06IIR模拟滤波器设计(New)-精选文档
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并无影响；
④ 同样, 调整分母多项式的系数α1j和α2j：只单独调整了第j对极点。 因此，级联型优点： A. 便于准确地实现滤波器零、极点的调整。 B. 此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前 面，所以其运算误差也比直接型小。
级联型 —— 函数
参数：
23
b:直接型的分子多项式系数
a:直接型的分母多项式系数 b0 = 增益系数 B = 包含各bk的K×3维实系数矩阵 A = 包含各ak的K×3维实系数矩阵 % 补0
01 11
－ 1 z
…
0K 1K 2K
－ 1 z
y (n )
11 21
…
1K 2K
21
－ 1 z
－ 1 z
阅读—— P131 【例5.3.2】
将H(z)分子分母进行因式分解，得到：
1 1 2 ( 20 . 3 7 9 z ) ( 41 . 2 4 z 5 . 2 6 4 z ) H () z 1 1 2 ( 10 . 2 5 z ) ( 1 z 0 . 5 z )
回顾：IIR滤波器结构
（2）直接 II 型 将H(z)看成两个独立 的系统函数的乘积：
14
i bz i M
H(z) H1(z)H2(z)
1ai zi
i 1
i0 N
x(n) a1
1 z－ 1 z－
y2(n) y2(n－ ) 1 y2(n－ ) 2
b0
1 z－ b1 1 z－ b2
从实现方法上分：FIR、IIR； 从设计方法上来分：切比雪夫、 巴特沃斯； 从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器。
回顾：什么是滤波器
经典滤波器
过滤 噪声
5
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频 带。当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效
地去除。
代码如下： b=[1,-3,11,-27,18]; 结果为： bo = 0.0625 B= 1.0000 0.0000 1.0000 -3.0000 A= 1.0000 1.0000 1.0000 -0.2500
y(n)
… … …
bN－ 1
1 z－ bN
若M=N
a2
…
aN－ 1
…
－ 1 aN z
…
y2(n－ N)
回顾：IIR滤波器结构
合并两条延时链，得到直接Ⅱ型结构：
15
x(n) a1 a2 z－ 1 z－ 1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
bN－ 1 bN
…
aN－ 1
…
－1 aN z
阅读—— P129 【例5.3.1】
回顾：IIR滤波器结构
2. 级联型
19
若将 H(z) 的 分子和分母分别进行因式分解 ，可得多个 因式
连乘积的形式：
1 ( 1 c z ) i 1 H (z) i0N A iN i 1 1 a z ( 1 d z i ) i i 1 i 1 i b z i M M
数字信号处理
(a) Amplitude Time
Frequency
IIR滤波器设计
什么是滤波器 IIR滤波器基本结构
2
设计思想
设计模拟低通滤波器
回顾：什么是滤波器
通过运算后转变为输出序列。
数字滤波器一般可以用两种方法实现：
3
滤波器实际上是一种 运算过程 ，将一组输入的数字序列
用数字硬件装配成专用信号处理机；
【解】 结果： y1 = 8.0000 6.0000
1
2
3
clc; clear all; b=[8,-4,11,-2];
12.5000
4.0313 -2.9980
10.1250
-0.9922
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
x=[1,0,0,0,0,0,0]; y1=filter(b,a,x) % 脉冲
式中：
1 2 z z 0 j 1 j 2 j H z ) j( 1 2 1 1 jz 2 jz
20
若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数 Hj(z)的网络结构均采用前 面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如下 图所示。
x (n ) A
将所需要的运算编成程序让计算机来执行。 x(n)
h(n)
y(n)
1 j w j w y ( n ) h ( n m ) x () m F [ X ( e ) H ( e ) ]ห้องสมุดไป่ตู้ m
回顾：什么是滤波器
滤波器的种类很多，分类方法也不同；
1. 2. 3. 4.
