2025届上海市闵行区上虹中学九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题【含答案】

2025届上海市闵行区上虹中学九年级数学第一学期开学达标检测模拟试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）某班数学兴趣小组5位同学的一次数学测验成绩为82，83，88，85，87(单位：分)，经过计算这组数据的方差为5.2，小李和小明同学成绩均为85分，若该组加入这两位同学的成绩则()A ．平均数变小B ．方差变大C ．方差变小D ．方差不变2、（4分）小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A ．759011.82x x =+B ．759011.82x x =-C ．759011.82x x =+D ．759011.82x x =-3、（4分）如图，在直角三角形中，，，，点为的中点，点在上，且于，则＝()
A ．
B ．
C ．
D ．
4、（4分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（）
A ．平行四边形
B ．正方形
C ．等腰梯形
D ．矩形
5、（4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 是菱形，点A 的坐标为（0），
分别以A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于点E ，F ，直线EF 恰好经过点D ，则点D 的坐标为（）A ．（2，2）B ．（2）C ．，2）D ．（+16、（4分）在平行四边形ABCD 中，若∠A+∠C=260°，则∠D 的度数为（）A ．120°B ．100°C ．50°D ．130°7、（4分）二次函数y =ax2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图,图象过点（-1,0），对称轴为直线x =2,下列结论:①4a +b =0;②9a +c ＞3b ;③8a +7b +2c ＞0;④当x ＞-1时,y 的值随x 值的增大而增大.其中正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8、（4分）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC ＝（）
A ．35°
B ．45°
C ．50°
D ．55°
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在ABCD 中，60B ∠=︒，4AB =，点H 、G 分别是边CD 、BC 上的动点.连接AH 、HG ，点E 、F 分别是AH 、GH 的中点，连接EF .则EF 的最小值为
________.10、（4分）某商品经过两次连续涨价，每件售价由原来的100元涨到了
179元，设平均每次涨价的百分比为x ，那么可列方程：______11、（4分）如图在平行四边形ABCD 中，CD ＝2AD ，BE ⊥AD ，点F 为DC 中点，连接EF
、BF ，下列结论：①∠ABC ＝2∠ABF ；②EF ＝BF ；③S 四边形DEBC ＝2S △EFB ；④∠CFE ＝3∠DEF ，其中正确的有_____．12、（4分）如图，是用形状、大小完全相同的等腰梯形密铺成的图案，则这个图案中的等腰梯形的底角（指钝角）是___________度．（温馨提示：等腰梯形是一组对边平行，且同一底边上两底角相等的四边形）13、（4分）一次函数(0)y kx b k =+≠的图象如图所示，则关于x 的不等式0kx b +≤的解集为__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）关于x 的方程()2204k
kx k x +++=有两个不相等的实数根．
()1求实数k 的取值范围；
()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．15、（8分）解不等式组：()562335
1344x x x x ⎧-≤+⎪⎨-<-⎪⎩，并将不等式组的解集在所给数轴上表示出来．16、（8分）已知：如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点，点F 、G 是边AC 的三等分点，DF 、EG 的延长线相交于点H ，连接HA 、HC ．(1)求证：四边形FBGH 是菱形；(2)求证：四边形ABCH 是正方形．17、（10分）解下列不等式或不等式组（1）1124x x -
+≥；（2）()3241213x x x x ⎧--≥⎪⎨+>-⎪⎩18、（10分）直线343y x =-+与x 轴、y 轴分別交于A 、B 两点，C 是OB 的中点，D 是线段AB 上一点.
