2019-2020学年 四川省双流中学 高二上学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年四川省双流中学高二上学期期中考试数学
（理）试题
一、单选题
1．命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”的否定是（ ） A ．对任意x ∈R ，都有2ln 2x <
B ．不存在x ∈R ，满足2ln 2x <
C ．存在0x R ∈，使得2
0ln 2x >
D ．存在0x R ∈，使得2
0ln 2x <
【答案】D
【解析】根据全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果. 【详解】
命题“对任意x ∈R ，都有2ln 2x ≥”为全称命题，其否定为“存在0x R ∈，使得
20ln 2x <”.
故选：D. 【点睛】
本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.
2．椭圆2218
x y +=上的点P 到一个焦点的距离为P 到另一个焦点的距离
为（ ） A ．4 B ．
C
D ．2
【答案】C
【解析】利用椭圆的定义可得出结果. 【详解】
由题意可知，
a =P 到另一个焦点的距离为
2a -=故选：C. 【点睛】
本题考查利用椭圆的定义求焦半径，考查计算能力，属于基础题.
3．已知点()1,2,1A --、()2,2,1B --，点A 关于z 轴对称的点为M ，则BM =（ ）
A ．
B ．5
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】根据对称性求出点M 的坐标，然后利用两点间的距离公式可求得BM 的值. 【详解】
由于点A 关于z 轴对称的点为M ，则点()1,2,1M --，
由空间中两点间的距离公式得5BM ==.
故选：B. 【点睛】
本题考查空间中两点间距离的计算，同时也考查了利用对称性求点的坐标，考查计算能力，属于基础题.
4．已知命题:p 函数1x y e -=的图象关于直线1x =对称，:q 函数cos 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，则下列命题中是真命题的为（ ）
A ．()()p q ⌝∨⌝
B ．()p q ∧⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∨
【答案】D
【解析】先判断出简单命题p 、q 的真假，再利用复合命题的真假可得出结论. 【详解】
对于命题p ，令()1
x f x e
-=，则()()11
1x x f x e
e ---==，
()()()11
11x x
f x e
e f x +-+===-，
所以，函数()1
x f x e
-=的图象关于直线1x =对称，命题p 正确；
对于命题q ，令()cos 26g x x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，则cos 062g ππ⎛⎫==
⎪⎝⎭
，所以，函数()cos 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称，命题q 正确.
因此，()()p q ⌝∨⌝、()p q ∧⌝、()p q ⌝∧均为假命题，p q ∨为真命题. 故选：D. 【点睛】
本题考查复合命题真假的判断，考查函数图象对称性的判断，解答的关键就是判断出各
简单命题的真假，考查推理能力，属于基础题. 5．已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=，则2
2x y +最小值为（ ）
A ．7-
B ．7+
C ．2
D ．2-
【答案】A
【解析】将圆的方程化为标准形式，可得出圆心C 的坐标和圆的半径，将2
2x y +视为
坐标原点O 到圆上一点距离的平方，即可得出结果. 【详解】
圆的标准方程为()2
223x y -+=，圆心为()2,0C ，
()220203-+>Q ，所以，原点在圆()2
223x y -+=外.
22x y +的几何意义为坐标原点O 到圆上一点距离的平方，
()
((2
2
2
2
min
27x y
OC ∴+==-=-故选：A. 【点睛】 本题考查2
2x
y +最值的计算，利用该代数式的几何意义求解是解答的关键，同时也考
查了圆外一点到圆上一点距离最值的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 6．“直线m 与平面α内无数条直线平行”是“直线m //平面α”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由“直线l 与平面α内无数条直线都平行”不能推出“直线l 与平面α平行”，因为直线l 可能在平面α内,故充分性不成立,由“直线l 与平面α平行”,利用直线和平面平行的定义可得“直线l 与平面α内无数条直线都平行”,故必要性成立,故“直线l 与平面α内无数条直线都平行“是”直线l 与“平面α平行”的必要非充分条件,故选C.
7．若点(,)P a b 在圆222x y r +=外，则直线2ax by r +=与圆的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切
C ．相交
D ．不确定
【答案】C
【解析】直线方程：2a r y x b b
=-+，
假设有一条过圆心且与已知直线垂直的直线方程为：b
y x a
=； 两条直线的交点坐标为：
22
2ar x a b =+，2
22
br b a b
=+， 那么此交点到圆心的距离的平方22x y =+，
带入后求的距离的平方为：4
22
r a b
+， 由已知条件带你(,)a b 在圆外， 此距离一定小于r ，故选C ．
8．已知椭圆22
142
x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，
则12PF F ∆的面积是（ ） A
B ．2 C
．D
【答案】A
【解析】由椭圆的定义得出124PF PF +=，结合122PF PF -=，可求出1PF 和
2PF ，利用勾股定理可得出222
2121PF F F PF +=，可得出212PF F F ⊥，然后利用
三角形的面积公式可计算出12PF F ∆的面积. 【详解】
由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以121242PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得12
3
1PF PF ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
12F F ==Q 22122
12PF F F PF ∴+=，212PF F F ∴⊥.
