4.4突破训练：特殊三角形类型题举例(原卷版)-简单数学2021年中考一轮复习宝典(全国通用)

4.4突破训练：特殊三角形类型题举例类型体系（本专题共59题65页）
考点1：等腰三角形的存在性问题
典例：（2021·全国八年级）如图，在平面直角坐标系内，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在x 轴正半轴上，1OA =，点B 的坐标为()5,3，点C 在y 轴正半轴上，BC y ^轴，垂足为点C ，连接AB ，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，设点P 的横坐标为()0t t >．
（1）点A 的坐标为_________，点C 的坐标为_________；
（2）连接PB ，设PAB △的面积为S ．
①求S 与t 之间的函数关系式；②当34
S =时，求出点P 的坐标．
V是等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．
（3）点Q是直线BC上一点，当QAB
方法或规律点拨
本题为一次函数综合题，考查了分段函数，勾股定理，等腰三角形分类讨论等知识，综合性较强，解题的
关键是理解题意，根据题意全面考虑，不要漏掉所以情况．
巩固练习
1．（2018·苏州市吴江区青云中学八年级月考）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知
V为等腰三角形，则点C的个数是（）
A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得ABC
A．10B．6C．7D．8
2．（2020·新乡市·河南师大附中八年级月考）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点在格点上，若画以AB为边的等腰三角形ABC，使得点C在格点上，则点C的个数是（）
A．3B．4C．5D．8
3．（2020·江苏苏州市·八年级月考）在正方形网格中每个小正方形的边长都是1，已知线段AB，以AB为V，则顶点C共有（）个．
腰画等腰ABC
A．5个B．6个C．7个D．8个
´的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交4．（2020·湖北武汉市·八年级期末）如图，在43
V为等腰直角三角形，则格点C的个数为（）
点称为格点），若C也为该网格中的格点，且ABC
A．2B．4C．6D．8
5．（2020·浙江杭州市·九年级）如图，42
´的正方形网格中，在,,,
A B C D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）
A．1
2
B．
1
4
C．
1
3
D．
3
4
6．（2021·云南昆明市·八年级期末）如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且ABC
V为等腰三角形，则符合条件的点C有______个．
7．（2021·江西吉安市·八年级期末）如图，已知一次函数y＝﹣x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，点M在y轴上（M不与原点重合），并且使以点A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，则M的坐标为_____．
8．（2021·湖北十堰市·八年级期末）如图，已知A（1，3），在坐标轴上找点B，使△AOB为等腰三角形，符合条件的点有____个．
9．（2020·淮安市浦东实验中学八年级期中）如图，60AOB Ð=°，C 是OB 延长线上一点，若
18cm OC =，动点P 从点C 出发沿CB 以2cm/s 的速度移动，动点Q 从点O 沿OA 以1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间，当t =______s 时，POQ △是等腰三角形？
10．（2021·吉林延边朝鲜族自治州·八年级期末）在平面直角坐标系中，△ABC 的位置如图所示．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1．
（2）在坐标平面内确定点P ，使△PBC 是以BC 为底边的等腰直角三角形，请直接写出P 点坐标．
11．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）背景：在数学课堂上，李老师给每个同学发了一张边长为6cm 的正方形纸片，请同学们纸片上剪下一个有一边长为8cm 的等腰三角形，要求等腰三角形的三个顶点都落在正方形的边上，且其中一个顶点与正方形的顶点重合，最终，通过合作讨论，同学们一共提供了5种不同的剪法（若剪下的三角形全等则视为同一种）．
注：正方形的每条边都相等，每个角都等于90°．
（1）如图1是小明同学率先给出的剪法，其中,8cm,AE AF EF AEF ==V 即为满足要求的等腰三角形，则小明同学剪下的三角形纸片的面积为______．
（2）如图2是小王同学提出的另一种剪法，其中8cm AE =，且AF EF =，请帮助小王同学求出所得等腰AEF V 的腰长；
（3）请在下列三个正方形中画出其余的三种剪法，并直接写出每种剪法所得的三角形纸片的面积．（注：每种情况的图和对应的面积都正确才得分）
面积= 面积= 面积=
考点2：等边三角形的性质和判定
典例：（2020·涿州市实验中学八年级期中）在等边△ABC 中，点D 在BC 边上，点E 在AC 的延长线上，DE ＝DA （如图1）．
（1）若∠DAC ＝40°，∠BAD ＝ °，∠EDC ＝ °．
（2）猜想∠BAD 与∠EDC 的大小关系，并说明理由．
（3）点E 关于直线BC 的对称点为M ，连接DM ，AM ．
①依题意将图2补全；