(1)求点A 、B 的坐标；(2)若四边形OEDC 是菱形，如图1，求AOE ∆的面积；(3)若四边形OEDC 是平行四边形，如图2，设点D 的横坐标为x ，AOE ∆的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式.B 卷（50分）一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）19、（4分）若实数a 、b 满足a 2—7a+2=0和b 2—7b+2=0,则式子b a a b +的值是____.20、（4
分）每本书的厚度为0.62cm，把这些书摞在一起总厚度h（单位：cm）随书的本数n 的变化而变化，请写出h 关于
n 的函数解析式_____．21、（4分）关于x 的方程2322x m x x -+--=3有增根，则
m 的值为___________．22、（4分）如图，如果甲图中的阴影面积为S 1，乙图中的阴影面积为S 2，那么12S S =________.（用含a 、b 的代数式表示）23、（4分）化为最简二次根式的结果是________________二、解答题（本大题共3个小题，共30分）24、（8分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2，周长是1．
求：（1）两条对角线的长度；（2）菱形的面积．
25、（10分）如图1．在边长为10的正方形ABCD 中，点M 在边AD 上移动（点M 不与点A ，D 重合），MB 的垂直平分线分别交AB ，CD 于点E ，F ，将正方形ABCD 沿EF 所在直线折叠，则点B 的对应点为点M ，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，
（1）若4AM =，求BE 的长；（2）随着点M 在边AD 上位置的变化，MBP ∠的度数是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MBP ∠的度数；（3）随着点M 在边AD 上位置的变化，点P 在边CD 上位置也发生变化，若点P 恰好为CD 的中点（如图2），求CF 的长．26、（12分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 分别交射线AD 与射线CB 于点E 和点F ，联结CE 、AF ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）当点E 、F 分别在边AD 和BC 上时，如果设AD ＝x ，菱形AFCE 的面积是y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（3）如果△ODE 是等腰三角形，求AD 的长度．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、C 【解析】分别计算出原数据和新数据的方差即可得.【详解】解：原数据的平均数为：8283888587855++++=，方差为：222221(8285)(8385)(8585)(8785)(8885) 5.25⎡⎤⨯-+-+-+-+-=⎣⎦；新数据的平均数为：82838585858788857++++++=，所以方差为：222221(8285)(8385)3(8585)(8785)(8885) 3.77⎡⎤⨯-+-+⨯-+-+-≈⎣⎦∵5.2 3.7>∴方差变小．故选择：C.本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式2、A 【解析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h ，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h ，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【详解】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h ，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h ，由题意得：75901
1.82x x =+，
故选A ．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
3、C
【解析】
根据勾股定理先求出AB 的长度,利用角关系得出等腰ACD 及等腰BCD ，得出
CD=BD=AD=AB=【详解】如图∵，，∴∵点为的中点，于∴ED 垂直平分AC ∴AD=CD ∴∠1=∠2∵∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°∴∠3=∠4∴CD=BD ∴CD=BD=AD=AB=故选：C 本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质和判定，掌握由角关系推出线关系是解题的关键.
4、B
【解析】
解：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，
故选B ．
本题考查等腰梯形的性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质．
5、B
【解析】连接DB ，如图，利用基本作图得到EF 垂直平分AB ，则DA ＝DB ，再根据菱形的性质得到AD ∥BC ，AD ＝AB ，则可判断△ADB 为等边三角形，所以∠DAB ＝∠ABO ＝60°，然后计算出AD ＝2，从而得到D 点坐标．【详解】连接DB ，如图，由作法得EF 垂直平分AB ，∴DA ＝DB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，AD ＝AB ，∴AD ＝AB ＝DB ，∴△ADB 为等边三角形，∴∠DAB ＝60°，∴∠ABO ＝60°，∵A （0），∴OA ，∴OB ＝3OA ＝1，AB ＝2OB ＝2，∴AD ＝AB ＝2，而AD 平行x 轴，∴D （2）．故选：B ．
考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知
角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和菱形的性质6、C 【解析】根据平行四边形的对角相等、邻角互补的性质即可求解.【详解】∵四边形ABCD 为平行四边形∴∠A=∠C ，∠A+∠D=180°，∵∠A+∠C=260°，∴∠A=∠C=130°，∴∠D =180°-∠A=50°.故选C.本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是解决问题的关键.7、B 【解析】根据抛物线的对称轴即可判定①；观察图象可得，当x=-3时，y ＜0，由此即可判定②；观察图象可得，当x=1时，y ＞0，由此即可判定③；观察图象可得，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，即可判定④.【详解】由抛物线的对称轴为x=2可得2b a -=2，即4a+b=0，①正确；观察图象可得，当x=-3时，y ＜0，即9a-3b+c ＜0，所以3a c b +＜，②错误；观察图象可得，当x=1时，y ＞0，即a+b+c ＞0，③正确；观察图象可得，当x ＞2时，y 的值随x 值的增大而增大，④错误．
综上，正确的结论有2个.
故选B.