因此，12PF F ∆
的面积为1212211
122
PF F S F F PF ∆=⋅=⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查椭圆焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．两圆相交于两点(,1)k 和(1,3)，两圆的圆心都在直线02
c
x y -+
=上，则k c +=
A ．-1
B ．2
C ．3
D ．0
【答案】C
【解析】由圆与圆相交性质可知，点(),1k 和()1,3所在直线与两圆的圆心所在直线
02c x y -+
=互相垂直，所以3111k -=--，则3k =，又直线02
c x y -+=过点(),1k 和()1,3中点()2,2，则0c =，所以3k c +=，故选择C.
10．设1F 、2F 分别为椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，
若线段1PF 的中点在y 轴上，1230PF F ∠=o
，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
33
B ．
3 C ．
12
D ．
16
【答案】A
【解析】作出图形，推导出2PF x ⊥轴，并设()20PF t t =>，用t 表示2a 和2c ，进而可求得椭圆的离心率. 【详解】 如下图所示：
设线段1PF 的中点为点M ，连接2PF ，则OM x ⊥轴，
O Q 、M 分别为12F F 、1PF 的中点，2//OM PF ∴，所以，2PF x ⊥轴，
设()20PF t t =>，1230PF F ∠=o
Q ，则12PF t =，
22
1212
23c F F PF PF t ==-=，
由椭圆的定义可得1223a PF PF t =+=，因此，该椭圆的离心率为23
23
c e a ==
. 故选：A.
本题考查椭圆离心率的求解，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题. 11．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2
222
x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，
C ．232⎡⎤⎣⎦，
D ．2232⎡⎤⎣⎦，
【答案】A
【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：
Q 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点 ()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=
Q 点P 在圆2
2x 22y -+=（）上
∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1202
222
d ++=
=
故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32⎡⎤⎣⎦
则[]221
22,62
ABP S AB d d =
=∈V 故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
12．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22
221x y a b
+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在
点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C ．1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
【答案】C
【解析】如图所示，
∵线段PF 1的中垂线经过F 2，
∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a －c ≤2c ≤a ＋c.∴e ＝
1
[,1)3
c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。

本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

二、填空题
13．圆221:4C x y +=与圆22
2:220C x y x y +-+=的公共弦长为______.
【答案】
【解析】将两圆方程作差可得出公共弦所在直线的方程，再求该直线截圆1C 所得弦长即可. 【详解】
将圆1C 和圆2C 的方程作差并化简得20x y --=，即两圆公共弦所在直线的方程为
20x y --=.
圆1C 的圆心为坐标原点，半径长为2，圆1C 的圆心到直线20x y --=的距离为
d =
=
因此，两圆的公共弦长为
=故答案为：
【点睛】
本题考查两圆公共弦长的计算，考查计算能力，属于基础题.
14．若椭圆的标准方程为22
162x y s s +=-+，焦点在y 轴上，且焦距是4，则实数
s =______.
【答案】4
【解析】根据椭圆的焦距以及焦点的位置可得出实数s 所满足的等式与不等式，即可求得实数s 的值.
【详解】
由于椭圆22
162
x y s s +=-+的焦点在y 轴上，且焦距是4，所以，2c =.
由题意得()()260
26s s s c ->⎧⎨+--=⎩
，解得4s =.
故答案为：4. 【点睛】
本题考查利用椭圆的焦距求参数，解题时不要忽略了2x 和2y 系数的符号，考查运算求解能力，属于基础题.
15．设定点()10,3F -，()20,3F ，动点P 满足条件129
PF PF t t
+=+（t 为常数，且0t >），则点P 的轨迹是______. 【答案】线段12F F 或椭圆 【解析】利用基本不等式求得9
6t t
+
≥，然后分126PF PF +=和126PF PF +>两种情况讨论，结合椭圆的定义可得出点P 的轨迹. 【详解】
0t >Q ，由基本不等式得1296PF PF t t +=+≥=，当且仅当3t =时，等号
成立.