②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D 运动的过程中，始终有DA ＝AM ，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明DA ＝AM ，只需证△ADM 是等边三角形；
想法2：连接CM ，只需证明△ABD ≌△ACM 即可．
请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA ＝AM （一种方法即可）．
方法或规律点拨本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、轴对称变换以及三角
形外角性质等知识的综合应用．根据题目条件构造相应的全等三角形是解第（2）题的关键．
巩固练习
1．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级开学考试）如图，O 是正ABC V 内一点，3OA =，4OB =，5OC =．将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO ¢，下列结论错误的是（ ）
A ．点O 与O ¢的距离为4
B ．150AOB Ð=°
C ．S 四边形AOBO′6=+
D ．3AOB AOC S S +=+△△2．（2020·浙江八年级期中）等边ABC V 中，7AB =，D
E 绕点D 逆时针转过60°，E 点落在BC 边的
F 处，已知2AE =，则BF =（ ）
A ．2
B ．3
C ．3.5
D ．5
3．（2021·河南九年级期末）如图，等边三角形ABC 的边长是E 是△ABC 对称轴CD 上一个动点，连接EB ，将线段BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接EF ，则在点E 运动过程中，△BEF 周长的最小值是（ ）
A ．3
B ．7
2C ．D
4．（2021·沙坪坝区·重庆八中八年级开学考试）在平面直角坐标系中，己知y 轴上一点B ，A 为x 轴上的一动点，连接AB ，以AB 为边作等边ABC V 如图所示，连接OC ，则BC OC +的最小值是________．
5．（2020·武汉市六中位育中学八年级）如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE Ð=°，则线段AE 的最大值为___________．
6．（2020·呼伦贝尔市海拉尔区南开路中学九年级月考）如图，将V ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到V AED ，若线段AB=3，则BE 的长是多少？
7．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）如图，ABC V 是等边三角形，D 是AC 上一点，延长BC 到E ，使CE AD =，连接BD ，ED ．
（1）如图，若D 是AC 的中点，直接写出BD 与DE 的数量关系是______．
（2）若D 是AC 上任意一点，判断BD 与DE 的数量关系，并画图证明．
8．（2021·广东中山市·八年级期末）已知，如图，△ABC 为等边三角形，延长△ABC 的各边，使得AE ＝CD ＝BF ，顺次连接D ，E ，F ，得到△DEF ，求证：∠DEF ＝60°．
9．（2021·辽宁鞍山市·八年级期中）如图，在等边三角形ABC 中，点D 为BC 边上一点，DE//AB ，过D 作DF ⊥DE 交AB 于点F ，且∠EFD ＝60°，CN 平分∠ACB ，CN 分别交DE 、EF 于M 、N 两点．（1）求证：△CEN ≌△EDF ；
（2）求证：点N 为线段EF 中点．
10．（2020·福建厦门市·厦门双十中学九年级期中）如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，
AB BC ==，将ABC D 绕点C 逆时针旋转60°得到MNC D ，连接BM ，
（1）BCM Ð= ，连接BN ，则BN 的长是 ．
（2）求证：AC BM ^（3）连接AN ，求AN 的长．
11．（2021·河北廊坊市·八年级期末）如图1，ABD △是等边三角形，点P 为射线AB 上一动点，连接DP ，作60Ð=Ð=°DPE DAB ，PE 交射线DA 于点E ，点O 是线段AE ，PE 垂直平分线的交点．
（1）当点O 在AB 边上时，Ð=ADP ______．
（2）①当点P ，B 重合时，作^¢AO DE ，交PE 的垂直平分线于点O ¢，则Т=O PD ______．②当点P 在线段AB 上，或AB 的延长线上时，OPD Ð的度数是否为定值？若是，请写出这个数，并选择点P 在线段AB 上时，通过计算进行说明；若不是，请说明理由．
（3）如图2，把等边三角形ABD △沿着BD 折叠，得到BDC V ，且点A 落在点C 处，连接AC ．当//PE AC 时，证明AP 平分DPE Ð，并在DPE V 内确定一点T ，使点T 到DPE V 三边的距离相等（不写作法，只保留作图痕迹）．
考点3：等腰三角形的性质
典例： （2021·天津滨海新区·八年级期末）在ABC V 中，AC BC =，90ACB Ð=°，AE 平分BAC Ð交BC 于点E ，BD AE ^交AE 延长线于点D ，连接CD ，过点C 作CF CD ^交AD 于F ．
（1）如图①，①求EBD Ð的度数；
②求证：AF BD =；
（2）如图②，DM AC ^交AC 的延长线于点M ，探究AB AC AM 、、之间的数量关系，并给出证明．
方法或规律点拨
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
巩固练习
1．（2019·江苏镇江市·九年级月考）如图，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，连接AO ，若∠B =60°，则∠OAC =____°．
