初中数学知识点总结反比例函数的应用

初中数学知识点总结反比例函数的应
用
初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇一」
—正比例函数公式
正比例函数要领：一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如
y=kx(k为常数，且k≠0)的函数，那么y就叫做x的.正比例函数。

正比例函数的性质
定义域：R(实数集)
值域：R(实数集)
奇偶性：奇函数
单调性：
当>0时，图像位于第一、三象限，从左往右，y随x的增大而增大(单调递增)，为增函数;
当k<0时，图像位于第二、四象限，从左往右，y随x的增大而减小(单调递减)，为减函数。

周期性：不是周期函数。

对称性：无轴对称性，但关于原点中心对称。

图像：
正比例函数的图像是经过坐标原点(0，0)和定点(1，k)两点的一条直线，它的斜率是k，横、纵截距都为0。

正比例函数的图像是一条过原点的直线。

正比例函数y=kx(k≠0)，当k的绝对值越大，直线越“陡”;当k的绝对值越小，直线越“平”。

正比例函数求法设该正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)，将已知点的坐标代入上式得到k，即可求出正比例函数的解析式。

另外，若求正比例函数与其它函数的交点坐标，则将两个已知的函数解析式联立成方程组，求出其x，y值即可。

正比例函数图像的作法
1、在x允许的范围内取一个值，根据解析式求出y的值;
2、根据第一步求的x、y的值描出点;
3、作出第二步描出的点和原点的直线(因为两点确定一直线)。

温馨提示：正比例函数属于一次函数，但一次函数却不一定是正比例函数。

初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇二」
反比例函数的定义
定义：形如函数y=k/x(k为常数且k≠0)叫做反比例函数，其中k叫做比例系数，x是自变量，y是自变量x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数。

反比例函数的性质
函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量。

1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

3.x的取值范围是：x≠0;
y的取值范围是：y≠0。

4.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。

反比例函数的一般形式
(k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。

其中，x是自变量，y是函数。

由于x在分母上，故取x≠0的一切实数，看函数y的取值范围，因为k≠0，且x≠0，所以函数值y也不可能为0。

补充说明：1.反比例函数的解析式又可以写成： (k是常数，k≠0)。

2.要求出反比例函数的解析式，利用待定系数法求出k即可。

反比例函数解析式的特征
⑴等号左边是函数，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数(也叫做比例系数)，分母中含有自变量，且指数为1。

⑵比例系数
⑶自变量的取值为一切非零实数。

⑷函数的取值是一切非零实数。

初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇三」
比例知识点总结
第三单元比例
知识点一：图像的放大和缩小
理解掌握：把图形按1：n的比缩小，就是把图形的每条边都放大到原来的
1/n;
把图形按n：1的比放大，就是把图形的每条边都缩小到原来的n倍。

知识点二：比例的意义
理解掌握：1、比例：表示两个比相等的式子。

任何一个比例都是由两个内项和两个外项组成。

2、比和比例的'区别：(1)比是表示两个数相除的关系。

比例是表示两个比相等的关系。

(2)比由两项组成(前项、后项)。

比例由四项组成(两个内项、两个外项)。

知识点三：应用比的含义组成比例
理解掌握：判断两个比能否组成比例，关键要看它们的比值是否相等。

若比值相等，则能组成比例;若比值不想等。

则不能组成比例。

知识点四：比例的基本性质
理解掌握：比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

若a:b=c:d，那么ad=bc。

若用分数表示比a/b=c/d，那么ad=bc。

------十字交叉法
知识点五：解比例
理解掌握：解比例的依据是比例的基本性质，已知比例中的任意三项，就可以求出另外一项。

例1： 5:8=x:16 1/9 : 1/4 =x:18
8x=516 4:9 =x:18
x=10 9x =418
x =8
知识点六：用比例解应用题
解题方法：审题列出比例等量关系式------设未知数列出比例方程------解比例并检验写答
例1：A、B两种商品的价格比是5：3，如果它们的价格分别上涨了420元后，价格比是6：5。

那么A商品原来多少元? 解析：本题中告诉我们A、B两种商品涨价前后的价格比，利用比例的基本性质可以得到等量关系是：
(A商品原来的价格+420元)：(B商品原来的价格+420元)=6：5
利用比例基本性质，设A商品原来的价格是5x元，B商品原来的价格是3x元
列出比例方程(5x+420)：(3x+420)=6：5
(5x+420)5 =(3x+420)6------比例基本性质
25x+2100 =18x+2520------乘法分配率
25x-18x =2520-2100------等式基本性质
x =60
560=300元答：A商品原来300元。

