北师版数学高二-3.4素材 导数的运算中的几种常见题型分析

导数的运算中的几种常见题型分析

一、根据斜率求对应曲线的切线方程

例1.求曲线122

-=x y 的斜率等于4的切线方程．

分析：导数反映了函数在某点处的变化率，它的几何意义就是相应曲线在该点处切线的斜率，由于切线的斜率已知，只要确定切点的坐标，先利用导数求出切点的横坐标，再根据切点在曲线上确定切点的纵坐标，从而可求出切线方程．

解：设切点为),(00y x P ，则 x x y 4)12(2='-='，∴40='=x x y ，即440=x ，∴10=x

当10=x 时，10=y ，故切点P 的坐标为（1，1）．

∴所求切线方程为)1(41-=-x y

即.034=--y x

说明：数学问题的解决，要充分考虑题设条件，捕捉隐含的各种因素，确定条件与结论的相应关系，解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件，或受思维定势的消极影响，先设出切线方程，再利用直线和抛物线相切的条件，使得解题的运算量变大．

二、化为幂函数的结构特征利用公式求函数的导数

例2.求下列函数的导数：

1．12x y =；2．41x

y =；3．53x y =． 分析：根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构施行调整．函数41x

y =和53x y =的形式，这样在形式上它们都满足幂函数的结构特征，可直接应用幂函数的导数公式求导． 解：1．.1212)(1111212x x

x y =='='- 2．.44)4()(55144x x x

x y -=-=-='='---- 3．.535353)()(52521535353x

x x x x y ==='='='-- 说明：对于简单函数的求导，关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函数的模式，以免求导过程中出现指数或系数的运算失误．运算的准确是数学能力高低的重要标志，要从思想上提高认识，养成思维严谨，步骤完整的解题习惯，要形成不仅会求，而且求对、求好的解题标准．

三、求常函数的导数

例3.设2

π=y ，则y '等于（ ）

A ．π2

B ．2

π C ．0 D ．以上都不是

分析：本题是对函数的求导问题，直接利用公式即可

解：因为π是常数，常数的导数为零，所以选C ．

四. 三角函数或分式函数的求导

例3. 求下列函数的导数： 1.求2cos 2sin x x x y -=的导数； 2.求y ＝x

x x x x 9532-+-的导数。 解：1.先使用三角公式进行化简.

x x x x x y sin 2

12cos 2sin -=-= .cos 211)(sin 21sin 21'''

'x x x x x y -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴ 2. y ＝x

x x x x 9

532-+-=233x －x ＋５－219-x ∴ y '＝３*（x 23

）＇－x ＇＋５＇－９21(x ）＇＝３*2321

x －１＋０－９*（－21）23-x ＝1)11(292-+x

x 。 说明：（1）求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；（2）有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导．有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量。

五、求直线方程

例5.求过曲线x y cos =上点⎪⎭

⎫ ⎝⎛21,3πP 且与过这点的切线垂直的直线方程． 分析：要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可先通过求导确定曲线在点P 处切线的斜率，再根据点斜式求出与切线垂直的直线方程．

解：x y cos = ，∴.sin x y -=' 曲线在点⎪⎭⎫ ⎝⎛21,3πP 处的切线斜率是.233sin 3

-=-='=ππx y ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为

32， ∴所求的直线方程为⎪⎭⎫ ⎝

⎛-=-33221πx y ，即0233232=+--πy x ．

说明：已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义．在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考察函数在切点处的导数y '是否为零，当0='y 时，切线平行于x 轴，过切点P 垂直于切线的直线斜率不存在．