4
从功能上分：低通、高通、带通、带阻；
横向 网络
M N
2. （1）直接 I 型
i 0
反馈 网络
y ( n ) b x ( n i ) a ( n i ) i iy
假设M=N
x(n) x(n－ ) 1 x(n－ ) 2 b0 z－1 b 1 z
－1 －1 a1 z
i 1
y(n) y(n－ ) 1 y(n－ ) 2
% 补0，使a、b等长
级联型 —— 函数
K = floor(N/2); B = zeros(K,3); A = zeros(K,3); if K*2 == N; b = [b 0]; a = [a 0]; end broots = cplxpair(roots(b)); % 共轭复根对 aroots = cplxpair(roots(a)); for i=1:2:2*K Brow = broots(i:1:i+1,:); Brow = real(poly(Brow)); % 把根转换为二阶多项式 B(fix((i+1)/2),:) = Brow; % fix：趋0（q去掉小数部分取整） Arow = aroots(i:1:i+1,:); Arow = real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:) = Arow; end
结论：
1. 滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激
响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
8
2. 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂
性，后者影响运算速度。 3. 有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差 及稳定性不同。 4. 好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化 实现，便于时分复用。
H(z)分子、分母都是实系数多项式，根只有实根和共轭复根两种情况。
若将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子，
并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把 H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式，即：
H(z) A Hj (z)
j 1
K
回顾：IIR滤波器结构
系统函数：
H (z)
i b z i i0
M
1 ai z i
i 1
N
回顾：什么是滤波器
H(z) 可以对应不同结构。例如：
7
H (z)
1
1 2
1 3z 2z 2 1 1 1 1 2z 1 z 1 1 1 1 1 2z 1 z
回顾：什么是滤波器
画出直接II型结构：
x(n) 8 y(n)
54
34 18
z－1 －4 z－1 1 1
z－1 －2
回顾：IIR滤波器结构
显然：
18
1. 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节 省寄存器，比直接Ⅰ型经济； 2. 若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型 结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高 等缺点。
dir2cas(b,a)
1 1 2 1 0 . 1 9 z 1 0 . 3 1 z 1 . 3 1 6 1 z H ( z )8 1 1 2 1 0 . 2 5 z 1 z 0 . 5 z
练习 1
已知：
26
1 6 y ( n )1 2 y ( n 1 )2 y ( n 2 )4 y ( n 3 ) y ( n 4 ) x ( n )3 x ( n 1 )1 1 x ( n 2 )2 7 x ( n 3 )1 8 x ( n 4 )
回顾：IIR滤波器结构
IIR滤波器的特点：
单位冲激响应h(n)是无限长的，n→∞；
9
系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有极点存在；
结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的； 因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。
回顾：IIR滤波器结构
1. 直接型
10
直接根据H(z)表达式画出直接I型结构： x(n) 8 Z-1 -4
Z-1
16
y(n) 5/4 Z-1
11 -2
-3/4 Z-1 1/8 Z-1
Z-1
阅读—— P129 【例5.3.1】
再由H(z)写出差分方程如下：
17
5 3 1 yn ( ) yn ( 1 ) yn ( 2 )+ yn ( 3 ) 8( xn ) 4 4 8 4( xn 1 )+ 1 1( xn 2 ) 2( xn 3 )
21
x ( n )
2
－ 1 z
4
－ 1 z － 1 . 2 4 － 1 z 5 . 2 6 4
y ( n )
0 . 2 5
－ 0 . 3 7 9
－ 0 . 5
回顾：IIR滤波器结构
22
级联型结构的特点： ① 每个一阶网络：只关系滤波器的一个零点、一个极点； ② 每个二阶网络：只关系滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点； ③ 调整系数β0j、β1j和β2j：只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点
直接型→级联型
function [b0,B,A] = dir2cas(b,a); b0 = b(1); b = b/b0; a0 = a(1); a = a/a0; b0 = b0/a0; M = length(b); N = length(a); if N > M b = [b zeros(1,N-M)]; elseif M > N a = [a zeros(1,M-N)]; N = M; else NM = 0; end
回顾：什么是滤波器
号。
6
数字滤波器是 离散 时间系统，所处理的信号是离散时间信 时域离散系统可以用 差分方程 、单位脉冲响应 以及系统函 数进行描述。如果系统输入、输出服从N 阶差分方程：
M N
y ( n ) b x ( n i ) a ( n i ) i iy
i 0 i 1
