人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习提优专项训练

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习提优专项训练
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，272BC AB B CE AB =∠=︒⊥，，于E F ，为AD 的中点，则AEF ∠的大小是( )
A ．54︒
B ．60︒
C ．66︒
D ．72︒
2．如图，在正方形ABCD 中，M 是对角线BD 上的一点，点E 在AD 的延长线上，连接AM 、EM 、CM ，延长EM 交AB 于点F ，若AM =EM ，30E ∠=︒，则下列结论：①MF ME =；②BF
DE =；③MC EF ⊥；④2BF MD BC +=，其中正确的
结论序号是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④ 3．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，A
E 平分BAD ∠交BC 于点E ，且60ADC ∠=︒，1
2AB BC =，连接OE ．下列结论：①AE CE =；
②ABCD S AB AC =⋅；③ABE AOE S S ∆∆=；④14
OE BC =，成立的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 4．如图，正方形ABCD 的边长为5，4AG CH ==，3BG DH ==，连接GH ，则线
段GH 的长为（ ）
A ．435
B ．75
C ．2
D ．52-
5．如图，正方形ABCD 的边长为10，8AG CH ==，6BG DH ==，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）
A ．83
B ．22
C ．145
D ．1052- 6． 如图，点P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，P
E ⊥BC 于点E ，P
F ⊥CD 于点F ，连接EF 给出下列五个结论：①AP=EF ；②AP ⊥EF ；③△APD 一定是等腰三角形；
④∠PFE=∠BAP ；⑤PD=2EC ．其中正确结论的番号是（ ）
A ．①②④⑤
B ．①②③④⑤
C ．①②④
D ．①④
7．如图：点E 、F 为线段BD 的两个三等分点，四边形AECF 是菱形，且菱形AECF 的周长为20，BD 为24，则四边形ABCD 的面积为（ ）
A ．24
B ．36
C ．72
D ．144
8．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（ ）
A ．32
B ．2
C ．52
D ．3
9．如图，在ABC 中，ACB 90∠=︒，2AC BC ==，D 是AB 的中点，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且AE CF =，给出以下四个结论：（1）DE DF =；（2）DEF 是等腰直角三角形；（3）四边形CEDF 面积ABC 1S 2=
△；（4）2EF 的最小值为2．其中正确的有（ ）．
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
10．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝1，CE ＝3，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）
A ．2
B ．52
C ．332
D 5二、填空题
11．在平行四边形ABCD 中， BC 边上的高为4 ，AB =5 ，25AC =，则平行四边形ABCD 的周长等于______________ ．
12．如图，∠MAN=90°，点C 在边AM 上，AC=4，点B 为边AN 上一动点，连接BC ，△A′BC 与△ABC 关于BC 所在直线对称，点D ，E 分别为AC ，BC 的中点，连接DE 并延长交A′B 所在直线于点F ，连接A′E ．当△A′EF 为直角三角形时，AB 的长为_____．
13．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．
14．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形ABCD 中，3AB =，2AC =，则BD 的长为_______________．
15．如图，在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则EF 的最小值为_____．
16．如图,长方形纸片ABCD 中,AB ＝6 cm,BC ＝8 cm 点E 是BC 边上一点，连接AE 并将△AEB 沿AE 折叠, 得到△AEB′，以C ，E ，B′为顶点的三角形是直角三角形时,BE 的长为___________cm.
