博兴县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

博兴县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 抛物线x=﹣4y 2的准线方程为（ ）
A ．y=1
B ．y=
C ．x=1
D ．x=
2． 若直线：圆：交于两点，则弦长
L 047)1()12(=--+++m y m x m C 25)2()1(2
2
=-+-y x B A ,的最小值为（ ）
||AB A ．
B ．
C ．
D ．5854525
3． 江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）
A ．10米
B ．100米
C ．30米
D ．20米
4． 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S 的值为（
）
A ．9.6
B ．7.68
C ．6.144
D ．4.9152
5． 已知正方体被过一面对角线和它对面两棱中点的平面截去一个三棱台后的几何体的主（正）视图和俯视图如下，则它的左（侧）视图是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 某几何体的三视图如下（其中三视图中两条虚线互相垂直）则该几何体的体积为（
）
A. B ．483C.D ．163
20
3
7． 已知直线的参数方程为（为参数，为直线的倾
l 1cos sin x t y t α
α
=+⎧⎪⎨=+⎪⎩t αl 斜角），以原点O 为极点，的极坐标方程为x C ，直线与圆的两个交点为，当最小时，4sin(3
π
ρθ=+l C ,A B ||AB α
的值为
（
）
A ．
B ．
C ．
D ．4
π
α=
3
π
α=
34
πα=
23
πα=
8． 设集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B=（ ）
A ．{1，2}
B ．{﹣1，4}
C ．{﹣1，2}
D ．{2，4}
9． 定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b=a ；当a ＜b 时，a ⊕b=b 2，则函数f （x ）=（1⊕x ）x ﹣（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（ ）
A ．﹣1
B ．1
C ．6
D ．12
10．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．中，“”是“”的（ ）
ABC ∆A B >cos 2cos 2B A >A. 充分必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【命题意图】本题考查三角函数的性质与充分必要条件等基础知识，意在考查构造函数的思想与运算求解能力.12．将函数f （x ）=sin2x
的图象向右平移个单位，得到函数y=g （x ）的图象，则它的一个对称中心是（
）A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜色各不相同．三个
房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元．
14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．
15．若x ，y 满足约束条件，若z ＝2x ＋by （b ＞0）的最小值为3，则b ＝________．
{x ＋y －5≤0
2x －y －1≥0x －2y ＋1≤0
)
16．抛物线y 2=4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF|=4，则点M 的横坐标x= ．17．一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．
18．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数有两个极值点，则实数的()()ln f x x x ax =-a 取值范围是．
三、解答题
19．斜率为2的直线l 经过抛物线的y 2=8x 的焦点，且与抛物线相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．　
20．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
21．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：BC1∥平面ACD1．
（2）当时，求三棱锥E﹣ACD1的体积．
22．（本小题满分14分）
设函数，（其中，）.
2
()1cos f x ax bx x =++-0,2
x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
a b R ∈（1）若，，求的单调区间；0a =1
2
b =-
()f x （2）若，讨论函数在上零点的个数.
0b =()f x 0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.
23．（本小题满分12分）
设0
3πα⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭，αα+=（1）求cos 6πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值；
（2）求cos 212πα⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭的值．
24．（本题12分）
正项数列{}n a 满足2
(21)20n n a n a n ---=．
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令1
(1)n n
b n a =
+，求数列{}n b 的前项和为n T .
博兴县第一中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：抛物线x=﹣4y 2即为y 2=﹣x ，
可得准线方程为x=．
故选：D ．　
2． 【答案】B 【解析】
试题分析：直线，直线过定点，解得定点，当点
:L ()()0472=-++-+y x y x m ⎩
⎨⎧=-+=-+040
72y x y x ()1,3（3,1）是弦中点时，此时弦长最小，圆心与定点的距离，弦长
AB ()()512312
2=-+-=
d ,故选B.
545252=-=AB 考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.
【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是，R 是圆的半径，d 是圆心到直线的距离.
