2021-2022学年广西壮族自治区柳州市第一外国语实验中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年广西壮族自治区柳州市第一外国语实验中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 一个扇形的面积是1，它的周长是4，则弦的长是（）
A. 2
B.2sin1
C. sin1
D. 2sin2
参考答案：
B
2. 若复数（为虚数单位)，是z的共轭复数，则在复平面内，复数对应的点的坐标为（） A． B． C． D．
参考答案：
C
略
3. 不等式的解集为
A． B． C． D．
参考答案：
A
略
4. 若抛物线y2=8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）
A．（7，±）B．（14，±）C．（7，±2）D．（﹣7，±2）
参考答案：
C
【考点】抛物线的简单性质．【分析】设P的坐标为（m，n），根据抛物线的定义得m+2=9，解出m=7，再将点P（7，n）代入抛物线方程，解之可得n=±2，由此得到点P的坐标．
【解答】解：设P（m，n），则
∵点P到抛物线y2=8x焦点的距离为9，
∴点P到抛物线y2=8x准线x=﹣2的距离也为9，可得m+2=9，m=7
∵点P（7，n）在抛物线y2=8x上
∴n2=8×7=56，可得n=±2，
因此，可得点P的坐标为（7，±2），
故选C．
【点评】本题给出抛物线上一点P到焦点的距离，求点P的坐标，着重考查了抛物线的标准方程和简单几何性质的知识，属于基础题．
5. 从0到9这十个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，则这个数不能被3整除的概率是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
6. 已知x与y之间的一组数据
则y 与x的线性回归方程=bx+必过点（）
A ．（2，2）B．（1.5，4）C ．（1.5，0）D．（1，2）
参考答案：
B
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．
【解答】解：由题意， =（0+1+2+3）=1.5， =（1+3+5+7）=4
∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）
故选：B．
【点评】本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点．
7. 的内角对边分别为，若
，则等于
A．30°B．60°
C．120°D．150°
参考答案：
A
略
8. 水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面的容器中，则此容器里水的高度与时间t 的函数关系图象是（）
参考答案：
C
9. 已知函数，且，则等于（）
A． B． C．D．
参考答案：
A
10. 设是定义在上的奇函数，且，则（）A．－1 B．－2 C．1 D．2
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知，则_________.
参考答案：
5
【分析】
求导可得，令，则，即可求出，代入数据，即可求的值。

【详解】，
令，得，则，
故，．
【点睛】本题考查基本初等函数的求导法则，属基础题。

12. 同时掷四枚均匀的硬币，有三枚“正面向上”的概率是____________.
参考答案：
13. 设变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y
的最小值为．
参考答案：
﹣5
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：
由z=x﹣2y得y=x﹣，
平移直线y=x﹣，
由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，
直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，
由得A（﹣1，2），
代入目标函数z=x﹣2y，
得z=﹣1﹣4=﹣5．
∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．
故答案为：﹣5．
14. 直线l过点（0，﹣1），且与直线3x﹣y+2=0平行，则直线l方程为．
参考答案：
3x﹣y﹣1=0
【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．
【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆．
【分析】设与直线3x﹣y+2=0平行的直线方程是3x﹣y+m=0，把点（0，﹣1）代入解得m即可得出．【解答】解：设与直线3x﹣y+2=0平行的直线方程是3x﹣y+m=0，
把点（0，﹣1）代入可得：0﹣（﹣1）+m=0，解得m=﹣1．
∴要求的直线方程为：3x﹣y﹣1=0．
故答案为：3x﹣y﹣1=0．
【点评】本题考查了相互平行的直线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15. 6人站在一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为（）
A .
B . C. D. 4!3!
参考答案：
D
16. 函数的最小正周期是______，值域是______．
参考答案：
(1). (2).
【分析】
利用二倍角公式将函数化为，根据余弦型函数周期性和值域得到结果.
【详解】
的最小正周期；值域为：本题正确结果：；
【点睛】本题考查余弦型函数的最小正周期和值域的求解，关键是能够将已知函数化为余弦型函数的形式.
17. 函数的图像如图所示，在区间上可找到个不同的数使得
则的取值集合是
参考答案：
{2,3,4}
三、
解答题：本大题共5
小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 在长方形中，分别是的中点（如下左图）．将此长方形沿
对折，使平面⊥平面（如下右图），已知分别是，的中点．（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面⊥平面.
参考答案：
.解：（1）取的中点F,连结
即四边形为平行四边形,
………………………4分
（2）依题意：,
由面面垂直的性质定理得
……………………6分
平面A1BE⊥平面
AA1B1B. ……………………8分19. （14分）已知过点P（﹣3，0）且倾斜角为30°的直线和曲线C：（θ为参数）相交于A，B两点．
（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；
（2）求线段AB的长．
参考答案：
20. 已知函数f（x）=xlnx+2，g（x）=x2﹣mx．
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）若存在使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，求实数m的取值范围．参考答案：
【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（2）求出f'（x）=lnx+1，推出单调区间，然后求解函数的最小值．
（3）存在x0∈[，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，转化为存在x0∈[，e]使得
m≤
（）max成立，令k（x）=，x∈[，e]，求出函数的导数，通过判断导函数的符号，求出最大值，
【解答】解：（1）由已知f（1）=2，f′（x）=lnx+1，则f′（1）=1，
所以在（1，f（1））处的切线方程为：y﹣2=x﹣1，即为x﹣y+1=0；
（2）f'（x）=lnx+1，
令f'（x）＞0，解得x＞；令f'（x）＜0，解得0＜x＜，
∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，
若t≥，则f（x）在[t，t+2]递增，
∴f（x）min=f（t）=tlnt+2；
若0＜t＜，则f（x）在[t，）递减，在（，t+2]递增，
∴f（x）min=f（）=2﹣．
（3）若存在x0∈[，e]使得mf'（x）+g（x）≥2x+m成立，
即存在x0∈[，e]使得m≤（）max成立，
令k（x）=，x∈[，e]，则k′（x）=，
易得2lnx+x+2＞0，
令k'（x）＞0，解得x＞1；令k'（x）＜0，解得x＜1，
故k（x）在[，1）递减，在（1，e]递增，
故k（x）的最大值是k（）或k（e），
而k（）=﹣＜k（e）=，
故m≤．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调区间的求法，考查转化思想以及计算能力．21. 已知函数,.
(1)求函数的极值；(2)若恒成立,求实数的值；
(3)设有两个极值点、(),求实数的取值范围,并证明
.
参考答案：
（1）的定义域是，.
,故当x=1时，G（x）的极小值为0.
（2）令，则．
所以即恒成立的必要条件是，
又，由得：．
当时，，知，
故，即恒成立．
（3）由，得
．
有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，即：
，解得．
由，得，其中.
所以．
设，得，
所以，即．
22. (本小题满分12分)
如图5，已知平面∩平面=AB，PQ⊥于Q，PC⊥于C，CD⊥于D．（Ⅰ）求证：P、C、D、Q四点共面；
（Ⅱ）求证：QD⊥AB．
参考答案：。