17．如图，菱形ABCD 的边长是4，60ABC ∠=︒，点E ，F 分别是AB ，BC 边上的
动点（不与点A ，B ，C 重合），且BE BF =，若//EG BC ，//FG AB ，EG 与FG 相交于点G ，当ADG 为等腰三角形时，BE 的长为________．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，以BC 为一边作正方形BDEC 设正方形的对称中心为O ，连接AO ，则AO ＝_____．
19．如图，在正方形ABCD 中，AC=62，点E 在AC 上，以AD 为对角线的所有平行四边形AEDF 中，EF 最小的值是_________．
20．如图，矩形ABCD 中，CE CB BE ==，延长BE 交AD 于点M ，延长CE 交AD 于点F ，过点E 作EN BE ⊥，交BA 的延长线于点N ，23FE AN ==，，则BC =_________．
三、解答题
21．如图，在正方形ABCD 中，点G 在对角线BD 上（不与点B ，D 重合），GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，连结AG ．
（1）写出线段AG ，GE ，GF 长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD 的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG 的长．
22．如图，ABC ∆是等腰直角三角形，AB AC =，D 是斜边BC 的中点，,E F 分别是,AB AC 边上的点，且DE DF ⊥，若12BE =，5CF =，求线段EF 的长．
23．已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交于BE 的延长线于点F ，且AF=DC ，连接CF ．
（1）求证：D 是BC 的中点；
（2）如果AB=AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．
24．如图，在长方形ABCD 中，8,6AB AD ==． 动点P Q 、分别从点、D A 同时出发向点C B 、运动，点P 的运动速度为每秒2个单位，点Q 的运动速度为每秒1个单位，当点P 运动到点C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为()t s ．
（1）请用含t 的式子表示线段PC BQ 、的长，则PC ________，BQ =________． （2）在运动过程中，若存在某时刻使得BPQ ∆是等腰三角形，求相应t 的值．
25．如图1，已知四边形ABCD 是正方形，E 是对角线BD 上的一点，连接AE ，CE ．
（1）求证：AE＝CE；
（2）如图2，点P是边CD上的一点，且PE⊥BD于E，连接BP，O为BP的中点，连接EO．若∠PBC＝30°，求∠POE的度数；
（3）在（2）的条件下，若OE＝2，求CE的长．
26．如图①，已知正方形ABCD中，E，F分别是边AD，CD上的点(点E，F不与端点重合)，且AE=DF，BE，AF交于点P，过点C作CH⊥BE交BE于点H．
（1）求证：AF∥CH；
（2）若3，AE=2，试求线段PH的长；
（3）如图②，连结CP并延长交AD于点Q，若点H是BP的中点，试求CP
PQ
的值．
27．猜想与证明：如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上．连结AF，若M为AF的中点，连结DM，ME，试猜想DM与ME的数量关系，并证明你的结论．
拓展与延伸：
(1)若将“猜想与证明”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM和ME的关系为__________________；
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF的中点，试证明(1)中的结论仍然成立．[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]
① ②
28．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．
（1）证明：AG BE =；
（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由； （3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于534
吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．
29．已知：在矩形ABCD 中，点F 为AD 中点,点E 为AB 边上一点，连接CE 、EF 、CF ，EF 平分∠AEC ．
(1)如图1，求证：CF ⊥EF;
(2)如图2，延长CE 、DA 交于点K, 过点F 作FG ∥AB 交CE 于点G 若，点H 为FG 上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H 作HN ⊥CH 交AB 于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK 长.
30．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC CF 、为邻边作平行四边形ECFG 。

（1）证明平行四边形ECFG 是菱形；
（2）若ABC 120︒∠=，连结BG CG DG 、、，①求证：DGC BGE ≌；②求BDG ∠的度数；
（3）若ABC 90︒∠=，8AB =，14AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长。

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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
过F 作AB 的平行线FG ，由于F 是AD 的中点，那么G 是BC 的中点，即Rt △BCE 斜边上的中点，由此可得BC ＝2EG ＝2FG ，即△GEF 、△BEG 都是等腰三角形，因此求∠B 的度数，只需求得∠BEG 的度数即可；易知四边形ABGF 是平行四边形，得∠EFG ＝∠AEF ，由此可求得∠FEG 的度数，即可得到∠AEG 的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG 的度数，由此得解．
【详解】
解：过F 作FG ∥AB 交BC 于G ，连接EG ，
∵在平行四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴FG ∥AB ∥CD ，
∵FG ∥AB ，AD ∥BC ，
∴四边形ABGF 是平行四边形，
∴AF ＝BG ，
又∵F 为AD 中点
∴G 是BC 的中点；
∵BC ＝2AB ，F 为AD 的中点，
∴BG ＝AB ＝FG ＝AF ，