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛
物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定，△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8、D 【解析】延长PF 交AB 的延长线于点G ．根据已知可得∠B ，∠BEF ，∠BFE 的度数，再根据余角的性质可得到∠EPF 的度数，从而不难求得∠FPC 的度数．【详解】解：延长PF 交AB 的延长线于点G ．在△BGF 与△CPF 中，,GBF PCF BF CF BFG CFP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGF ≌△CPF （ASA ），∴GF ＝PF ，∴F 为PG 中点．又∵由题可知，∠BEP ＝90°，∴12EF PG =（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），∵12PF PG =（中点定义），∴EF ＝PF ，∴∠FEP ＝∠EPF ，∵∠BEP ＝∠EPC ＝90°，∴∠BEP ﹣∠FEP ＝∠EPC ﹣∠EPF ，即∠BEF ＝∠FPC ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AB ＝BC ，∠ABC ＝180°﹣∠A ＝70°，
∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，
∴BE ＝BF ，()1
18070552BEF BFE ∠=∠=︒-︒=︒，
易证FE ＝FG ，
∴∠FGE ＝∠FEG ＝55°，∵AG ∥CD ，∴∠FPC ＝∠EGF ＝55°故选：D ．此题主要考查了菱形的性质的理解及运用，灵活应用菱形的性质是解决问题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）【解析】连接AG ，利用三角形中位线定理，可知12EF AG =，求出AG 的最小值即可解决问题．【详解】解：如图1，连接AG ，∵点E 、F 分别是AH 、GH 的中点，∴12EF AG =，∴EF 的最小值，就是AG 的最小值，
当AG BC ⊥时，AG 最小，如图2，
Rt ABG ∆中，60B ∠=︒，
∴30BAG ∠=︒，∵4AB =，∴2BG =，AG =，∴12EF AG ==，∴EF ..本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是确定EF 的最小值，就是AG 的最小值，属于中考填空题中的压轴题．10、100（1+x ）2=179【解析】由两次涨价的百分比平均每次为x ，结合商品原价及两次涨价后的价格，即可列出关于x 的一元二次方程，此题得解.【详解】解：∵两次涨价平均每次的百分比为x ，∴100(1+x)2=179.故答案为：100(1+x)2=179.本题考查了一元二次方程的应用.11、①②③④【解析】延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．想办法证明EF=FG ，BE ⊥BG ，四边形BCFH 是菱形即可解决问题．
【详解】
如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H 连接FH ．
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵C D∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
＝S△CFG，
∵S
△DFE
＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，∴S
四边形DEBC
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②③④本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12、1【解析】仔细观察可发现等腰梯形的三个钝角的和是360°，从而可求得其钝角的度数．【详解】解：根据条件可以知道等腰梯形的三个钝角的和是360°，因而这个图案中等腰梯形的底角是360°÷3=1°，故答案为：1．本题考查了平面镶嵌（密铺）和等腰梯形的性质，正确观察图形，得到梯形角的关系是解题的关键．13、x ≥1【解析】由图象得出解集即可．【详解】由图象可得0kx b +≤再x 轴下方,即x ≥1的时候,故答案为:x ≥1．本题考查一次函数图象的性质,关键在于牢记基础知识．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，
解不等式即可求出k 的取值范围.
()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.
【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>，1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ，由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=，43k ∴=-，由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意，因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。

15、2x <，见解析【解析】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【详解】
解：()
5623351344x x x x
⎧-≤+⎪⎨-<-⎪⎩①
②
∵解不等式①得：x≤4，
解不等式②得：x ＜2，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
．
此题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，解题关键是能根据不等式得解集找出不等式组的解集．
16、（1）见解析（2）见解析
【解析】
（1）由三角形中位线知识可得DF∥BG，GH∥BF，根据菱形的判定的判定可得四边形FBGH 是菱形；
（2）连结BH，交AC于点O，利用平行四边形的对角线互相平分可得OB=OH，OF=OG，又AF=CG，所以OA=OC．再根据对角线互相垂直平分的平行四边形得证四边形ABCH是菱形，再根据一组邻边相等的菱形即可求解．
【详解】
（1）∵点F、G是边AC的三等分点，
∴AF=FG=GC．
又∵点D是边AB的中点，
∴DH∥BG．
同理：EH∥BF．
∴四边形FBGH是平行四边形，
连结BH，交AC于点O，
∴OF=OG，
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BH⊥FG，
∴四边形FBGH是菱形；
（2）∵四边形FBGH是平行四边形，
∴BO=HO，FO=GO．
又∵AF=FG=GC，
∴AF+FO=GC+GO ，即：AO=CO ．∴四边形ABCH 是平行四边形．∵AC ⊥BH ，AB=BC ，∴四边形ABCH 是正方形．本题考查正方形的判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线，熟练掌握正方形的判定和性质是解题的关键．17、(1)2x ≥-；(2)1x ≤.【解析】(1)先去分母，再去括号，移项、合并同类项即可；(2)分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【详解】（1）1124x x -+≥2(x-1)+4≥x 2x-2+4≥x 2x-x ≥2-4
x ≥-2.
