《大学物理》第五章 静止电荷的电场 (2)

为ρ =0.529×10-9 C/m3的正电荷。求离球
心5cm、15cm、50cm处的电场强度。
R1
O
R2
ρ
返回题号 退结出束
解: r =0.05cm
E1 .dS
q´
ε = 0
ε E2 4πr 2 = 1 0
34π(r
3 0
R13 )ρ
E2=4V/m
r =0.50cm
s
= 9.0×109×2.0×10-9
3.0×10-8 10×10-2
3.0×10-8 6×10-2
0
= -3.6×10-6 J
第五章 静止电荷的电场
§5-1 电荷 库仑定律 §5-2 静电场 电场强度 §5-3 静电场的高斯定理 §5-4 静电场的环路定理 电势 §5-5 等势面 电场强度与电势梯度的关系 §5-6 静电场中的导体
内容提要
定义 点电荷
叠加
E电 场F 强度
E点
q0
n
q
4
0
r
3
r
E Ei
电势
VA
WA q0
ε = 4π 0 ER 2 E´(R +h)2
返回题号 退结出束
大气层体积为：
V=
4π(R +h)3
3
4πR 3
3
∵R >>h ∴大气层平均电荷密度为：
ρ
ε = 0
E E´ h
=
8.85×10-12×
200 20 1.40×103
=1.14×10-12C/m3
返回题号 退结出束
5-13在半径分别为10cm和20cm的两层 假想同心球面中间，均匀分布着电荷体密度
解：(1)
E0 =0
ε U0 =
1
4π
0
q1 r
+
q2 r
+
q3 r
+
q4 r
=
4π1ε0
4q r
=
9.0×109×
4×4.0×10-9 5.0×10-2
=2.88×103 V
返回题号 退结出束
(2) A = q0(U∞ U0 ) = q0U0 =-1.0×10-9×2.88×103 V =-2.88×10-6 J
返回题号 退结出束
5-6 长为l=15cm的直导线AB上均匀地分布着线密度为 5×10-8C/m的电荷（如图），d=5cm.求：P、Q点的场强.
Q
d
A
B
x
l
d
（3）沿坐标轴投影
计算步骤：
O （1）选坐标，取任一小量dq
P
dq dx
（2）写出E的微分形式
dE 1 dx 4 0 x2
（4）各坐标轴积分，计算大小和方向
1
4 0
dx
x2 d 2
（4）各坐标轴积分，计算大小和方向
d x2 d 2
E
l 2
d
l 2
4
0
dx
3
(x2 d 2)2
d 4 0
l (1)2 d 2 2
1.5103 N / C
返回 退出
5-7解
θ dEX dE
dEx
dq
4 0R2
sinq
Rdq 4 0R2
sinq
Ex
0
R 4 0 R 2
返回题号 退结出束
已知：E = 200V/m, R = 6.37×106 m,
h =1400m, E′=20V/m
求：Q , ρ
解：(1)设地球所带的电量为Q，沿地球表面 作一Gauss面
s
E
.