∵在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，
∴BG＝GE＝FG＝
1
2 BC；
∴∠BEG＝∠B＝72°，
∴∠AEG＝∠AEF＋∠FEG＝180°﹣∠BEG＝108°，∵AE∥FG，
∴∠EFG＝∠AEF，
∵GE＝FG，
∴∠EFG＝∠FEG，
∴∠AEF＝∠FEG＝1
2
∠AEG＝54°，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出辅助线是解决问题的关键．
2．A
解析：A
【分析】
①证明△AFM是等边三角形，可判断；②③证明△CBF≌△CDE（ASA），可作判断；④设MN=x，分别表示BF、MD、BC的长，可作判断．
【详解】
解：①∵AM=EM，∠AEM=30°，∴∠MAE=∠AEM=30°，
∴∠AMF=∠MAE+∠AEM=60°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD=90°，
∴∠FAM=90°-30°=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴FM=AM=EM，故①正确；
②连接CE、CF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADB=∠CDM，AD=CD，
在△ADM和△CDM中，
∵
AD CD
ADM CDM DM DM
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△ADM ≌△CDM （SAS ）， ∴AM=CM ，
∴FM=EM=CM ， ∴∠MFC=∠MCF ，∠MEC=∠ECM ，
∵∠ECF+∠CFE+∠FEC=180°， ∴∠ECF=90°，
∵∠BCD=90°， ∴∠DCE=∠BCF ，
在△CBF 和△CDE 中，
∵ 90CBF CDE BC CD BCF DCE ∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝＝，
∴△CBF ≌△CDE （ASA ）， ∴BF=DE ； 故②正确；
③∵△CBF ≌△CDE ， ∴CF=CE ， ∵FM=EM ， ∴CM ⊥EF ， 故③正确；
④过M 作MN ⊥AD 于N ， 设MN=x ，则AM=AF=2x ，
3AN x =，DN=MN=x ， ∴331)x x x +=，
∴DE=BF=AB-AF=31)231)x x x -=，
∴22(31)26BF MD x x x +==，
∵BC=AD= 31)6x x ≠
， 故④错误； 所以本题正确的有①②③；
故选：A ．
【点睛】 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质和判定，熟记正方形的性质确定出△AFM 是等边三角形是解题的关键．
3．C
解析：C
【分析】
由▱ABCD 中，∠ADC=60°，易得△ABE 是等边三角形，又由AB=12
BC ，证得∠CAD=30°；继而证得AC ⊥AB ，AE=CE ，可判断①；由AC ⊥AB ，则②S ▱ABCD =AB •AC ；可得OE 是三角形的中位线，则OE=
12AB ，则③2ABE AOE S S ∆∆=；证得④14
OE BC =． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠BAE=∠EAD=60°
∴△ABE 是等边三角形，
∴AE=AB=BE ，∠BAE=60°，
∵AB=12BC ， ∴AE=12
BC ， ∴∠BAC=90°，
∴∠ACE=∠CAE=30°，
∴AE=CE ，故①正确；
∵AC ⊥AB ，
∴S ▱ABCD =AB •AC ，故②正确，
∵点O 是AC 中点，点E 是BC 中点，
∴OE=12
AB ， ∴2ABE AOE S S ∆∆=，故③错误；
∵OE 是中位线，
∴OE=12AB=14
BC ，故④正确． ∴正确的选项有①②④，共3个；
故选：C.
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△ABE 是等边三角形，OE 是△ABC 的中位线是关键．
4．C
解析：C
【分析】
延长BG 交CH 于点E ，根据正方形的性质证明△ABG ≌△CDH ≌△BCE ，可得GE=BE-BG=1，HE=CH-CE=1，∠HEG=90°，由勾股定理可得GH 的长．
【详解】
解：如图，延长BG 交CH 于点E ，
在△ABG 和△CDH 中，
AG CH BG DH ⎪=⎨⎪=⎩
，
∴△ABG ≌△CDH （SSS ），
AG 2+BG 2=AB 2，
∴∠1=∠5，∠2=∠6，∠AGB=∠CHD=90°，
∴∠1+∠2=90°，∠5+∠6=90°，
又∵∠2+∠3=90°，∠4+∠5=90°，
∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6，
在△ABG 和△BCE 中，
1324AB BC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
∴△ABG ≌△BCE （ASA ），
∴BE=AG=4，CE=BG=3，∠BEC=∠AGB=90°，
∴GE=BE -BG=4-3=1，
同理可得：HE=1，
在Rt △GHE 中，GH=2
222112GE EH +=+=，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE 为等腰直角三角形是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
延长DH 交AG 于点E ，利用SSS 证出△AGB ≌△CHD ，然后利用ASA 证出
△ADE ≌△DCH ，根据全等三角形的性质求出EG 、HE 和∠HEG ，最后利用勾股定理即可求出HG ．
【详解】
解：延长DH 交AG 于点E
∵四边形ABCD 为正方形
∴AD=DC=BA=10，∠ADC=∠BAD=90°
在△AGB 和△CHD 中
BA DC BG DH ⎪=⎨⎪=⎩
∴△AGB ≌△CHD
∴∠BAG=∠DCH
∵∠BAG ＋∠DAE=90°
∴∠DCH ＋∠DAE=90°
∴CH 2＋DH 2=82＋62=100= DC 2
∴△CHD 为直角三角形，∠CHD=90°
∴∠DCH ＋∠CDH=90°
∴∠DAE=∠CDH ，
∵∠CDH ＋∠ADE=90°
∴∠ADE=∠DCH
在△ADE 和△DCH 中
ADE DCH AD DC
DAE CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ADE ≌△DCH
∴AE=DH=6，DE=CH=8，∠AED=∠DHC=90°
∴EG=AG －AE=2，HE= DE －DH=2，∠GEH=180°－∠AED=90°
在Rt △GEH 中，
=故选B ．
【点睛】
此题考查是正方形的性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的性质、全等三角形的判定及性质和利用勾股定理解直角三角形是解决此题的关键．