①若12126PF PF F F +==，则点P 的轨迹为线段12F F ；
②若12126PF PF F F +>=，则点P 的轨迹为椭圆. 综上所述，点P 的轨迹为线段12F F 或椭圆. 故答案为：线段12F F 或椭圆. 【点睛】
本题考查动点的轨迹，考查了椭圆定义的应用，注意椭圆定义中的三个条件，考查推理能力，属于基础题.
16．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点，过原点O
且倾斜角为60°的直线l 与椭圆C 的一个交点为M ，且|1MF u u u u r +2MF u u u u r |=|1MF u u u u r -2
MF u u u u r
|，椭圆C 的离心率为______．
【解析】由1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r 两边平方化简得：120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r
，12Rt MF F V 中，
求出12MF MF ，，再利用椭圆的性质求出a c ，的关系，求出离心率即可． 【详解】
不妨设M 在第一象限，由|1212MF MF MF MF +=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r
两边平方化简得：120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r
，
12Rt MF F V 中，211260,2sin60,2sin30MF F MF c MF c c ︒︒︒∠=====
由
1221)2MF MF a c a +==，所以1c e a ===，
1． 【点睛】
考查了向量的数量积，椭圆的定义，离心率的求法，属于中档题．
三、解答题
17．已知椭圆22:33C x y +=，求椭圆C 的长轴长、短轴长、顶点坐标、离心率.
【答案】长轴长2，顶点坐标为：()1,0-，()1,0，(0,，(
，
. 【解析】将椭圆的方程化为标准方程，即可求得该椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标和离心率. 【详解】
椭圆标准方程可化为：2
2
13
y x +=
所以，椭圆中，23a =，21b =，由222a b c =+，可得：22c =，
所以，长轴长2a =，短轴长22b =，
顶点坐标为：()1,0-，()1,0，(0,，(
离心率
3c e a ===
. 【点睛】
本题考查椭圆的长轴长、短轴长、顶点坐标和离心率的求解，解答的关键就是将椭圆的方程化为标准方程，确定焦点的位置，并求出a 、b 、c 的值，考查计算能力，属于基础题.
18．如图，已知点()4,2N ，过点N 的直线NA 与x 轴相交于点A ，直线BN AN ⊥，直线BN 交y 轴于点B ，设M 是线段AB 的中点，求点M 的轨迹方程.
【答案】250x y +-=
【解析】根据题意知，点M 既是Rt AOB ∆的斜边AB 的中点，又是Rt NAB ∆的斜边AB 的中点，由直角三角形的性质可得1
2
NM AB OM ==，设点(),M x y ，利用两点间的距离公式化简求解即可. 【详解】
由题知，点M 既是Rt AOB ∆的斜边AB 的中点，又是Rt NAB ∆的斜边AB 的中点. 所以OM NM =，设(),M x y ()()
22
2242x y x y +=
-+-
化简为250x y +-=，故点M 的轨迹方程为250x y +-=. 【点睛】
本题考查动点轨迹方程的求解，解题时要充分分析图形的几何性质，考查计算能力，属于中等题.
19．已知点()2,1C --，以C 为圆心的圆与直线30x y --=相切. （1）求圆C 的方程；
（2）如果圆C 上存在两点关于直线40mx ny ++=对称，求mn 的最大值. 【答案】（1）()()2
2
218x y +++=；（2）2.
【解析】（1）计算点C 到直线30x y --=的距离，作为圆C 的半径，进而可得出圆C
的标准方程；
（2）由题意可知直线40mx ny ++=过圆心C ，可得出24m n +=，可得42n m =-，然后利用二次函数的基本性质可求得mn 的最大值.
【详解】
（1）因为圆与直线相切，所以圆心到直线的距离即为半径长.
由题意，得圆心C 到直线30x y --=的距离
d =
=，
故所求圆的方程为()()22218x y +++=； （2）因为圆C 上存在两点关于直线40mx ny ++=对称，所以直线40mx ny ++=过圆心C .
所以240m n --+=，即24m n +=.
解得()()
()22422211212mn m m m m m =-=--+-=--+， 当1m =时，mn 取最大值2.
【点睛】
本题考查圆的方程的求解，同时也考查了圆的对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.
20．已知命题:p 关于x 的不等式()10,1x a a a >>≠的解集是{}
0x
x <，命题:q 函数()2lg 1y ax =+的定义域为R ，如果“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题.求实数a 的取值范围.