dS
q
ε = 0
Q = ε 4π 0 ER 2
=
1 9×109
×200×(6.37×106)2
= 9.02×105 C
求：Φe
Φe = s E . dS
ε =Σq 0
3×10-8 = 8.85×10-12
=3.4×103 V.m
返回题号 退结出束
5-10解
en
r
E dS EdS cosq
s
s
d
q
2rdr cosq
4 0 (r 2 d 2 )
d
θ
q
R 0
4
0
q (r 2
d
2
)
2r
d dr
r2 d2
VP
1
4 0
q r
n
VP Vi
i 1
i 1
带电体
EQ
1 dq
4 0 r 3 r
高斯定理
E dS
qi
VP
dq
4 0r
环路定理 E dl 0
S
E与V的关系
0
VA
E dl
A
L
E gradV
返回 退出
dl
r
R
P
x
x
E
4
qx 0(R2
x2 )3
2
Rr
d
V
q
4π0 x2 a2
s inq dq
返回 退出
5-9 设点电荷分布的位置是：在 (0 ,0) 处为 5×10-8C 在 ( 3m,0 ) 处为 4×10-8C 以在 (0 ,4m ) 处为 -6×10-8C 计算通过以 ( 0 ,0 )为球心，半径等于5m的球面上的总 E 通量。
返回题号 退结出束
已知：q1 = 5×10-8C; q2 = 4×10-8C q3 = -6×10-8C;
ε E2
=
4π
q2 0 (BC
)2
=
9×109×(
-4.8×10-9 4.0×10-2 )
2
= -2.7×104 V/m
返回题号 退结出束
EC =
E2 1
+
E2 2
=
(1.8)2+ (2.7)2 ×104
=3.24×104 V/m
tg q
=
E1 E2
=
1.8×10 2.7×104
=
2 3
q = 33.7 0
电势分布： 导体是个等势体
7 10 14 15 24 25
返回 退出
5-1 在真空中，两个带等值同号的点电荷 相距 0.01m时的作用力为 10-5 N,它们柏距 0.1m时的作用力多大？两点电荷所带的电荷 量是多少？
返回题号 退结出束
已知:r1=0.01m, r2=0.1m F1=10-5 N
R
x
P
dE
x
Ex 2 0 [1
x] R2 x2
V ( R2 x2 x) 2 0
返回 退出
Q R
E
q
4 0R2
o V
q 4 0R
oR
Q R
E
q
4 0R2
r
oR
r
E
2 0
r
返回 退出
静电场中的导体
电场分布： E内=0
-
+
- Ei=0
+ +
-
+
-
+ +
电荷分布：
q内=0
电荷仅分布于外表面,尖 锐处的电荷密度大
A.
.B
.C
r
r
r
d/2 d/2
q1
D
q2
返回题号 退结出束
已知 r =6cm, d =8cm, q1= 3×10-8C，
求：
q2=-3×10-8C AAB, ACD 。
。
A.
.B
.C
解：(1)
r
r
r
d/2
d/2
AAB = q0(UA UB )
q1
.
D
q2
ε =
q0
4π
0
q1 r
+
r
q2 2 +d
q3=-1×10-6
q
F2
=
9×109×
1×3×10-12 4×10-4
=
67.5N
返回题号 退结出束
ε F23
=
F32 =
q2
4π
q3 0a
2
=
67.5N
ε F13
=
F31 =
q1
4π
q3 0a
2
=
67.5N
=
9×109×
1×1×10-12 4×10-4
=
22.5N
F1 = (F13)2+(F23)2 2F13 F23cos600 = 59.5 N
F2 = (F12)2+(F23)2 2F12 F23 cos600 = 67.5 N
F3 = (F31)2+(F32)2 2F31 F32 cos600= 81.1 N
q3受力最大 (2)F2 = 67.5 N
q
=
a
2
= 600
返回题号 退结出束
5-3 在正方形的两个相对的角上各放置 一点电荷Q，在其他两个相对角上各置一点 电荷q 。如果作用在Q上的力为零。求Q与 q 的关系。
求: (1) F2 ; (2) q
ε 解: (1)
q2
π F1= 4
r2
01
q2
ε π F2= 4
r2
02
F2 F1
=
r2 1
r2 2
(0.01) 2 = (0.1)2
F2 = (0(0.0.11))22×10-5=10-7N
ε (2)
F2
=
1
4π
0
q2 (0.1) 2
=10-7
解出 q =3.3×10-10C
20
E
20 5
1
4 0
dx
x2
1
4 0
1 x
5
6.67 102 N / C
方向：沿x的反方向
返回 退出
θ dE
计算步骤（：1）选坐标，取任一小量dq
dq dx
Q
（2）写出E的微分形式
d A
O
BP
dE 1
4 0
dx
2
(x)2 d 2
l
d
（3）沿坐标轴投影
dEy
1
4 0
dx
x2 d
2
cosq
(3) ΔW = W0 W∞ =2.88×10-6 J
返回题号 退结出束
5-17 如图所示，已知 r =6cm, d =8cm,
q1= 3×10-8C ，q2=-3×10-8C 。求：
(1)将电荷量为2×10-8C的点电荷从Ａ点移
到Ｂ点，电场力作功多少？
(2) 将此点电荷从C点移到D点，电场力作
功多少？
返回题号 退结出束
已知：Q, q, FQ=0 求：q , Q
Q.
q.