b2
a2 z
－1
…
…
…
…
…
bN－1
aN－1
x(n－ N)
z－1 b N
－1 aN z
…
y(n－ N)
回顾：IIR滤波器结构
特点：
① 两个网络级联： 横向延时网络，实现零点；
② 反馈延时网络，实现极点；
11
② 共需(N+M)级延时单元；
③ 系数ai、bi：不直接决定单个零极点，不能很好进行滤波器性能控制； ④ 极点：对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于
24
例 1（续 1）
将例1转换为级联型。
代码如下： b=[8,-4,11,-2];
结果如下：
b0 = 8 B= 1.0000 1.0000 A= 1.0000 1.0000
25
-0.3100 1.3161 -0.1900 0 -1.0000 0.5000 -0.2500 0
a=[1,-1.25,0.75,0.125]; [ b 0 , B , A ] =
灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳 定或产生较大误差。
直接型 —— 函数
P130 filter函数 格式：
12
y n f i l t e r ( B , A , x n )
分母 系数向量
分子 系数向量
按直接型对输入信号进行滤波。
例 1 —— 应用函数
若已知：
13
84 z 1 1 z 2 z H （ z ) 3 2 3 1 1 . 2 5 z 0 . 7 5 z 0 . 1 2 5 z
若信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。 提取 信号 现代滤波器 主要研究从含有噪声时间序列中估计出信号的某些特征或信号本身。 一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为 随机信号 ，利用它们的统计特征（如 自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件 予以实现。 现代滤波器源于 维纳，代表有维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测 器、自适应滤波器等。
④ 同样, 调整分母多项式的系数α1j和α2j：只单独调整了第j对极点。 因此，级联型优点： A. 便于准确地实现滤波器零、极点的调整。 B. 此外，因为在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前 面，所以其运算误差也比直接型小。
级联型 —— 函数
参数：
23
b:直接型的分子多项式系数
a:直接型的分母多项式系数 b0 = 增益系数 B = 包含各bk的K×3维实系数矩阵 A = 包含各ak的K×3维实系数矩阵 % 补0
01 11
－ 1 z
…
0K 1K 2K
－ 1 z
y (n )
11 21
…
1K 2K
21
－ 1 z
－ 1 z
阅读—— P131 【例5.3.2】
将H(z)分子分母进行因式分解，得到：
1 1 2 ( 20 . 3 7 9 z ) ( 41 . 2 4 z 5 . 2 6 4 z ) H () z 1 1 2 ( 10 . 2 5 z ) ( 1 z 0 . 5 z )
回顾：IIR滤波器结构
（2）直接 II 型 将H(z)看成两个独立 的系统函数的乘积：
14
i bz i M
H(z) H1(z)H2(z)
1ai zi
i 1
i0 N
x(n) a1
1 z－ 1 z－
y2(n) y2(n－ ) 1 y2(n－ ) 2
b0
1 z－ b1 1 z－ b2
从实现方法上分：FIR、IIR； 从设计方法上来分：切比雪夫、 巴特沃斯； 从处理信号分：经典滤波器、现代滤波器。
回顾：什么是滤波器
经典滤波器
过滤 噪声
5
假定输入信号x(n)中的有用成分和希望去除的成分，各自占有不同的频 带。当x(n)经过一个线性系统（即滤波器）后即可将欲去除的成分有效
地去除。
代码如下： b=[1,-3,11,-27,18]; 结果为： bo = 0.0625 B= 1.0000 0.0000 1.0000 -3.0000 A= 1.0000 1.0000 1.0000 -0.2500
y(n)
… … …
bN－ 1
1 z－ bN
若M=N
a2
…
aN－ 1
…
－ 1 aN z
…
y2(n－ N)
回顾：IIR滤波器结构
合并两条延时链，得到直接Ⅱ型结构：
15
x(n) a1 a2 z－ 1 z－ 1
b0 b1 b2
y(n)
… … …
bN－ 1 bN
…
aN－ 1
…
－1 aN z
阅读—— P129 【例5.3.1】
回顾：IIR滤波器结构
2. 级联型
19
若将 H(z) 的 分子和分母分别进行因式分解 ，可得多个 因式
连乘积的形式：
1 ( 1 c z ) i 1 H (z) i0N A iN i 1 1 a z ( 1 d z i ) i i 1 i 1 i b z i M M
数字信号处理
(a) Amplitude Time
Frequency
IIR滤波器设计
什么是滤波器 IIR滤波器基本结构
2
设计思想
设计模拟低通滤波器
回顾：什么是滤波器
通过运算后转变为输出序列。
数字滤波器一般可以用两种方法实现：
3
滤波器实际上是一种 运算过程 ，将一组输入的数字序列
用数字硬件装配成专用信号处理机；
【解】 结果： y1 = 8.0000 6.0000
1
2
3
clc; clear all; b=[8,-4,11,-2];
12.5000
4.0313 -2.9980
10.1250
-0.9922
a=[1,-1.25,0.75,-0.125];
x=[1,0,0,0,0,0,0]; y1=filter(b,a,x) % 脉冲
式中：
1 2 z z 0 j 1 j 2 j H z ) j( 1 2 1 1 jz 2 jz
20
若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数 Hj(z)的网络结构均采用前 面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z)的级联型结构，如下 图所示。
x (n ) A
将所需要的运算编成程序让计算机来执行。 x(n)
h(n)
y(n)
1 j w j w y ( n ) h ( n m ) x () m F [ X ( e ) H ( e ) ]ห้องสมุดไป่ตู้ m
回顾：什么是滤波器
滤波器的种类很多，分类方法也不同；
1. 2. 3. 4.