2．（2021·安徽淮南市·九年级月考）如图，在ABC V 中，AD 和BE 是高，45ABE Ð=°，点F 是AB 的中点，AD 与FE 、BE 分别交于点G 、H ，CBE BAD Ð=Ð．有下列结论：①FD FE =；②2AH CD =；③22BC AD AE ×=；④2DFE DAC Ð=Ð．其中正确的是__________．
3．（2021·广西河池市·八年级期末）如图，在等腰直角ABC V 中，90ACB Ð=°，O 是斜边AB 的中点，点D ，E 分别在直角边AC ，BC 上，且90DOE Ð=°，若3AC =，则AD BE +=_____．
4．（2021·云南红河哈尼族彝族自治州·八年级期末）如图：在ABC V 中，,AB AC AB =的垂直平分线DE 交AC 于D ，交AB 于,50E ADE Ð=°，则B Ð=______．
5．（2021·天津滨海新区·八年级期末）如图，AB =AC ，BD ⊥AC 于点D ，点E ，F 分别为AB ，BD 上的动点，且AE =BF ，∠DBA =34°．
（1）CE 与BD 的大小关系______（填“≥”或“≤”）；
（2）当CE +AF 取得最小值时，∠BEC 的度数是__________．
6．（2019·江苏镇江市·九年级月考）如图，以□ABCD 的顶点A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交AD ，BC 于点E ，F ，延长BA 交⊙A 于点G ．
（1）求证： GE EF =；
（2）若 BF
的度数为50°，求∠C 的度数．
7．（2021·湖北襄阳市·八年级期末）在平面直角坐标系中，点A 的坐标是(0,)a ，点B 的坐标(,0)b 且a ，b 满足2
12360a a a b -++-=．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）如图（1），点C 为x 轴负半轴一动点，OC OB <，BD AC ^于D ，交y 轴于点E ，求证：OD 平分CDB Ð．
（3）如图（2），点F 为AB 的中点，点G 为x 正半轴点B 右侧的一动点，过点F 作FG 的垂线FH ，交y 轴的负半轴于点H ，那么当点G 的位置不断变化时，AFH FBG S S -△△的值是否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果．
考点4：最短路径的计算
典例：（2021·全国八年级）如图，长方体的长AB =5cm ，宽BC =4cm ，高AE =6cm ，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度从点A 出发到点G 处．蚂蚁甲的行走路径S 甲为：翻过棱EH 后到达G 处（即
A →P →G ），蚂蚁乙的行走路径S 乙为：翻过棱EF 后到达G 处（即A →M →G ），蚂蚁丙的行走路径S 丙为：翻过棱BF 后到达G 处（即A →N →G ）．
（1）求三只蚂蚁的行走路径S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是多少？
（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？
方法或规律点拨
此题考查勾股定理的实际应用，立方体的平面展开图，正确理解题意，确定每只蚂蚁所走的路径构建直角三角形是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·山东烟台市·七年级期末）如图，圆柱形玻璃杯高为11cm ，底面周长为30cm ，在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计（ ）
A ．12cm
B ．17cm
C ．20cm
D ．25cm
2．（2021·河南周口市·八年级期末）如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A 处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A 的相对方向有一小虫P ，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A 处的最短距离是（ ）
A 厘米
B ．10厘米
C ．厘米
D ．8厘米
3．（2021·四川资阳市·八年级期末）如图，小彬到雁江区高洞产业示范村参观，看到一个贴有大红“年”字的圆柱状粮仓非常漂亮，回家后小彬制作了一个底面周长为10cm ，高为5cm 的圆柱粮仓模型．如图BC 是底面直径，AB 是高．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A ，C 两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A ．10πcm
B ．20πcm
C ．cm
D ．cm
4．（2021·贵州毕节市·八年级期末）如图，已知圆柱体底面圆的半径为a
p ，高为2,AB CD 、分别是两底面
的直径，,AD BC 是母线．若一只蚂蚁从A 点出发，从侧面爬行到C 点，则蚂蚁爬行的最短路线的长度是_____．（结果保留根式）
5．（2020·广东深圳市·新安中学（集团）八年级期中）如图，教室的墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上．若5PA AB ==米，点P 到AD 的距离是3米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是______米．
6．（2020·四川成都市·八年级期中）如图，长方体盒子的长为15cm ，宽为10cm ，高为20cm ，点B 距离C 点5cm ，一只蚂蚁如果要沿着盒子的表面从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是________cm ；若从C 处向盒子里装插入一根吸管，要使吸管不落入盒中，吸管应不少于_______cm ．
