高一数学人教B版必修4精练：2.3.1 向量数量积的物理背景与定义含解析

第二章 2.3 2.3.1
一、选择题
1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b |
D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D
[解析] ∵a ·c ＝b ·c ，
∴|a |·|c |cos<a ，c >＝|b |·|c |cos<b ，c >， 即|a |cos<a ，c >＝|b |cos<b ，c >，故选D ．
2．已知a 、b 为两个单位向量，则下列说法正确的是( ) A ．a ＝b B ．如果a ∥b ，那么a ＝b C ．a ·b ＝1 D ．a 2＝b 2
[答案] D
[解析] ∵a 、b 为两个单位向量， ∴|a |＝|b |＝1.
∴a 2＝|a |2＝1，b 2＝|b |2＝1， ∴a 2＝b 2，故选D ．
3．在△ABC 中，AB →·CB →<0，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定
[答案] C
[解析] ∵AB →与CB →的夹角与角B 相等，又AB →·CB →<0， ∴cos B <0，又∵0≤B ≤π， ∴B 为钝角，故选C ．
4．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4
[答案] C
[解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos<a ，b >＝4×cos30°＝2 3.
5．|m |＝2，m·n ＝8，<m ，n >＝60°，则|n |＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8
[答案] D
[解析] ∵m·n |m|·|n|＝cos<m ，n >，
∴
82|n |＝1
2
，∴|n |＝8. 6．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3
[答案] A
[解析] a 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3. 二、填空题
7．已知a ·b ＝16，若a 与b 方向上的射影数量为4，则|b |＝________. [答案] 4
[解析] 设a 与b 的夹角为θ， ∵a ·b ＝16，∴|a ||b |cos θ＝16.
又∵a 在b 方向上的射影的数量为4， ∴|a |cos θ＝4，∴|b |＝4.
8．若等腰△ABC 的底边BC 长为4，则BA →·BC →＝________. [答案] 8 [解析] 如图，
取BC 的中点D ，连接AD ，∵AB ＝AC ， ∵AD ⊥BC ．∴AB cos B ＝BD ＝2. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cos B ＝2×4＝8. 三、解答题
9.已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积．
(1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→.
[解析] (1)∵<P 1P 2→，P 1P 3→>＝π6，|P 1P 3→
|＝2 3.
∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→
|cos π6
＝2×23×
32
＝6. (2)∵<P 1P 2→，P 1P 4→>＝π3，|P 1P 4→
|＝4，
∴P 1P 2→·P 1P 4→
＝2×4×cos π3＝4.
(3)∵<P 1P 2→，P 1P 5→
>＝π2，
∴P 1P 2→·P 1P 5→＝0.
(4)∵<P 1P 2→，P 1P 6→
>＝2π3，
∴P 1P 2→·P 1P 6→
＝2×2×cos 2π3
＝－2.
一、选择题
1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c [答案] B
[解析] A 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，故只有选项B 正确．
2．已知向量a 、b 满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b ＝2，则a 与b 的夹角为( )
A ．π6
B ．π
4
C ．π3
D ．π2
[答案] C
[解析] cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝24＝1
2，
又∵<a ，b >∈[0，π]，∴<a ，b >＝π
3.
3．有下列四个式子： ①0·a ＝0； ②0·a ＝0； ③0－MN →＝NM →； ④|a ·b |＝|a ||b |，
其中正确的个数为( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个
[答案] D
[解析] 0·a ＝0，故①错；0·a ＝0，故②错；0－MN →＝NM →
，故③正确；|a ·b |＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉，故④错，
∴选D ．
4．已知平面上三点A 、B 、C ，满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于( )
A ．－7
B ．7
C ．28
D ．－28
[答案] D
[解析] 由题意可知，A 、B 、C 三点不共线， ∴|CA →
|2＝|AB |2＋|BC |2， ∴∠B 为直角，∴cos B ＝0， cos A ＝35，cos C ＝45.
∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →
＝|AB →|·|BC →|cos B ＋|BC →||CA →|cos(π－C )＋ |CA →||AB →
|cos(π－A )
＝0＋4×5×(－45)＋5×4×(－3
5)＝－28.
二、填空题
5．已知|a |＝4，|b |＝5，则a 在b 上的射影的数量与b 在a 上的射影的数量的比值λ＝________.
[答案] 4
5
[解析] a 在b 上的射影的数量等于|a |cos 〈a ，b 〉，b 在a 上的射影的数量等于|b |cos 〈b ，a 〉，
∴λ＝|a |cos 〈a ，b 〉|b |cos 〈b ，a 〉＝45
.
6．对于任意向量a 、b ，定义新运算“⊗”：a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ(其中θ为a 与b 的夹角)．利用这个新知识解决：若|a |＝1，|b |＝5，且a ·b ＝4，则a ⊗b ＝________.
[答案] 3
[解析] 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝45，∴sin θ＝3
5
. ∴a ⊗b ＝|a |·|b |·sin θ＝1×5×35＝3.
三、解答题
7.如图所示，在▱ABCD 中，|AB →|＝4，|AD →
|＝3，∠DAB ＝60°.求：
(1)AD →·BC →
； (2)AB →·CD →； (3)AB →·DA →.
[解析] (1)因为AD →∥BC →，且方向相同，所以AD →与BC →夹角是0°.所以AD →·BC →＝|AD →|·|BC →|·cos0°＝3×3×1＝9.
(2)因为AB →∥CD →，且方向相反，所以AB →与CD →的夹角是180°，所以AB →·CD →＝|AB →|·|CD →|·cos180°＝4×4×(－1)＝－16.
(3)AB →与AD →
的夹角为60°，
所以AB →与DA →
的夹角为120°，(←此处易错为60°.) 所以AB →·DA →＝|AB →|·|DA →
|·cos120°＝4×3×⎝⎛⎭
⎫－12＝－6. 8.已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，求a 与b 的夹角的取值范
围．
[解析] ∵方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根， ∴Δ＝|a |2－4a·b ≥0， ∴a·b ≤14
|a |2.
cos<a ，b >＝a·b |a|·|b|＝a·b |a |·|a |2＝a·b 12|a |2≤14
|a |
212|a |2＝12
，
又∵0≤<a ，b >≤π，∴π
3≤<a ，b >≤π.
即a 与b 的夹角的取值范围为⎣⎡⎦⎤
π3，π.。