高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A

B

C D P 《立体几何》专题 练习题

1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点，

P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点， （1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；

（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线

2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β．

3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标；

②求异面直线EF 与AD 所成的角；

③求点C 到截面AEFG 的距离．

4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ．

(I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；

（III ）求二面角C-PA-B 的余弦值．

5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF

⊥平面ACE.

(1)求证AE ⊥平面BCE ；

(2)求二面角B —AC —E 的余弦值．

6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上.

P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F

E C B y Z

x G D A

（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1；

（Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长.

7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2．

（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；

（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE

与PC 所成角的余弦值；

8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证： （Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1；

（Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值．

9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为

棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点．

（Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ；

（Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ；

（Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小

10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足

21==QC CQ PB AP . P A B C D E

（1）求证：A 1P ⊥平面AQD ；

（2）求直线PQ 与平面AQD 所成角的正弦值.

11. 如图,长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是线段B 1D 1、A 1B 上的点，且D 1E=2EB 1,BF=2FA 1．

（1）求证:EF ∥AC 1；

（2）若EF 是两异面直线B 1D 1、A 1B 的公垂线段,求证该长方体为正方体．

12. 如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=

21AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1，B ，M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N.

（Ⅰ）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；

（Ⅱ）求二面角B —A 1N —B 1的正切值.

D C A B D 1 C 1 A 1 B 1

E

F Q P D 1 C 1 A 1 B 1 D C A B