考点5：勾股定理在折叠问题中的应用
典例：（2020·江苏苏州市·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C 落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．
（1）当点E与A重合时，则BD= ；
（2）连接CD，当∠CEF=∠B时，求BD的长；
（3）在（2）条件下，求证：CE2+CF2=AE2+BF2．
方法或规律点拨
本题主要考查了折叠的性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质，难度适中，运用数形结合的思想是解题的关键．
巩固练习
1．（2021·吉林长春市·八年级期末）教材呈现：下图是华师版八年级上册数学教材111页的部分内容．
()1请根据教材内容，结合图①，写出完整的解题过程．
()2拓展：如图②，在图①的ABC
V沿CD翻折，使点B的
V的边AB上取一点D，连接CD，将ABC
对称点E落在边AC上．
①求AE的长．
②DE的长．
2．（2020·成都双流中学实验学校八年级月考）如图，已知长方形ABCD 中，AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求EF 的长．
3．（2020·吉林长春市·八年级期末）已知长方形纸片ABCD ，将长方形纸片按如图所示的方式折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ．
（1）△BEF 是等腰三角形吗？若是，请说明理由；
（2）若AB =4，AD =8，求BE 的长．
4．（2020·陕西西安市西光中学八年级期中）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm AC =，8cm BC =，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？
5．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，9,3AD AB ==．将其折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C ¢处，折痕EF 交AD 于点E ，交BC 于点F ．
（1）求线段BE的长．
（2）求线段BF的长．
V的直角边BC上的一点，6．（2020·四川省成都市第八中学校八年级月考）如图，点E是等腰直角ABC
AB=．
AE的中垂线分别交AB，AE，AC于点D，P，F，且2
Ð的度数．
（1）求DEF
（2）若BE=，求AD的长．
Ð，则：
（3）若AE平分BAC
①判断线段EF与BE的位置关系并证明．
②求出BE的长．
7．（2020·洛阳市第五中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD DA＝1，且∠B＝90°．求：
（1）∠BAD的度数；
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）；
（3）将△ABC沿AC翻折至△AB′C，如图所示，连接B′D，求四边形ACB′D的面积．
考点6：勾股定理逆定理的拓展应用
典例：（2020·青海海东市·八年级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2>b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2<b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例
如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，62＝36<42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x ，且这个三角形是直角三角形，则x 的值为 ．
（3）若一个三角形的三边长为a b ，c ，其中a 是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程．
方法或规律点拨
本题考查了勾股定理及逆定理和材料问题，熟练掌握勾股定理的逆定理，并能计算推理论证是解决问题的关键．
巩固练习
1．（2020·景县第二中学八年级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，尽在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”．如3,4,5;5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41：等等都是勾股数．（探究1）
（1）如果a b c 、、是一组勾股数，即满足222+=a b c ，则(ka kb kc k 、、为正整数）也是一组勾股数．如；3,4,5是一组勾股数，则__ _也是一组勾股数；
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，毕达哥拉斯学派就曾提出
2221,22,22(1a n b n n c n n n =+=+=++公式为正整数）是一组勾股数，证明满足以上公式的,,a b c 是一组勾股数；
（3）值得自豪的是，世界上第一次给出的勾股数公式，收集在我国的《九章算术》中， 书中提到：当()2212
a m n =-，()221,(2
b mn
c m n m n ==+、为正整数，m n >）时，,,a b c 构成一组勾股数；请根据这一结论直接写出一组符合条件的勾股数___ ．（探究2）
观察3,4,5;5,12,13;7,24,25；…，可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且勾为
3时股()14912=´-，弦()15912=´+；勾5为时，股()1122512=´-，弦()1132512