4
从功能上分：低通、高通、带通、带阻；
横向 网络
M N
2. （1）直接 I 型
i 0
反馈 网络
y ( n ) b x ( n i ) a ( n i ) i iy
假设M=N
x(n) x(n－ ) 1 x(n－ ) 2 b0 z－1 b 1 z
－1 －1 a1 z
i 1
y(n) y(n－ ) 1 y(n－ ) 2
% 补0，使a、b等长
级联型 —— 函数
K = floor(N/2); B = zeros(K,3); A = zeros(K,3); if K*2 == N; b = [b 0]; a = [a 0]; end broots = cplxpair(roots(b)); % 共轭复根对 aroots = cplxpair(roots(a)); for i=1:2:2*K Brow = broots(i:1:i+1,:); Brow = real(poly(Brow)); % 把根转换为二阶多项式 B(fix((i+1)/2),:) = Brow; % fix：趋0（q去掉小数部分取整） Arow = aroots(i:1:i+1,:); Arow = real(poly(Arow)); A(fix((i+1)/2),:) = Arow; end
结论：
1. 滤波器的基本特性（如有限长冲激响应FIR与无限长冲激
响应IIR）决定了结构上有不同的特点。
8
2. 不同结构所需的存储单元及乘法次数不同，前者影响复杂
性，后者影响运算速度。 3. 有限精度（有限字长）实现情况下，不同运算结构的误差 及稳定性不同。 4. 好的滤波器结构应该易于控制滤波器性能，适合于模块化 实现，便于时分复用。
H(z)分子、分母都是实系数多项式，根只有实根和共轭复根两种情况。
若将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一个实系数的二阶因子，
并把单个的实根因子看成是二次项系数等于零的二阶因子，则可以把 H(z)表示成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积形式，即：
H(z) A Hj (z)
j 1
K
回顾：IIR滤波器结构
系统函数：
H (z)
i b z i i0
M
1 ai z i
i 1
N
回顾：什么是滤波器
H(z) 可以对应不同结构。例如：
7
H (z)
1
1 2
1 3z 2z 2 1 1 1 1 2z 1 z 1 1 1 1 1 2z 1 z
回顾：什么是滤波器
画出直接II型结构：
x(n) 8 y(n)
54
34 18
z－1 －4 z－1 1 1
z－1 －2
回顾：IIR滤波器结构
显然：
18
1. 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元少，用硬件实现可以节 省寄存器，比直接Ⅰ型经济； 2. 若用软件实现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型 结构都存在调整零、极点困难，对系数量化效应敏感度高 等缺点。
dir2cas(b,a)
1 1 2 1 0 . 1 9 z 1 0 . 3 1 z 1 . 3 1 6 1 z H ( z )8 1 1 2 1 0 . 2 5 z 1 z 0 . 5 z
练习 1
已知：
26
1 6 y ( n )1 2 y ( n 1 )2 y ( n 2 )4 y ( n 3 ) y ( n 4 ) x ( n )3 x ( n 1 )1 1 x ( n 2 )2 7 x ( n 3 )1 8 x ( n 4 )
回顾：IIR滤波器结构
IIR滤波器的特点：
单位冲激响应h(n)是无限长的，n→∞；
9
系统函数H(z)在有限长Z平面（0<|Z|<∞)有极点存在；
结构上存在输出到输入的反馈，也即结构上是递归型的； 因果稳定的IIR滤波器其全部极点一定在单位园内。