【答案】[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦
U 【解析】先根据命题p 、q 为真命题时求出对应的实数a 的取值范围，再由题中复合命题的真假判断出p 、q 中一真一假，然后分“p 真q 假”和“p 假q 真”两种情况讨论，进而可求得实数a 的取值范围.
【详解】
由题知:p 关于x 的不等式1x a >（0a >且1a ≠）的解集是{}
0x x <，所以：01
a <<. :q 函数()
2lg 1y ax =+
的定义域为R ，等价于x R ∀∈，210ax +>
. （i ）当0a =时，不等式10+>在R 上不恒成立；
（ii ）当0a ≠时，0240
a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得12a >. 即1:2
q a >. 如果p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，则p 真q 假，或p 假q 真，
若p 真q 假，则0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩，可得102a <≤； 若p 假q 真，则0112a a a ≤≥⎧⎪⎨>⎪⎩
或，可得1a ≥. 解得102
a <≤或1a ≥. 所以，实数a 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题考查根据复合命题的真假求参数，考查指数函数的单调性以及对数型复合函数的定义域问题，考查运算求解能力，属于中等题.
21．已知A （4，0）、B （1，0），动点M 满足|AM |=2|BM |．
（1）求动点M 的轨迹C 的方程；
（2）直线l ：x +y =4，点N ∈l ，过N 作轨迹C 的切线，切点为T ，求NT 取最小时的切线方程．
【答案】（1）x 2+y 2=4（2）x =2或x +2y -6=0
【解析】（1）直接利用两点间的距离公式的应用求出曲线的方程．
（2）利用直线与圆的切线的位置关系的应用，利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论思想的求出直线的方程．
【详解】
（1）已知4010A B （，）、（，）
，动点M 满足2AM BM = ． 设点M x y （，）
=，整理得224x y +=．
（2）由于NT 为圆的切线，所以连接ON 和OT ，
在直角三角形OTN 中，222
NT ON OT =- ，又有2OT r ==为定值． 所以当ON 取最小值时，NT 取最小值．
ON 的最小值为圆心00（，）到直线4x y
+=的距离1222
d ==． 所以|NT |的最小值为22． 此时ON 与直线4x y +=垂直，且过原点，所以直线ON 的直线方程为y x =． 联立4x y +=和y x =，解得22N （，）
． 即过点22N （，）
做圆的切线，求出切线的方程． ①当直线的斜率存在时，22y k x -=-（），由圆心到直线的距离
2222
21k d r k -+===+，
解得12
k =-，即切线的方程为260x y +-=． ②直线的斜率不存在时，2x = ，满足题意．
故当NT 取最小值时切线的方程为2x =或260x y +-=．
【点睛】
本题考查的知识要点有曲线的方程的求法和应用，点到直线的距离公式的应用，勾股定理的应用，分类讨论思想的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
22．已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>过点()
0,2，椭圆E 上的任意一点到两焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆E 的方程；
（2）如图，设直线():0l y kx k =≠与椭圆E 交于P 、A 两点，过点()00,P x y 作PC x ⊥轴，垂足为点C ，直线AC 交椭圆E 于另一点B ，证明：AP BP ⊥.
【答案】（1）22
142
x y +=；（2）详见解析.
【解析】（1）根据题意求出a 、b 的值，即可求得该椭圆的方程；
（2）根据椭圆的对称性可得出点()00,A x y --、()0,0C
x ，设点(),B x y ，利用点差法可得出12AB BP k k ⋅=-
，再由斜率公式可得出12
AB PA k k =，代入可得出1PA BP k k ⋅=-，进而可证得结论.
【详解】 （1）由题意椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>
过点)
可得：22b =， Q 椭圆E 上的任意一点到两焦点的距离之和为4，24a ∴=，则2a =，
因此，椭圆E 的方程为：22142
x y +=； （2）Q 直线():0l y kx k =≠与椭圆E 交P 、A 两点，()00,P x y ，PC x ⊥轴， ∴点A 的坐标为()00,x y --，点C 的坐标为()0,0x -，
设(),B x y ，则有2200142x y +=，22142
x y +=， 两式相减得：()()()()
000012y y y y x x x x -+=--+， 又00AB y y k x x
+=+，00BP y y k x x -=-，000012AB BP y y y y k k x x x x -+∴⋅=⋅=--+ 又001222AB AC PA y k k k k x ===⋅=，1212BP k k k
∴=-⋅=-， 又AP k k =，11AP BP k k k k ⎛⎫∴⋅=⋅-
=- ⎪⎝⎭，因此，AP BP ⊥. 【点睛】
本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中线线垂直的证明，涉及点差法的应用，考查计算能力，属于中等题.。