知识点七：比例尺的意义
理解掌握：比例尺就是图上距离与实际距离的比。

图上距离是比的前项，实际距离是比的后项，比例尺是一个最简单的整数比。

相关公式：(1)比例尺=图上距离实际距离
(2)图上距离=比例尺实际距离
(3)实际距离=图上距离比例尺
知识点八：比例尺的应用
理解掌握：(1)注意比例尺的前后单位是否统一。

一般比例尺的单位是厘米，而题目往往会给出以千米做单位的比例尺。

如1：40千米=1：4000000厘米
(2)因为图上距离是比例的前项，实际距离是比例的后项，所以当比例尺的图上距离大于实际距离时，表示设计图纸大于实际物体，如比例尺是10：1(经常在精密仪器、化学领域中出现);当比例尺的图上距
离小于实际距离时，表示设计图纸小于实际物体，如比例尺1：100(比如设计一栋教学楼)。

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初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇四」
一、背景分析
1. 对教材的分析
本节课讲述内容为北师大版教材九年级下册第五章《反比例函数》的第二节，也这一章的重点。

本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上，进一步熟悉其图象和性质的过程。

本节课前一课时是在具体情境中领会反比例函数的意义和概念。

函数的性质蕴涵于概念之中，对反比例函数性质的探索是对其内在规定性的的认识，也是对函数的概念的深化。

同时，本节课也是下一节课《反比例函数的应用》的基础，有了本节课的知识储备，便于学生利用函数的观点来处理问题和解释问题。

传统教材在内容和编写意图的比较：传统教材里反比例函数的内容仅有一节，新教材里反比例函数的内容增加至一章。

本节课中的作函数图象的要求在新旧教材中并不一样，旧教材对画图只是一带而过，而新教材中让学生反复作反比例函数的图象，为下一步性质的探索打下良好的基础。

因为在学生进行函数的列表、描点作
图是活动中，就已经开始了对反比例函数性质的探索，而且通过对函数的三种表示方式的整和，逐步形成对函数概念的整体性认识。

在旧教材中对反比例函数性质只是简单观察以后，由老师讲解得到，但是在新教材中注重从操作、观察、概括和交流这些数学活动中得到性质结论，从而逐步提高从函数图象中获取信息的能力。

这也充分体现了重视获取知识过程体验的新课标的精神。

(1) 教学目标：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象;体会函数三种方式的相互转换，对函数进行认识上的整和;逐步提高从函数图象中获取知识的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质。

(2) 重点：会作反比例函数的图象;探索并掌握反比例函数的主要性质。

(3) 难点：探索并掌握反比例函数的主要性质。

2、对学情的分析
九年级学生在前面学习了一次函数之后，对函数有了一定的认识，虽然他们在小学已经接触了反比例，但都处于浅显的、肤浅的知识表面，这对于他们理解反比例函数的图象与性质没有多大的帮助，但由于本节课采用Z+Z智能教育平台进行教学，比较形象，便于学生接受。

教学过程
一、忆一忆
师：同学们还记得我们在学习一次函数时，是怎么作出一次函数图象的吗?一次函数的图象是什么图形?
生：作一次函数的图象要采用以下几个步骤：(1)列表(2)描点(3)连线。

生乙：一次函数的图象是一条直线。

师：大家说的很好，看来大家对过去的知识掌握的很牢固，那么同学们想一下，y=4/x 是什么函数?
生：反比例函数。

师：你们能作出它的图象吗?
生：可以。

点评：复习旧知识，让学生感受到新旧知识的联系，并为后面的作反比例函数的图象做好准备。

二、作图象，试比较
师：请填写电脑上的表格，并开始在坐标纸上描点，连线。

师：再按照上述方法作y=-4/x的图象。

(学生动手操作)
师：下面大家分小组讨论：对照你们所作出的两个函数图象，找出它们的相同点与不同点。

(学生讨论交流，教师参与)
师：讨论结束，下面哪个小组的同学说说你们的看法?
生1：它们的图象都是由两支曲线组成的。

生2：y=4/x 的图象的两条曲线分布在一、三象限内，而y=-4/x 的图象的两支曲线分布在二、四象限内。

点评：这里让学生自己上台操作，既培养了学生的动手能力，又可以激发学生学好数学的兴趣。

三、细观察，找规律
师：大家都说得很好，下面我们一起观察反比例函数 y=k/x的图象，当k的发值生变化时，函数的图象发生了怎样的变化，并分小组讨论有什么规律。

(展示图象，让学生观察y=k/x 的图象，按下动画按钮，在运动中观察值的变化与函数的图象变化之间的关系，并与同学们充分讨论)
师：请同学们谈一谈刚才讨论的结果。

生：我发现函数图象的变化与k 的值有关：当 k>0 时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当 k<0 时，在每一象限内，y随x 的增大而增大。

