人教版九年级数学上22.1.3第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 教学课件
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第二十二章 二次函数
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
教学设计 新课导入
1．描点法画出一次函数的步骤：分别为 列表 、 描点 、 ___连__线___三个步骤．
2.二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条 抛物线 ，
当a>0时，它的开口向 上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
8 6 4 2
－4 －2
24
探究新知
8 6 4 2
－4 －2
y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1
10 8 6 4 2
－4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
24
知识归纳
1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：
函数解析式
顶点 坐标
对称 轴
开口方向
增减性
y＝ax2(a≠0)
(0， 0)
y＝ax2＋k(a≠0)
(0， k)
y轴
当a＞0时 ，抛物线 开口向上 ； 当a＜0时 ，抛物线 开口向下.
（2）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为 相反数解答即可；
（3）分别求出当x=0和x=2时，y的值，根据题意列出方程，解方 程即可得到答案．
例2 直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：
(1)经过点(－3，2)； (2)与y பைடு நூலகம்1 x2 的开口大小相同，方向相反；
2 (3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4. 解：（1）由题意得，9a-1=2，解得：a 1
则函数解析式为：y 1 x2 1 3
3
（2）函数表达式为：y 1 x2 1
2
（3）当x=0时，y=-1，当x=2时，y=4a-1，
由题意得，-1-（4a-1）=4，解得a=-1，
则函数解析式为：y=-x2-1．
A．y1＜y2
B．y1＝y2
C．y1＞y2
D．无法确定
4．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2， 则a＝_－__3_，c＝__4__．
课堂小结
a，k的符号
a>0，k>0 a>0，k<0
a<0，k>0
a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴
顶点坐标
向上 y轴（直线 x=0）
（0，k）
y 2x2 3
向上
y轴
（0,-3）
当 x＝0时，有 最小值y＝－3
例2 直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式： (1)经过点(－3，2)； (2)与 y 1 x2 的开口大小相同，方向相反；
2
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：（1）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
；(在0，对0称) 轴的左侧，y随x的增大而
，在减对小称轴的右侧
，y随x的增大而____；当x增＝大____时，y取0 最____值． 小
当a<0时又会有什 么变化呢？
探究新知
画出二次函数 y=2x²，y=2x2+1 ，y=2x2-1 的图象.
x
… -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
随堂练习
1．教材P33 练习．
2.对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是( B )
A．最大值为3
B．图象与y轴没有交点
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．其图象关于y轴对称
3．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系是( C )
24
抛物线y＝2x2＋1与y＝ 2x2－1的开口方向、对 称轴、顶点各是什么？
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
y=2x2+1
向上 （0,1） y轴
y=2x2-1
向上 （0,-1） y轴
探究新知
抛物线y＝2x2＋1，y＝ 2x2－1与抛物线y＝2x2 有什么位置关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长度，就 得到抛物线 y=2x2+1；把抛物 线 y=2x2 向 下 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2-1.
当向上平移 k 时
y=ax2+k
y=ax2
k＞0
当向下平移k时
y=ax2-k
例题与练习
例1 指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．
1y 1 x2 4; 2y 2x2 3
3
开口 对称 顶点 方向 轴 坐标
最值
y 1 x2 4; 向下
3
y轴
（0,4）
当x＝0时，有 最大值y＝4
向下 y轴（直线 x=0）
（0，k）
函数的增减性 最值
当 x<0 时，y 随 x 增大而 减小；当 x>0 时，y 随 x 增大而增大.
x=0时，y最小值=k
当 x<0 时，y 随 x 增大而增 大；当 x> 0时，y 随 x 增大 而减小.
x=0时，y最大值=k
作业布置
1.教材P41习题22.1第5题（1）； 2.见学生用书对应练习．
当a＞0时，在对称轴左 侧，y随x的增大而 减小
，在对称轴右侧，y随x 的增大而增大____ ；当a＜0
时，在对称轴左侧，y随 x的增大增而大_____ ，在对
称轴右侧，y随x的增大 而减小____.
知识归纳
2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上 或向下平移__|k_|_个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ ax2向_上___平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k ＜0时，抛物线y＝ax2向_下___平移_－__k_个单位长度得到抛物 线y＝ax2＋k.
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质
第1课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
教学设计 新课导入
1．描点法画出一次函数的步骤：分别为 列表 、 描点 、 ___连__线___三个步骤．
2.二次函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条 抛物线 ，
当a>0时，它的开口向 上 ，对称轴是 y轴 ，顶点坐标是
y=2x2+1 … 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 …
y=2x2 … 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 …
y=2x2-1 … 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 …
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－4 －2
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探究新知
8 6 4 2
－4 －2
y=2x2+1 y=2x2 y=2x2-1
10 8 6 4 2
－4 －2 －2
y = 2x2＋1 y = 2x2－1
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知识归纳
1．抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k的区别和联系：
函数解析式
顶点 坐标
对称 轴
开口方向
增减性
y＝ax2(a≠0)
(0， 0)
y＝ax2＋k(a≠0)
(0， k)
y轴
当a＞0时 ，抛物线 开口向上 ； 当a＜0时 ，抛物线 开口向下.