2
2
2d R l -=1111]
3． 【答案】C
【解析】解：如图，过炮台顶部A 作水平面的垂线，垂足为B ，设A 处观测小船C 的俯角为45°，设A 处观测小船D 的俯角为30°，连接BC 、BD Rt △ABC 中，∠ACB=45°，可得BC=AB=30米
Rt △ABD 中，∠ADB=30°，可得BD=AB=30
米
在△BCD 中，BC=30米，BD=30米，∠CBD=30°，
由余弦定理可得：
CD 2=BC 2+BD 2﹣2BCBDcos30°=900∴CD=30米（负值舍去）故选：C
【点评】本题给出实际应用问题，求炮台旁边两条小船距的距离．着重考查了余弦定理、空间线面的位置关系等知识，属于中档题．熟练掌握直线与平面所成角的定义与余弦定理解三角形，是解决本题的关键．　
4． 【答案】C
【解析】解：由题意可知，设汽车x 年后的价值为S ，则S=15（1﹣20%）x ，结合程序框图易得当n=4时，S=15（1﹣20%）4=6.144．故选：C ．　
5． 【答案】A
【解析】解：由题意可知截取三棱台后的几何体是7面体，左视图中前、后平面是线段， 上、下平面也是线段，轮廓是正方形，AP 是虚线，左视图为：
故选A ．
【点评】本题考查简单几何体的三视图的画法，三视图是常考题型，值得重视．　
6． 【答案】
【解析】选D.根据三视图可知，该几何体是一个棱长为2的正方体挖去一个以正方体的中心为顶点，上底面为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V ＝23－×2×2×1＝，故选D.
13203
7． 【答案】A
【解析】解析：本题考查直线的参数方程、圆的极坐标方程及其直线与圆的位置关系．在直角坐标系中，圆C
的方程为，直线的普通方程为，直线过定点，∵
2
2
((1)4x y +-=l tan (1)y x α-=-l M ，∴点在圆的内部．当最小时，直线直线，，∴直线的斜率为，∴
||2MC <M C ||AB l ⊥MC 1MC k =-l 1
，选A ．
4
π
α=
8． 【答案】A
【解析】解：集合A={x|﹣2＜x ＜4}，B={﹣2，1，2，4}，则A ∩B={1，2}．故选：A ．
【点评】本题考查交集的运算法则的应用，是基础题．　
9． 【答案】C 【解析】解：由题意知
当﹣2≤x ≤1时，f （x ）=x ﹣2，当1＜x ≤2时，f （x ）=x 3﹣2，
又∵f （x ）=x ﹣2，f （x ）=x 3﹣2在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=23﹣2=6．故选C ．　
10．【答案】C
【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长，设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为： a ，
所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C
11．【答案】A.
【解析】在中ABC ∆2
2
2
2
cos 2cos 212sin 12sin sin sin sin sin B A B A A B A B
>⇒->-⇔>⇔>，故是充分必要条件，故选A.
A B ⇔>12．【答案】D
【解析】解：函数y=sin2x 的图象向右平移个单位，则函数变为y=sin[2（x ﹣
）]=sin （2x ﹣
）；
考察选项不难发现：当x=时，sin （2×
﹣
）=0；
∴（
，0）就是函数的一个对称中心坐标．
故选：D ．
【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移变换，函数的对称中心坐标问题，考查计算能力，逻辑推理能力，常考题型．　
二、填空题
13．【答案】1464
【解析】【知识点】函数模型及其应用
【试题解析】显然，面积大的房间用费用低的涂料，所以房间A用涂料1，房间B用涂料3，
房间C用涂料2，即最低的涂料总费用是元。

故答案为：1464
14．【答案】 ．
【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，8个三棱锥的体积为：=．
剩下的凸多面体的体积是1﹣=．
故答案为：．
【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．
15．【答案】
【解析】
约束条件表示的区域如图，
当直线l：z＝2x＋by（b＞0）经过直线2x－y－1＝0与x－2y＋1＝0的交点A（1，1）时，z min＝2＋b，∴2＋b ＝3，∴b＝1.