师：看来大家都经过了认真的思考和讨论，对规律总结的也比较完整，下面我们一起把刚才两个环节的知识点一起总结一下。

(1)反比例函数y=k/x的图象是由两支曲线所组成的。

(2)当 k>0时，两支曲线分别在一、三象限;当k<0时，两支曲线分别在二、四象限。

(3)当k>0 时，在每一象限内，y随x的增大而减小，当k<0时，在每一象限内，y随x 的增大而增大。

师：如果我们将反比例函数的图象绕原点旋转180后，你会发现什么现象?这说明了什么问题?
(由学生在电脑上进行操作)
生：我发现旋转后的图象与原图象完全重合了，这说明反比例函数的图象是一个中心对称图形。

师：大家做得很好。

那么，如果我们在图象上任取A、B两点，经过这两点分别作轴、轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积分别为S1、S2，观察两个矩形面积的变化情况，并找出其中的变化规律。

题目：(1) 拖动k，使k变化，观察k不断变化过程中，矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

(2) 拖动函数上的点，观察矩形面积的变化情况，讨论得出结论。

生：我们发现，在同一个反比例函数中，不管k 值怎么变化，矩形的面积始终不变。

师：大家的观察很仔细，总结得也很正确。

点评：在这个环节中，既让学生动手操作，又让他们分组交流，这样既培养了他们的动手能力，又增强了他们的团结合作的意识。

结论主要有学生来发现，体现了新课程理论的精神。

四、用规律，练一练
1、课本137页随堂练习1
生：第一幅图是 y=-2/x的图象，因为在这里的 k<0，双曲线应在第二、四象限。

2、下列函数中，其图象唯一、三象限的有哪几个?在其图象所在象限内，的值随的增大而增大的有哪几个?
(1) y=1/(2x)(2)y=0.3/x(3)y=10/x(4)y=-7/(100x)
生：其中(1)(2)(3)的图象在一、三象限;(4)的图象在每一象限内，y 随x 的增大而增大。

初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇五」
1、比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。

如：2：1=6：3
2、组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

3、比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

例如：由3：2=6：4可知3×4=2×6；或者由x×1.5=y×1.2可知x：y=1.2：1.5。

4、解比例：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

例如：3：x=4：8。

解：4x=3×8
x=6。

4、成正比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

用字母表示y/x=k(一定）例如：
速度一定，路程和时间成正比例；因为：路程÷时间=速度（一定）。

圆的周长和直径成正比例，因为：圆的周长÷直径=圆周率（一定）。

圆的面积和半径不成比例，因为：圆的面积÷半径=圆周率和半径的积（不一定）。

y=5x，y和x成正比例，因为：y÷x=5（一定）。

每天看的页数一定，总页数和天数成正比例，因为：总页数÷天数=每天看页数（一定）。

5、成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k(一定)例如：
路程一定，速度和时间成反比例，因为：速度×时间=路程（一定）。

总价一定，单价和数量成反比例，因为：单价×数量=总价（一定）。

长方形面积一定，它的.长和宽成反比例，因为：长×宽=长方形的面积（一定）。

40÷x=y，x和y成反比例，因为：x×y=40（一定）。

煤的总量一定，每天的烧煤量和烧的天数成反比例，因为：每天烧煤量×天数=煤的总量（一定）。

6、比例尺
图上距离：实际距离=比例尺；
例如：图上距离2cm，实际距离4km，则比例尺为2cm：4km，最后求得比例尺是1：20xx00。

实际距离=图上距离÷比例尺；
例如：已知图上距离2cm和比例尺，则实际距离为：
2÷1/20xx00=400000cm=4km。

图上距离=实际距离×比例尺；
例如：已知实际距离4km和比例尺1：20xx00，则图上距离为：
400000×1/20xx00=2（cm）
图形的放大与缩小：图形的各边按相同的比放大或缩小。

例：按2：1放大图形。

7、用比例解决问题：
例1：张大妈家上个月用了8吨水，水费是12.8元。

李奶奶家用了十吨水，李奶奶家上个月水费是多少元？
因为每吨水的价钱一定，所以水费和用水的吨数成正比例，也就是说，两家水费和用水吨数的比值相等。

解：设李奶奶家上个月的水费是x元。

12.8 : 8=x : 10
8x =12.8×10
初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇六」
若k为常数，则函数y=k/x就是反比例函数，自变量和自变量的函数分别是x 和y，又因为反比例函数式本身是一个分数，所以x可以是任意不等于0的实数。

同时，函数式有时候也写成y=k·x^（-1）或者k=xy.反比例和正比例函数以及一次函数等都是二次函数的基础，它们的应用一样广泛，所以不要轻视反比例函数。

那么，怎样学好反比例函数？其实反比例函数不难，只要能理清思路，把反比例函数知识点理清，把反比例函数图像理解透彻，一切是那么容易，总之，只要你能熟练数形结合，任何函数学习都会轻松很多。