6．A
解析：A
【分析】
过P 作PG ⊥AB 于点G ，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP ≌△FPE 后即可证明①AP=EF ；④∠PFE=∠BAP ；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt △DPF 中，DP 2=DF 2+PF 2=EC 2+EC 2=2EC 2，求得
EC ．
【详解】
证明：过P 作PG ⊥AB 于点G ，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得
PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
①∴AP=EF；
∠PFE=∠GAP
∴④∠PFE=∠BAP，
②延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，即AP⊥EF；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故③错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴2EC．
∴其中正确结论的序号是①②④⑤．
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
7．C
解析：C
【分析】
根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，再求出BO＝OD，证明四边形ABCD是菱形，根据菱形的四条边都相等求出边长AE，根据菱形的对角线互相平分求出OE，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根据四边形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
【详解】
解：如图，连接AC交BD于点O，
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝OC，EO＝OF，
又∵点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴BE＝FD，
∴BO＝OD，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形；
∵四边形AECF为菱形，且周长为20，
∴AE＝5，
∵BD＝24，点E、F为线段BD的两个三等分点，
∴EF＝8，OE＝1
2
EF＝
1
2
×8＝4，
由勾股定理得，AO22
AE OE
-22
54
-3，∴AC＝2AO＝2×3＝6，
∴S四边形ABCD＝1
2
BD•AC＝
1
2
×24×6＝72；
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理以及利用菱形对角线求面积的方法，熟记菱形的性质与判定方法是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．
【详解】
解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，
∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，
在△BNA 和△BNE 中，
ABN EBN BN BN
ANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ， ∴△BNA ≌△BNE ，
∴BA=BE ，
∴△BAE 是等腰三角形，
同理△CAD 是等腰三角形，
∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），
∴MN 是△ADE 的中位线，
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，
∴DE=BE+CD-BC=5，
∴MN=12DE=52
． 故选C ．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
9．A
解析：A
【分析】
根据等腰三角形的性质，可得到：CD AB ⊥，从而证明ADE ≌CDF 且
ADC 90∠=︒，即证明DE DF =和DEF 是等腰直角三角形，以及四边形CEDF 面积ABC 1S 2
=△；再根据勾股定理求得EF ，即可得到答案． 【详解】
∵ACB 90∠=︒，2AC BC ==
∴AB ==∴A B 45∠=∠=︒
∵点D 是AB 的中点
∴CD AB ⊥
，且1AD BD CD AB 2
===
=∴DCB 45∠=︒
∴A DCF ∠∠=，
在ADE 和CDF 中
AD CD A DCF AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴ADE ≌()CDF SAS
∴DE DF =，ADE CDF ∠∠=
∵CD AB ⊥
∴ADC 90∠=︒
∴EDF EDC CDF EDC ADE ADC 90∠∠∠∠∠∠=+=+==︒
∴DEF 是等腰直角三角形
∵ADE ≌CDF
∴ADE 和CDF 的面积相等
∵D 为AB 中点
∴ADC 的面积1ABC 2=的面积 ∴四边形CEDF 面积EDC CDF EDC ADE ADC ABC 1S S S S S S 2=+=+==；
当DE AC ⊥，DF BC ⊥时，2EF 值最小
根据勾股定理得：222
EF DE DF =+
此时四边形CEDF 是正方形
即EF CD ==∴22EF 2==
∴正确的个数是4个
故选：A ．
【点睛】
本题考察了等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、全等三角形、正方形、直角三角形的性质，从而完成求解．
10．D
解析：D
【分析】
根据正方形的性质得到AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，求出∠ACF=90°，得到CH=
12
AF ，根据勾股定理求出AF 的长度即可得到答案. 【详解】
∵正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC=1，CE=3，
∴AB=BC=1，CE=EF=3，∠E=90°，
延长AD 交EF 于M ，连接AC 、CF ，
则AM=BC+CE=1+3=4，FM=EF-AB=3-1=2，∠AMF=90°，∵四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
∴∠ACD=∠GCF=45°，
∴∠ACF=90°，
∵H为AF的中点，
∴CH=1
2 AF，
在Rt△AMF中，由勾股定理得：AF=2222
4225
AM MF
+=+=，
∴CH=5，
故选：D．
【点睛】
此题考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质，正确引出辅助线得到∠ACF=90°是解题的关键.