=´+；请仿照上面两组样例，用发现的规律填空：
（1）如果勾为7，则股24=___ _；弦25=___ _；
（2）如果用,(3n n ³且n 为奇数)表示勾，请用含有n 的式子表示股和弦，则股=___ ；弦=__ _；
（3）观察4,3,5;6,8,10;8,15,7;; ,,82l a b ¼；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．
b =①_；
②请你直接用(m m 为偶数且4m ≥）的代数式表示直角三角形的另一条直角边_
；和弦的
长_ _．2．（2020·焦作市第十八中学八年级月考）如图所示，等腰三角形ABC 的底边为8cm ，腰长为5cm ．（1）求BC 边上的高线AD ．
（2）一动点P 在底边上从B 向C 以0.25cm/s 的速度移动，请你探究：当P 运动几秒时，P 点与顶点A 的连线PA 与腰垂直？
3．（2020·宁波市镇海区仁爱中学八年级期中）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
（1）下列四边形是勾股四边形的有　
　．（填序号）
①长方形；②平行四边形；③正方形；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O （0，0），A （0，4），B （3，0），请你直接写出所有以格点为顶点，OA 、OB 为勾股边且有对角线相等的勾股四边形OAMB 的顶点M 的坐标____________
（3）如图2，将△ABC 绕顶点B 按顺时针方向旋转60°，得到△DBE ，连接AD 、DC ，已知∠DCB ＝30°．求证：四边形ABCD 是勾股四边形．
4．（2020·江苏南京市·八年级期末）在5×5的方格纸中，每个小正方形的边长为1，我们把三个顶点都是格点的三角形称为格点三角形．按要求完成下列问题：
（1）在图①中，以AB 为边画一个格点三角形，使其为等腰三角形；
（2）在图②中，以AB 为边画一个格点三角形，使其为钝角三角形且周长为6＋；
（3）如图③，若以AB 为边的格点三角形的面积为3，则这个三角形的周长为 ．
5．（2020·全国八年级单元测试）阅读：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．
解：因为a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，①
所以c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）．②
所以c 2＝a 2+b 2．③
所以△ABC 是直角三角形．④
请据上述解题回答下列问题：
（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ；
（2）请你将正确的解答过程写下来．
6．（2019·重庆北碚区·西南大学附中八年级期中）勾股定理是一个基本的几何定理，早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫“整数直角三角形”；这三个整数叫做一组“勾股数”，如：3，4，5；5，12，13；7，24，25；8，15，17；9，40，41等等都是勾股数．
（1）小李在研究勾股数时发现，某些整数直角三角形的斜边能写成两个整数的平方和，有一条直角边能写成这两个整数的平方差．如3，4，5中，5＝22+12，3＝22﹣12；5，12，13中，13＝32+22，5＝32﹣22；请证明：m ，n 为正整数，且m ＞n ，若有一个直角三角形斜边长为m 2+n 2，有一条直角长为m 2﹣n 2，则该直角三角形一定为“整数直角三角形”；
（2）有一个直角三角形两直角边长分别为和，斜边长a 和b 均为正整数，用含b 的代数式表示a ，并求出a 和b 的值；
（3）若c 1＝a 12+b 12，c 2＝a 22+b 22，其中，a 1、a 2、b 1、b 2均为正整数．证明：存在一个整数直角三角形，其斜边长为c 1•c 2．
7．（2019·沈阳市第二十八中学八年级月考）在ABC V 中，AB 、BC 、AC 、
，求这个三角形的面积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC V （即ABC V 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC V 的高，而借用网格就能计算出它的面积．
（1）请你将ABC V 的面积直接填写在横线上．__________________
（2）我们把上述求ABC V 面积的方法叫做构图法．若ABC V 、（0a >），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC V ，并求出它的面积．
（3） 若△ABC (m ＞0，n ＞0，且m≠n)，请利
用图③的长方形网格试运用构图法求出这三角形的面积．
8．（2020·山东东营市·七年级期末）问题情境：已知Rt△ABC的周长为30，斜边长c=13，求△ABC的面积．、
解法展示：设Rt△ABC的两直角边长分别为a，b，则a+b+c=①______，
因为c=13，所以a+b=②______，
所以（a+b）2=③______，所以a2+ b2+④_____=289．
因为a2+b2=c2，所以c2+2ab=289，
所以⑤______+2ab=289，所以ab=⑥______（第1步），
所以△ABC的面积=1
2
ab=
1
2
×⑦______=⑧______（第2步）．
合作探究：(1)对解法展示进行填空．
(2)上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是______（填序号）．
①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想．
方法迁移：
(3)已知一直角三角形的面积为24，斜边长为10，求这个直角三角形的周长．。