(2)(
)324
121
3x x x
x ⎧--≥⎪⎨+>-⎪⎩解不等式()324x x --≥是：1x ≤，
解不等式1213x x +>-得：4x ≤，所以不等式组的解集为1x ≤.考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．18、（1）A ，(0,4)B ；（2）OEA S ∆=；（3）当0x <<时，2S x =-+；当x <≤时，2S x =-【解析】（1）当x=0时，y=4，当y=0时，A ，点B 坐标；（2）过点D 作DH ⊥BC 于点H ，由锐角三角函数可求∠ABO=60°，由菱形的性质可得OC=OD=DE=2，可证△BCD 是等边三角形，可得BD=2，可求点D 坐标，即可求△AOE 的面积；（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质和三角形面积公式可求解．【详解】解：（1）∵直线y=-3x+4与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当x=0时，y=4，当y=0时，x=4∴点A （，0），点B （0，4）（2）如图1，过点D 作DH ⊥BC 于点H ，
OA =4
OB =
∴tan ∠ABO =OA
OB
60OBA
∴∠=︒C 为OB 的中点，四边形OEDC 为菱形，2OC CB CD DE ∴==
==BCD ∴∆为等边三角形∴BD=2∵DH ⊥BC
，∠ABO=60°∴BH=1，
∴当y=3∴D
3）∴S △AOE =12×（3-2）(3)由D
是线段AB 上一点，设(,4)
3D x x -+四边形OEDC 是平行四边形2OC DE
∴==(,2)3E x x ∴-+当
3203x -+>，即0
x <<
时13
(2)2
23S x x =⨯-+=-+当203x -+<，即x <≤时
1
2)223S x x =⨯-=-本题是一次函数综合题，考查了一次函数的应用，菱形的性质，平行四边形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、452.【解析】由实数a ，b 满足条件a 2-7a+2=0，b 2-7b+2=0，可把a ，b 看成是方程x 2-7x+2=0的两个根，再利用根与系数的关系求解即可.【详解】解：由实数a ，b 满足条件a 2-7a+2=0，b 2-7b+2=0，∴可把a ，b 看成是方程x 2-7x+2=0的两个根，∴a+b=7，ab=2，∴b a a b +=22b a ab +=2()2a b ab ab +-=4944522-=.故答案为：452．本题考查了根与系数的关系，属于基础题，根据题意把a ，b 看成是方程的两个根后根据根与系数的关系求出a+b ，ab 是解题的关键.20、h=0.62n 【解析】依据这些书摞在一起总厚度h （cm ）与书的本数n 成正比，即可得到函数解析式.【详解】每本书的厚度为0.62cm ，∴这些书摞在一起总厚度h （cm ）与书的本数n 的函数解析式为0.62h n =.故答案为：0.62h n =.本题主要考查了根据实际问题确定一次函数的解析式，找到所求量的等量关系是解决问题的关键.21、m=－1．
【解析】
方程两边都乘以最简公分母()2x -，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x 的值，然后代入进行计算即可求出m 的值．
【详解】
方程两边都乘以(x −2)得，
()233(2)x m x --=-，∵分式方程有增根，∴x −2=0，解得x =2，∴4−3+m =3(2−2)，解得 1.m =-故答案为 1.-考查分式方程的增根，增根就是使最简公分母等于0的未知数的值．22、a b a
+【解析】左边阴影部分用大正方形面积减小正方形的面积，右边阴影部分的面积等于长乘以宽，据此列出式子，再因式分解、约分可得【详解】
解：2
212()()()()S
a b a b a b a b S a a b a a b a -+-+=
==--，故答案为：a b a +
．本题主要考查因式分解的应用及分式的化简，根据图示列出面积比的算式是解题的关键．23、【解析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．【详解】，
故答案为：此题主要考查了二次根式的化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）AC =8，BD =（2）ABCD S =.