二、填空题
11．12或20
【分析】
根据题意分别画出图形，BC边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【详解】
解：情况一：当BC边上的高在平行四边形的内部时，如图1所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为4，AB=5，AC=5
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
(25)42
CE AC AE，
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
-=-,
∴BC=BE+CE=3+2=5,
此时平行四边形ABCD的周长等于2×(AB+BC)=2×(5+5)=20；
情况二：当BC边上的高在平行四边形的外部时，如图2所示：
在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，AC=25
在Rt△ACE中，由勾股定理可知：2222
CE AC AE，
(25)42
在Rt△ABE中，由勾股定理可知：2222
BE AB AE543
=-=-=,
∴BC=BE-CE=3-2=1,
∴平行四边形ABCD的周长为2×(AB+BC)=2×(5+1)=12,
综上所述，平行四边形ABCD的周长等于12或20．
故答案为：12或20．
【点睛】
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，分高在平行四边形内部还是外部讨论是解题关键．
12．43或4
【解析】
分析：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得AB的长；
②当∠A'FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4．
详解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：
①当∠A'EF=90°时，如图1，
.
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB，
∵点D，E分别为AC，BC的中点，
∴D、E是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠CDE=∠MAN=90°，
∴∠CDE=∠A'EF，
∴AC∥A'E，
∴∠ACB=∠A'EC，
∴∠A'CB=∠A'EC，
∴A'C=A'E=4，
Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，
∴BC=2A'E=8，
由勾股定理得：AB2=BC2-AC2，
∴AB=22
-；
84=43
②当∠A'FE=90°时，如图2，
.
∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°，
∴∠ABF=90°，
∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，
∴∠ABC=∠CBA'=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=4；.
综上所述，AB的长为34；
故答案为3 4.
点睛：本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题．
13．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得222
x x
+=-，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
4(8)
故答案为：（-10，3）
14．2
【分析】
首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD，过A点分别作DC
和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，通过证明△ADF ≌△ABC 来证明四边形ABCD 为菱形，从而得到AC 与BD 相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD 长度.
【详解】
解：连接AC 和BD ，其交点为O ，过A 点分别作DC 和BC 的垂线，垂足分别为F 和E ，
∵AB ∥CD ，AD ∥BC ，
∴四边形ABCD 为平行四边形，
∴∠ADF=∠ABE ，
∵两纸条宽度相同，
∴AF=AE ，
∵90ADF ABE AFD AEB AF AE ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
∴△ADF ≌△ABE ，
∴AD=AB ，
∴四边形ABCD 为菱形，
∴AC 与BD 相互垂直平分，
∴BD=22242AB AO -=故本题答案为：2
【点睛】
本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.