解：设边长为 a
ε FQ
=
qQ
4π 0a
cos45 0
2
a
a
.
.
q
Q
ε ε +
qQ
4π 0a
cos45 0
2
+
4π
Q 0(
2
2a
)2
=0
ε ε 2q Q
π 4
a2
0
2 2
=
Q2
4π 02a2
Q= 2 2q
返回题号 退结出束
5-5 在直角三角形 ABC 的 A点，放置点 电荷 q1 =1.8×10-9C、 在 B 点 放 置点电荷 q2= -4.8×10-6C、已知 BC = 0.04m，AC =0.03m。试求直角顶点C 处的场强E 。
E
3 .dS
q
ε = 0
ε E3 4πr 2 = 1 0
34π(
R3 2
R13)ρ
E3=1.05V/m
返回题号 退结出束
5-14 一个半径为R的球体内，分布着电
荷体密度ρ= kr，式中 r 是径向距离，k是
常量。求空间的场强分布，并画出E 对r 的
关系曲线。
S
E
dS
q
0
Q
R 4r2dr R kr4r 2dr
返回题号 退结出束
5-2 在边长为2cm的等边三角形的顶点
上，分别放置电荷量为q1=1.0×10-6C、 q2=3.0×10-6C、和q3=-1.0×10-6C、的点 电荷。
（1）哪一个点电荷
q 1
所受的力最大？
（2）求作用在q2上 力的大小和方向。
q
q
3
2
返回题号 退结出束
已知: a = 2cm,
返回题号 退结出束
(2)在离地面1400m处作一闭合面，设大气 层里总电量为q,
由Gauss定理： s E . dS =Qε+0q
E ´4π(R +h)2= Qε+0q 由题(1)得： Q = ε 4π 0 ER 2
q = E ´4πε0 (R +h)2 Q = E ´4πε0 (R +h)2 + 4πε0 ER 2
（1）计算 o 点处的场强和电势； （2）将一试探电荷q0 =4×10-９C从无穷远 移到 o 点，电场力作功多少？ （3）问（2）中所述过程中q0的电势能的 改变为多少？
返回题号 退结出束
已知： q1= q2= q3= q4= 4×10-9 C, d=5cm, q0= 1.0×10-9 C
求：(1)E0,U0; (2)A; (3)ΔW
q1 =1.0×10-6 C,
q2 =3×10-6 C, q3 = -1.0×10-6 C,
求: (1) F1 , F2 , F3 , (2) F2
解: (1) q1 , q2 , q3 受力方向如图
. F1
q1=1×10-6
a
.
. F3 q2=3×10-6
πε F12
=
F21 =
q1 q2
4
a2
0
A q1
q2
C
B
返回题号 退结出束
已知： q1 =1.8×10-9C,q2= -4.8×10-6C、 BC = 0.04m，AC = 0.03m。
求:Ec 。
A
ε E1
=
4π
q1 0 (AC
)2
q1
=
9×109×(
1.8×10-9 3.0×10-2
)
2
C
E2
q2 B
=1.8×104 V/m
E1
EC
2
q1 +
q2
r
2
+
d2 4
r
2
+
d2 4
= 9.0×109×2.0×10-9
3.0×10-8 6.0×10-2
+
-3.0×10-8 10×10-2
0
= 3.6×10-6 J
返回题号 退结出束
(2)
ACD = q0(UC UD )
ε =
q0
4π
0
r
q1 + 2 +d 2
q2 r
q1 d
+
q2 d
22
ρd
返回 退出
解：
E2
E1=0
d
S d1ρ
E2
ε E2S + E2S =ρd 1S 0