（2）根据两抛物线开口大小相同，方向相反时，二次项系数化为 相反数解答即可；
（3）分别求出当x=0和x=2时，y的值，根据题意列出方程，解方 程即可得到答案．
例2 直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式：
(1)经过点(－3，2)； (2)与y பைடு நூலகம்1 x2 的开口大小相同，方向相反；
2 (3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4. 解：（1）由题意得，9a-1=2，解得：a 1
则函数解析式为：y 1 x2 1 3
3
（2）函数表达式为：y 1 x2 1
2
（3）当x=0时，y=-1，当x=2时，y=4a-1，
由题意得，-1-（4a-1）=4，解得a=-1，
则函数解析式为：y=-x2-1．
A．y1＜y2
B．y1＝y2
C．y1＞y2
D．无法确定
4．抛物线y＝ax2＋c向下平移2个单位长度得到抛物线y＝－3x2＋2， 则a＝_－__3_，c＝__4__．
课堂小结
a，k的符号
a>0，k>0 a>0，k<0
a<0，k>0
a<0，k<0
图象
开口方向 对称轴
顶点坐标
向上 y轴（直线 x=0）
（0，k）
y 2x2 3
向上
y轴
（0,-3）
当 x＝0时，有 最小值y＝－3
例2 直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数解析式： (1)经过点(－3，2)； (2)与 y 1 x2 的开口大小相同，方向相反；
2
(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.
解：（1）把x=-3，y=2代入解析式求出a的值即可；
；(在0，对0称) 轴的左侧，y随x的增大而
，在减对小称轴的右侧
，y随x的增大而____；当x增＝大____时，y取0 最____值． 小
当a<0时又会有什 么变化呢？
探究新知
画出二次函数 y=2x²，y=2x2+1 ，y=2x2-1 的图象.
x
… -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 …
随堂练习
1．教材P33 练习．
2.对于二次函数y＝－x2＋3，下列说法中错误的是( B )
A．最大值为3
B．图象与y轴没有交点
C．当x＜0时，y随x的增大而增大
D．其图象关于y轴对称
3．已知抛物线y＝4x2＋2上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2
＜0，则y1与y2的大小关系是( C )
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抛物线y＝2x2＋1与y＝ 2x2－1的开口方向、对 称轴、顶点各是什么？
二次函数 开口方向 顶点坐标 对称轴
y=2x2+1
向上 （0,1） y轴
y=2x2-1
向上 （0,-1） y轴
探究新知
抛物线y＝2x2＋1，y＝ 2x2－1与抛物线y＝2x2 有什么位置关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 上 平移1个单位长度，就 得到抛物线 y=2x2+1；把抛物 线 y=2x2 向 下 平移1个单位长 度，就得到抛物线 y=2x2-1.
当向上平移 k 时
y=ax2+k
y=ax2
k＞0
当向下平移k时
y=ax2-k
例题与练习
例1 指出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值．
1y 1 x2 4; 2y 2x2 3
3
开口 对称 顶点 方向 轴 坐标
最值
y 1 x2 4; 向下
3
y轴
（0,4）
当x＝0时，有 最大值y＝4
向下 y轴（直线 x=0）
（0，k）
函数的增减性 最值
当 x<0 时，y 随 x 增大而 减小；当 x>0 时，y 随 x 增大而增大.
x=0时，y最小值=k
当 x<0 时，y 随 x 增大而增 大；当 x> 0时，y 随 x 增大 而减小.
x=0时，y最大值=k
作业布置
1.教材P41习题22.1第5题（1）； 2.见学生用书对应练习．
当a＞0时，在对称轴左 侧，y随x的增大而 减小
，在对称轴右侧，y随x 的增大而增大____ ；当a＜0
时，在对称轴左侧，y随 x的增大增而大_____ ，在对
称轴右侧，y随x的增大 而减小____.
知识归纳
2.二次函数y＝ax2＋k的图象可由抛物线y＝ax2的图象向上 或向下平移__|k_|_个单位长度得到．当k＞0时，抛物线y＝ ax2向_上___平移__k__个单位长度得到抛物线y＝ax2＋k；当k ＜0时，抛物线y＝ax2向_下___平移_－__k_个单位长度得到抛物 线y＝ax2＋k.