15．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF 是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF ＝AP ，则EF 的最小值即为AP 的最小值，根据垂线段最短，知：AP 的最小值即等于直角三角形ABC 斜边上的高．
【详解】
解：连接AP ，
∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，
∴AB 2+AC 2＝BC 2，
即∠BAC ＝90°．
又∵PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，
∴四边形AEPF 是矩形，
∴EF ＝AP ，
∵AP 的最小值即为直角三角形ABC 斜边上的高，
设斜边上的高为h ，
则S △ABC =1122
BC h AB AC ⋅=⋅ ∴1153422
h ⨯⋅=⨯⨯ ∴h=2.4， ∴EF 的最小值为2.4，
故答案为：2.4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
16．3或6
【详解】
①∠B′EC=90°时，如图1，∠BEB′=90°，
由翻折的性质得∠AEB=∠AEB′=
12
×90°=45°， ∴△ABE 是等腰直角三角形，
∴BE=AB=6cm ；
②∠EB′C=90°时，如图2， 由翻折的性质∠AB′E=∠B=90°，
∴A 、B′、C 在同一直线上，
AB′=AB ，BE=B′E ，
由勾股定理得，222268AB BC +=+，
∴B′C=10-6=4cm ，
设BE=B′E=x ，则EC=8-x ，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2=EC2，即x2+42=（8-x）2，
解得x=3，
即BE=3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．故答案为3或6．
17．8
3
或
4
43
3
-
【分析】
连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，
AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=43，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．【详解】
如图，连接AC交BD于O，
∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE=BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD=30°，
∴AO=1
2
AB=2，2222
4223
AB AO
--=
∴BD=3AC=4，
同理可求3BE，即
3
，若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=434，
∴BE'
4343
4
3
3
==-；
若AG''=G''D 时，过点G''作G''H ⊥AD 于H ，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H ⊥AD ，
∴DG''=2HG''，
∵222HD HG''DG''+=，
解得：HG''23=，DG''=2HG''43=， ∴BG''=BD-DG''=438343-
=， ∴BE''=83
， 综上所述：BE 为
83或434-． 【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．72；
【分析】
连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，判定△AOC ≌△FOB （ASA ），即可得出AO=FO ，FB=AC=6，进而得到AF=8+6=14，∠FAO=45°，根据AO=AF×cos45°进行计算即可．
【详解】
解：连接AO 、BO 、CO ，过O 作FO ⊥AO ，交AB 的延长线于F ，
∵O 是正方形DBCE 的对称中心，
∴BO=CO ，∠BOC=90°，
∵FO ⊥AO ，
∴∠AOF=90°，
∴∠BOC=∠AOF ，
即∠AOC+∠BOA=∠FBO+∠BOA ，
∴∠AOC=∠FBO ，
∵∠BAC=90°，
∴在四边形ABOC 中，∠ACO+∠ABO=180°，
∵∠FBO+∠ABO=180°，
∴∠ACO=∠FBO ，
在△AOC 和△FOB 中，
AOC FOB AO FO
ACO FBO ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOC ≌△FOB （ASA ），
∴AO=FO ，FB=FC=6，
∴AF=8+6=14，∠FAO=∠OFA=45°，
∴AO=AF×cos45°
=14×
2
=
故答案为．
【点睛】
本题考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．本题的关键是通过作辅助线来构建全等三角形，然后将已知和所求线段转化到直角三角形中进行计算． 19
．【详解】
解析：∵在正方形ABCD 中，
AC=
∴AB=AD=BC=DC=6，∠EAD=45°
设EF 与AD 交点为O ，O 是AD 的中点,
∴AO=3
以AD 为对角线的所有▱AEDF 中，当EF ⊥AC 时，EF 最小，
即△AOE 是直角三角形，
∵∠AEO=90°，∠EAD=45°，
OE=
2
OA=2
， ∴
EF=2OE=20．663
【分析】
通过四边形ABCD 是矩形以及CE CB BE ==，得到△FEM 是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM ，NK ，KE 的值，进而得到NE 的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN ，BE 即可．
【详解】
解：如图，设NE 交AD 于点K ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，
∴∠MFE=∠FCB ，∠FME=∠EBC
∵CE CB BE ==，
∴△BCE 为等边三角形，
∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°，
∵∠FEM=∠BEC，
∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°，
∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2，
∵EN⊥BE，
∴∠NEM=∠NEB=90°，
∴∠NKA=∠MKE=30°，
∴KM=2EM=4，NK=2AN=6，
∴在Rt△KME中，KE=2223
KM EM
-=，
∴NE=NK+KE=6+23，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∴BN=2NE=12+43，
∴BE=22663
BN NE
-=+，
∴BC=BE=663，
故答案为：663
【点睛】
本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质．
三、解答题
21．（1）AG2=GE2+GF2，理由见解析；（2326
+
【分析】
（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在
Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；
（2）作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．易证AM=BM=2x，3，在Rt△ABN中，根据AB2=AN2+BN2，可得1=x2+（3x）2，解得
62
-
，推出62
+
BG=BN÷cos30°即可解决问题.