答案：1
16．【答案】　3　．
【解析】解：∵抛物线y2=4x=2px，
∴p=2，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
∴|MF|=4=x+=4，
∴x=3，
故答案为：3．
【点评】活用抛物线的定义是解决抛物线问题最基本的方法．抛物线上的点到焦点的距离，叫焦半径．到焦点的距离常转化为到准线的距离求解．
17．【答案】　2　．
【解析】解：∵一组数据2，x ，4，6，10的平均值是5，
∴2+x+4+6+10=5×5，
解得x=3，
∴此组数据的方差
[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．
故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．　
18．【答案】.
【解析】由题意,y ′=ln x +1−2mx
令f ′（x ）=ln x −2mx +1=0得ln x =2mx −1，
函数有两个极值点,等价于f ′（x ）=ln x −2mx +1有两个零点，
()()ln f x x x mx =-等价于函数y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，
，
当m =
时，直线y =2mx −1与y =ln x 的图象相切，12
由图可知,当0<m <时，y =ln x 与y =2mx −1的图象有两个交点，12
则实数m 的取值范围是（0,），12
故答案为：（0,）.12
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：设直线l 的倾斜解为α，则l 与y 轴的夹角θ=90°﹣α，
cot θ=tan α=2，
∴sin θ=
，|AB|==40．
线段AB 的长为40．
【点评】本题考查抛物线的焦点弦的求法，解题时要注意公式|AB|=
的灵活运用．　
20．【答案】
【解析】解：（1）由高BH 所在直线方程为4x+2y ﹣9=0，∴
=﹣2．∵直线AC ⊥BH ，∴k AC k BH =﹣1．
∴，直线AC 的方程为
，联立
∴点C 的坐标C （1，1）．（2）
，∴直线BC 的方程为
，联立，即
．点B 到直线AC ：x ﹣2y+1=0的距离为．又，
∴
．
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
21．【答案】
【解析】（1）证明：∵AB ∥C 1D 1，AB=C 1D 1，
∴四边形ABC 1D 1是平行四边形，
∴BC 1∥AD 1，
又∵AD 1⊂平面ACD 1，BC 1⊄平面ACD 1，
∴BC 1∥平面ACD 1．
（2）解：S △ACE =AEAD==．
∴V =V ===．
【点评】本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（1）∵，，0a =12b =-
∴，，.（2分）1()1cos 2f x x x =-+-1()sin 2f x x '=-+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
令，得.()0f x '=6x π=当时，，当时，，06x π<<()0f x '<62
x ππ<<()0f x '>所以的单调增区间是，单调减区间是.（5分）()f x ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
若
，则，又，由零点存在定理，，使112a -<<-π(102f a π'=π+<()(0)0f f θ''>=00,2θπ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭
，所以在上单调增，在上单调减.0()0f θ'=()f x 0(0,)θ0,2θπ⎛⎫ ⎪⎝⎭
又，.(0)0f =2
()124
f a ππ=+故当时，，此时在上有两个零点；2142a -<≤-π2()1024f a ππ=+≤()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
当时，，此时在上只有一个零点.241a -<<-ππ2(1024f a ππ=+>()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
23．【答案】（1；（2．【解析】
试题分析：（1αα=⇒
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，⇒662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，
⇒cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭；（2）由（1）可得21cos 22cos 1364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭
⇒cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=．
试题解析：（1αα+∴
sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………3分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴662πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝
⎭………………………………6分
（2）由（1）可得2
21cos 22cos 121364ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．………………………………8分
∵03πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴233ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，∴sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭．……………………………………10分∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 12343434πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=．………………………………………………………………………………12分考点：三角恒等变换．
24．【答案】（1）n a n 2=；（2）=n T )
1(2+n n .
考点：1．一元二次方程；2．裂项相消法求和．。