回顾：IIR滤波器结构
1. 直接型
10
直接根据H(z)表达式画出直接I型结构： x(n) 8 Z-1 -4
Z-1
16
y(n) 5/4 Z-1
11 -2
-3/4 Z-1 1/8 Z-1
Z-1
阅读—— P129 【例5.3.1】
再由H(z)写出差分方程如下：
17
5 3 1 yn ( ) yn ( 1 ) yn ( 2 )+ yn ( 3 ) 8( xn ) 4 4 8 4( xn 1 )+ 1 1( xn 2 ) 2( xn 3 )
21
x ( n )
2
－ 1 z
4
－ 1 z － 1 . 2 4 － 1 z 5 . 2 6 4
y ( n )
0 . 2 5
－ 0 . 3 7 9
－ 0 . 5
回顾：IIR滤波器结构
22
级联型结构的特点： ① 每个一阶网络：只关系滤波器的一个零点、一个极点； ② 每个二阶网络：只关系滤波器的一对共轭零点和一对共轭极点； ③ 调整系数β0j、β1j和β2j：只会影响滤波器的第j对零点，对其他零点
直接型→级联型
function [b0,B,A] = dir2cas(b,a); b0 = b(1); b = b/b0; a0 = a(1); a = a/a0; b0 = b0/a0; M = length(b); N = length(a); if N > M b = [b zeros(1,N-M)]; elseif M > N a = [a zeros(1,M-N)]; N = M; else NM = 0; end
回顾：什么是滤波器
号。
6
数字滤波器是 离散 时间系统，所处理的信号是离散时间信 时域离散系统可以用 差分方程 、单位脉冲响应 以及系统函 数进行描述。如果系统输入、输出服从N 阶差分方程：
M N
y ( n ) b x ( n i ) a ( n i ) i iy
i 0 i 1
b2
a2 z
－1
…
…
…
…
…
bN－1
aN－1
x(n－ N)
z－1 b N
－1 aN z
…
y(n－ N)
回顾：IIR滤波器结构
特点：
① 两个网络级联： 横向延时网络，实现零点；
② 反馈延时网络，实现极点；
11
② 共需(N+M)级延时单元；
③ 系数ai、bi：不直接决定单个零极点，不能很好进行滤波器性能控制； ④ 极点：对系数的变化过于灵敏，从而使系统频率响应对系统变化过于
24
例 1（续 1）
将例1转换为级联型。
代码如下： b=[8,-4,11,-2];
结果如下：
b0 = 8 B= 1.0000 1.0000 A= 1.0000 1.0000
25
-0.3100 1.3161 -0.1900 0 -1.0000 0.5000 -0.2500 0
a=[1,-1.25,0.75,0.125]; [ b 0 , B , A ] =
灵敏，也就是对有限精度（有限字长）运算过于灵敏，容易出现不稳 定或产生较大误差。
直接型 —— 函数
P130 filter函数 格式：
12
y n f i l t e r ( B , A , x n )
分母 系数向量
分子 系数向量
按直接型对输入信号进行滤波。
例 1 —— 应用函数
若已知：
13
84 z 1 1 z 2 z H （ z ) 3 2 3 1 1 . 2 5 z 0 . 7 5 z 0 . 1 2 5 z
若信号和噪声的频谱相互重叠，那么经典滤波器将无能为力。 提取 信号 现代滤波器 主要研究从含有噪声时间序列中估计出信号的某些特征或信号本身。 一旦信号被估计出，那么估计出的信号将比原信号会有高的信噪比。 现代滤波器把信号和噪声都视为 随机信号 ，利用它们的统计特征（如 自相关函数、功率谱等）导出一套最佳估值算法，然后用硬件或软件 予以实现。 现代滤波器源于 维纳，代表有维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测 器、自适应滤波器等。