【详解】
解：（1）结论：AG 2=GE 2+GF 2．
理由：连接CG ．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴A 、C 关于对角线BD 对称，
∵点G 在BD 上，
∴GA=GC ，
∵GE ⊥DC 于点E ，GF ⊥BC 于点F ，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC 是矩形，
∴CF=GE ，
在Rt △GFC 中，∵CG 2=GF 2+CF 2，
∴AG 2=GF 2+GE 2．
（2）作BN ⊥AG 于N ，在BN 上截取一点M ，使得AM=BM ．设AN=x ．
∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，
∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，
∴∠AMN=30°，
∴AM=BM=2x ，MN=3x ， 在Rt △ABN 中，∵AB 2=AN 2+BN 2，
∴1=x 2+（2x+3x ）2，
解得x=
624-， ∴BN=624
+， ∴BG=BN÷cos30°=
326+．
【点睛】
本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形30度的性质．
22．EF ＝13．
【分析】
首先连接AD ，由△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，可得：AD=DC ，
∠EAD=∠C=45°，AD ⊥BC ，即∠CDF+∠ADF=90°，又DE ⊥DF ，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF ，从而可证：△AED ≌△CFD ；根据全等三角形的性质得到AE=CF=5，进而得出BE=AF=12．然后在Rt △AEF 中，运用勾股定理可将EF 的值求出；
【详解】
解：连接AD ．
∵△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴AD =DC =DB ，AD ⊥BC ，
∴∠BAD =∠C =45°，
∵∠EDA +∠ADF =90°，
又∵∠CDF +∠ADF =90°，
∴∠EDA =∠CDF ．
在△AED 与△CFD 中，
EDA FDC AD CD
EAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AED ≌△CFD (ASA )．
∴AE =CF =5．
∵AB =AC ，
∴BE =AF =12．
在Rt △AEF 中，
∵∠EAF =90°，
∴22222512169EF AE AF =+=+=，
∴EF =13．
【点睛】
本题考查等腰直角三角形, 直角三角形斜边上的中线，掌握等腰三角形“三线合一”的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质为解题关键．
23．（1）见详解；（2）四边形ADCF 是矩形；证明见详解．
【分析】
（1）可证△AFE ≌△DBE ，得出AF=BD ，进而根据AF=DC ，得出D 是BC 中点的结论； （2）若AB=AC ，则△ABC 是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质知AD ⊥BC ；而AF 与DC 平行且相等，故四边形ADCF 是平行四边形，又AD ⊥BC ，则四边形ADCF 是矩形．
【详解】
（1）证明：∵E 是AD 的中点，
∴AE=DE ．
∵AF ∥BC ，
∴∠FAE=∠BDE ，∠AFE=∠DBE ．
在△AFE 和△DBE 中，
FAE BDE AFE DBE AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△AFE ≌△DBE （AAS ）．
∴AF=BD ．
∵AF=DC ，
∴BD=DC ．
即：D 是BC 的中点．
（2）解：四边形ADCF 是矩形；
证明：∵AF=DC ，AF ∥DC ，
∴四边形ADCF 是平行四边形．
∵AB=AC ，BD=DC ，
∴AD ⊥BC 即∠ADC=90°．
∴平行四边形ADCF 是矩形．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形、矩形的判定等知识综合运用．解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法，以及全等三角形的判定和性质进行证明．
24．（1）8-2t ，8-t ；（2）
83或74 【分析】
（1）根据P 、Q 的运动速度以及AB 和CD 的长即可表示；
（2）分PQ=PB 、BP=BQ 和QP=QB 三种情况进行分析即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
DP=2t ，AQ=t ，
∴PC=8-2t ，BQ=8-t ，
故答案为：8-2t ，8-t ；
（2）当PQ=PB 时，
如图①，QH=BH ，
则t+2t=8，
解得，t=83
， 当PQ=BQ 时，
（2t-t ）2+62=（8-t ）2，
解得，t=74
， 当BP=BQ 时，
（8-2t ）2+62=（8-t ）2，
方程无解；
∴当t=
83或74
时，△BPQ 为等腰三角形． 【点睛】 本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的判定，掌握性质并灵活运用性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
25．（1）详见解析；（2）30°；（3）2
【分析】
（1）利用正方形的性质，得到AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，进而判断△ADE ≌△CDE 得到结论；
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以得到OB ＝OE ，∠OBE ＝∠OEB ＝15°，再利用外角和定理求得；
（3）连接OC ，与（2）同理得到∠POC ＝60°，则△EOC 为直接三角形，再应用勾股定理求得.