步骤/方法以下是反比例函数知识点总结
1、反比例函数的表达式
X是自变量，Y是X的函数
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）（即：y等于x的`负一次方，此处X必须为一次方）
y=kx(k为常数且k≠0，x≠0）若y=k/nx此时比例系数为：k/n
2、函数式中自变量取值的范围
①k≠0；②在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；
③函数y的取值范围也是任意非零实数。

解析式y=k/x其中X是自变量，Y是X的函数，其定义域是不等于0的一切实数
y=k/x=k·1/x
xy=k
y=k·x^（-1）
y=kx(k为常数(k≠0），x不等于0）
3、反比例函数图象
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线（hyperbola）。

反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。

4、反比例函数中k的几何意义是什么？有哪些应用？
过反比例函数y=k/x（k≠0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k|
研究函数问题要透视函数的本质特征。

反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。

从而有k的绝对值。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。

5、反比例函数性质有哪些？
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。

定义域为x≠0；值域为y≠0。

3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。

4.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K|
5.反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴
y=xy=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

6.若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么AB两点关于原点对称。

7.设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n^2+4k·m≥（不小于）0。

8.反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

9.反比例函数关于正比例函数y=x，y=-x轴对称，并且关于原点中心对称。

10.反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|
11.k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

12.|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

13.反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点
初中数学知识点总结反比例函数的应用「篇七」
1．比例的意义和组成部分：表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

2．比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。

这叫做比例的基本性质。

3．比和比例的区别
（1）比表示两个量相除的关系，它有两项（即前、后项）；比例表示两个比相等的式子，它有四项（即两个内项和两个外项）。

（2）比有基本性质，它是化简比的依据；比例也有基本性质，它是解比例的依据。

4．解比例：根据比例的基本性质，把比例转化成以前学过的方程，求比例中的未知项，叫做解比例。

5．成正比例的.量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的（一定）。

6．成反比例的量：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。

用字母表示x×y=k（一定）。

7．判断两种量成正比例还是成反比例的方法：先要看它们的变化规律，关键是看这两个相关联的量中相对的两个数的比值（商）一定还是乘积一定，如果商一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例。

8．比例的应用
（1）比例尺的意义：一幅图的图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

图上距离=比例尺实际距离
（2）比例尺的分类：数值比例尺和线段比例尺。

（数值比例尺的前项和后项单位要一样，一般是厘米。

而线段比例尺的前项和后项单位不一样，比如课本54页
做一做的那个，它表示图上1厘米相当于实际距离600米。

）
缩小的比例尺和放大的比例尺。

（缩小的比例尺比如1︰300000，放大的比例尺比如2︰1）
（3）要会求比例尺:根据比例尺的意义，写出图上距离︰实际距离的比，单位化成一样并化简，一般要写成前项或后项是1的比。

（4）会根据比例尺、图上距离、实际距离三者之间的关系来求图上距离和实际距离。

会用比例尺来画图。

（请认真复习课本第54到58页的例题和练习）相关方法：实际距离×比例尺=图上距离图上距离÷比例尺=实际距离图上距离÷实际距离=比例尺
（5）图形的放大与缩小：按照比例尺把图形的各边相应缩小或放大，所得的图形只是大小发生了改变（这里的大小指的是边长的长短），形状还是与原来相同。

9．用比例解决问题：
（1）先在题中找到两种相关联的量，并判断这两种相关联的量成什么比例关系。

有些题目中的两个数量直接可以用正、反比例的公式去判断，比如单价一定，总价和数量肯定成正比例关系。

还比如路程一定，速度和时间成反比例。

有些题目中的两个数量还可以根据数量的变化规律来判断，比如课本第64页的第5题，修一条水渠，每天工作6小时要修12天完成，每天工作8小时要修完的天数肯定要少于12天，因为水渠的长度不变，每天工作的时间越长最后完成的天数会相应的减少，所以每天工作的时间和天数这两个数量符合反比例关系的变化规律，一个变大，另一个反而变小，因此它们成反比例关系。

（2）判断好成什么比例关系后，就可以根据公式写出比例（方程），再解比例把问题解决。

在写正比例关系方程的时候等号左右两个比一定要意思相一致，比如前面一个比是路程比速度，那么后面那个比也要路程比速度。

另外两个比的单位名称也要一致，比如前面的比单位名称是厘米比米，那么后面那个比单位名称也要厘米比米。

（3）用比例解决问题的题目都是我们以前会做的应用题，只是现在用比例的方法来解决。

所以请大家一定要善于总结和反思，把自己不会做的题目或者经常要做错的题目抄在笔记本里，分析一下自己为什么会做错，不懂的地方要多问问其他同学，要经常性的去读一读，想一想，做一做，一定要把它们牢记在脑子里。

所以请把单元复习题里做错的应用题认真的进行反思，再去做做，并记住！。