件，得出△ABC ，△ABD 都是直角三角形，由于Rt△ABC 中AB ，AC 已知，根据勾股定理可求出BC .进一步，因为CD 平分∠ACB ，根据圆周角定理和弧、弦、圆心角之间的关系，可知AD ＝BD ，这样，在Rt△ABD 中可求出AD 和BD 的长．
【解答】 连接OD . ∵AB 是直径，
∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°. 在Rt△ABC 中，
BC ＝AB 2－AC 2＝102－62＝8(cm)．
∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD . ∴∠AOD ＝∠BOD .∴AD ＝BD . 又在Rt△ABD 中，AD 2
＋BD 2
＝AB 2
，
∴AD ＝BD ＝22AB ＝2
2
×10＝52(cm)．
例3 (教材补充例题)如图，△ABC 的顶点都在⊙O 上，AD 是⊙O 的直径，AD ＝2，∠B ＝∠DAC ，则AC ＝1．
【归纳总结】 1.圆周角定理及其推论中的转化思想：
(1)弧是圆周角、圆心角的中介，通过弧可实现圆周角、圆心角之间的转化； (2)在同圆或等圆中，90°的圆周角和直径之间可以相互转化． 2．圆周角定理及其推论中常用的辅助线：
当题目中出现直径时，通常作出直径所对的圆周角，可得直角，然后结合直角三角形解决问题，即“见直径作直角”．
3．利用圆周角定理及其推论进行证明时常用的思路：
(1)在同圆或等圆中，若要证弧相等，则考虑证明这两条弧所对的圆周角相等； (2)在同圆或等圆中，若要证圆周角相等，则考虑证明这两个圆周角所对的弧相等； (3)当有直径时，常利用直径所对的圆周角为直角解决问题．
【跟踪训练2】 如图所示，点A ，B ，C 在⊙O 上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝30°．
【点拨】 连接OC ，构造圆心角的同时构造等腰三角形．
【跟踪训练3】 如图所示，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠ACO＝32°，则∠B＝58°．
04 巩固训练
1．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BC ︵
上一点，则圆周角∠BAC 的度数为50°．
2．如图所示，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D ，若OD ＝5 cm ，则BE ＝10__cm ．
【点拨】 利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线． 3．如图所示，在⊙O 中，∠AOB＝100°，C 为优弧AB ︵
的中点，则∠CAB 的度数为65°．
4．如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB 是劣弧AB ︵所对的圆心角，∠ACB 是劣弧AB ︵
所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB.
同理∠BOC＝2∠BAC. ∵∠AOB＝2∠BOC， ∴∠ACB＝2∠BAC.
【点拨】 看圆周角一定先看它是哪条弧所对的圆周角，再看所对的圆心角．
05 课堂小结
圆周角的定义、定理及推论．。