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ＝45°，
在△ADE 和△CDE 中，
AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADE ≌△CDE （SAS ），
∴AE ＝CE ；
（2）∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠DBC ＝45°，
∵∠PBC ＝30°，
∴∠PBE ＝15°，
∵PE ⊥BD ，O 为BP 的中点，
∴EO ＝BO ＝PO ，
∴∠OBE ＝∠OEB ＝15°，
∴∠EOP ＝∠OBE ＋∠OEB ＝30°；
（3）如图，连接OC ，
∵点O是BP的中点，∠BCP＝90°，
∴CO＝BO，
∴EO＝CO2，∠OBC＝∠OCB＝30°，
∴∠POC＝60°，
∴∠EOC＝∠EOP＋∠POC＝90°，
∵EC2＝EO2＋CO2＝4，
∴EC＝2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定、外角和定理、勾股定理，综合性较强，要注意数形结合.
26．（1）见解析；（2）3；（3）CP
PQ
=4．
【分析】
（1）先证△ABE≌△DAF，然后通过角度转化，可得AF⊥BE，从而证平行；
（2）先在Rt△ABE中利用勾股定理求得BE的长，在利用△ABE的面积，求得AP的长，最后利用PH=BP－BH求得PH的长；
（3）设QP=a，CP=b，可推导出在Rt△APE中，QE=QA=QP，然后分别用a、b表示CP和PQ代入可求得．
【详解】
（1）证明：在正方形ABCD中，AB=DA，∠EAB=∠D=90°
又∵AE=DF
∴△ABE≌△DAF(SAS)
∴∠ABE=∠DAF
又∵∠DAF+∠FAB=∠EAB=90°
∴∠ABE+∠FAB=90°
∴∠APB=90°
∴AF⊥BE
又∵CH⊥BE
∴AF∥CH
（2）解：在正方形ABCD中，∠EAB=90°，3， AE= 2
∴=
从而由S △ABE = 12 AB·AE= 12 BE·AP 得：
∴在Rt △ABP 中，= =3
又容易得：△ABP ≌△BCH ∴
∴（3）解：在正方形ABCD 中，AB=BC ，AD ∥BC
∵CH ⊥BP ，PH=BH
∴CP=BC
∴∠CBP-=∠CPB
而∠CPB=∠QPE ∠CBP=∠QEP
∴∠QPE=∠QEP
∴在Rt △APE 中 ∠QAP=∠QPA
∴QE=QP=QA
在四边形QABC 中，设QP=a CP=b
则AB=BC=b ， AQ=a ，QC=a+b
∴b²+(b-a)2=(a+b)2
∴b²=4ab 即b=4a
即 a
CP b PQ = =4． 【点睛】
本题考查正方形的性质、全等的证明、勾股定理的应用和直角三角形斜边中线的性质，第
（3）问的解题关键是推导得出QE=QA=QP ．
27．猜想与证明：猜想DM 与ME 的数量关系是：DM ＝ME ，证明见解析；拓展与延伸：
(1)DM ＝ME ，DM ⊥ME ；(2)证明见解析
【分析】
猜想：延长EM 交AD 于点H ，利用△FME ≌△AMH ，得出HM=EM ，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明．
（1）延长EM 交AD 于点H ，利用△FME ≌△AMH ，得出HM=EM ，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
（2）连接AC ，AC 和EC 在同一条直线上，再利用直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半证明，
【详解】
解：猜想与证明：
猜想DM 与ME 的数量关系是：DM ＝ME.
证明：如图①，延长EM 交AD 于点H.
①
∵四边形ABCD 、四边形ECGF 都是矩形，
∴AD ∥BG ，EF ∥BG ，∠HDE ＝90°.
∴AD ∥EF.
∴∠AHM ＝∠FEM.
又∵AM ＝FM ，∠AMH ＝∠FME ，
∴△AMH ≌△FME.
∴HM ＝EM.
又∵∠HDE ＝90°，
∴DM ＝12
EH ＝ME ； （1）∵四边形ABCD 和CEFG 是正方形，
∴AD ∥EF ，
∴∠EFM=∠HAM ，
又∵∠FME=∠AMH ，FM=AM ，
在△FME 和△AMH 中，
EFM HAM FM AM
FME AMH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△FME ≌△AMH （ASA ）
∴HM=EM ，
在RT △HDE 中，HM=EM ，
∴DM=HM=ME ，
∴DM=ME ．
∵四边形ABCD 和CEFG 是正方形，
∴AD=CD ，CE=EF ，
∵△FME ≌△AMH ，
∴EF=AH ，
∴DH=DE ，
∴△DEH 是等腰直角三角形，
又∵MH=ME ，
故答案为：DM ＝ME ，DM ⊥ME ；
（2）证明：如图②，连结AC.。