【解析】
（1）首先证明△ABC 是等边三角形，解直角三角形OAB 即可解决问题；（2）菱形的面积等于对角线乘积的一半；【详解】解：(1)菱形ABCD 的周长为1，∴菱形的边长为1÷4=8∵∠ABC ：∠BAD =1：2，∠ABC +∠BAD =180°∠ABC =60°，∠BCD =120°△ABC 是等边三角形∴AC =AB =8∵菱形ABCD 对角线AC 、BD 相交于点O ∴AC ⊥BD ，∠ABO =12∠ABC =30°∴OA =12AB =4∴BO ==∴BD =(2)11822ABCD S AC BD =⋅=⨯⨯=本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形等知识，解题的关键是证明△ABC 是等边三角形，属于中考常考题型.25、（1）295；（2）不变，45°；（3）209．【解析】（1）由翻折可知：EB=EM ，设EB=EM=x ，在Rt △AEM 中，根据EM 2=AM 2+AE 2，构建方程即可解决问题．
（2）如图1-1中，作BH ⊥MN 于H ．利用全等三角形的性质证明∠ABM=∠MBH ，∠CBP=∠HBP ，即可解决问题．
（3）如图2中，作FG ⊥AB 于G ．则四边形BCFG 是矩形，FG=BC ，CF=BG ．设AM=x ，在Rt △DPM 中，利用勾股定理构建方程求出x ，再在Rt △AEM 中，利用勾股定理求出BE ，EM ，AE ，再证明AM=EG 即可解决问题．
【详解】
（1）如图1中，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A=90°，AB=AD=10，由翻折可知：EB=EM ，设EB=EM=x ，在Rt △AEM 中，∵EM 2=AM 2+AE 2，∴x 2=42+（10-x ）2，∴x=295．∴BE=295．（2）如图1-1中，作BH ⊥MN 于H ．∵EB=EM ，∴∠EBM=∠EMB ，∵∠EMN=∠EBC=90°，
∴∠NMB=∠MBC ，
∵AD ∥BC ，
∴∠AMB=∠MBC ，
∴∠AMB=∠BMN ，
∵BA ⊥MA ，BH ⊥MN ，
∴BA=BH ，
∵∠A=∠BHM=90°，BM=BM ，BA=BH ，∴Rt △BAM ≌△BHM （HL ），∴∠ABM=∠MBH ，同法可证：∠CBP=∠HBP ，∵∠ABC=90°，∴∠MBP=∠MBH+∠PBH=12∠ABH+12∠CBH=12∠ABC=45°．∴∠PBM=45°．（3）如图2中，作FG ⊥AB 于G ．则四边形BCFG 是矩形，FG=BC ，CF=BG ．设AM=x ，∵PC=PD=5，∴PM+x=5，DM=10-x ，在Rt △PDM 中，（x+5）2=（10-x ）2+25，∴x=103，∴AM=103，设EB=EM=m ，在Rt △AEM 中，则有m 2=（10-m ）2+（103）2，∴m=509，
∴AE=10-5040
99 ，
∵AM ⊥EF ，
∴∠ABM+∠GEF=90°，∠GEF+∠EFG=90°，
∴∠ABM=∠EFG ，
∵FG=BC=AB ，∠A=∠FGE=90°，
∴△BAM
≌△FGE （AAS ），∴EG=AM=103，∴CF=BG=AB-AE-EG=10-104020399-=．此题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．26、（1）见解析；（2）21(1)2x y x x +=≥；
（3）AD 或3.【解析】（1）由△DOE ≌△BOF ，推出EO=OF ，∵OB=OD ，推出四边形EBFD 是平行四边形，再证明EB=ED 即可．（2）由cos ∠DAC=AD OA AC AE =，求出AE 即可解决问题；（3）分两种情形分别讨论求解即可.【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，OB ＝OD ，
∴∠EDO ＝∠FBO ，
在△DOE 和△BOF 中，
EDO FBO
OD OB EOD BOF
∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，
∴△DOE ≌△BOF ，
∴EO ＝OF ，∵OB ＝OD ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵EF ⊥BD ，OB ＝OD ，∴EB ＝ED ，∴四边形EBFD 是菱形．（2）由题意可知：AC =，1OA OC 2==，∵AD OA cos DAC AC AE ∠==，∴21x AE 2x +=，∴21x y AE CD 2x +=⋅=，∵AE≤AD ，∴212x x x + ，∴x 2≥1，∵x ＞0，∴x≥1．即21x y 2x +=（x≥1）．（3）①如图2中，当点E 在线段AD 上时，ED ＝EO ，则Rt △CED ≌Rt △CEO ，
∴CD ＝CO ＝AO ＝1，
在Rt △ADC 中，AD ＝==
如图3中，当的E 在线段AD 的延长线上时，DE ＝DO ，∵DE ＝DO ＝OC ，EC ＝CE ，∴Rt △ECD ≌Rt △CEO ，∴CD ＝EO ，∵∠DAC ＝∠EAO ，∠ADC ＝∠AOE ＝90°，∴△ADC ≌△AOE ，∴AE ＝AC ，∵EO 垂直平分线段AC ，∴EA ＝EC ，∴EA ＝EC ＝AC ，∴△ACE 是等边三角形，∴AD ＝CD•tan30°＝3，综上所述，满足条件的AD 或3．本题考查四边形综合题、矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会转化的思想思考问题．。