6特殊的平行四边形-正方形的证明

H E
A
B
C
D G 特殊的平行四边形
正方形的证明
【基础练习】
1. 下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。

A 、对角线互相垂直且相等的四边形
B 、一条对角线平分一组对角的矩形
C 、对角线相等的棱形
D 、对角线互相垂直的矩形
2. 下列命题中，假命题是（ ）。

A 、四个内角都相等的四边形是矩形
B 、四条边都相等的平行四边形是正方形
C 、既是菱形又是矩形的四边形是正方形
D 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3. 在四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是 。

A 、AC ＝BD ，A
B ∥CD ，AB ＝CD
B 、AD ∥B
C ，∠A ＝∠C
C 、AO ＝BO ＝CO ＝DO ，AC ⊥BD
D 、AC ＝CO ，BO ＝DO ，AB ＝BC
4. 如图所示，在正方形ABCD 中，H 是BC 延长线上一点，使CE ＝CH ，连结DH ，延长BE 交DH 于G ，则下面结论错误的是 。

A 、BE ＝DH
B 、∠H ＋∠BE
C ＝90°
C 、BG ⊥DH
D 、∠HDC ＋∠AB
E ＝90°
5. 正方形具有而菱形没有的性质是 。

A 、对角线互相平分
B 、每条对角线平分一组对角
C 、对角线相等
D 、对边相等
6. 以线段AB 的两个端点A 、B 为顶点作位置不同的正方形，一共可作（ ）。

A
B A B
C
D E
H N M A B C D G
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7. 在正方形ABCD 所在平面内找一点P ，使P 点与A 、B 、C 、D 中两点都连在一个等边三
角形，那么这样的P 点有（ ）。

A 、5个
B 、12个
C 、9个
D 、15个
8. 如图所示，以正方形ABCD 中AD 边为一边向外作等边ΔADE ，则∠AEB ＝＿＿＿。

A 、10°
B 、15°
C 、20°
D 、12.5°
9. 下列说法错误的是（ ）
A 、四个角相等的四边形是矩形
B 、四条边相等的四边形是正方形
C 、对角线相等的菱形是正方形
D 、对角线互相垂直的矩形是正方形
10. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AD ＝2DC ，M 、N 分别在AB 两边的延长线上，且有
MA ＝AB ＝BN ，则MC 与DN 的关系是＿＿。

A 、 相等
B 、垂直
C 、垂直且相等
D 、不能确定
11. 在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E,F,只添加一个
条件____________________,使四边形AEDF 为正方形（写出一个条件即可）
12. 如图，正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，以CG 为边做正方形GFEC ，求证：BG=DE
13. 如图，正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BG ⊥CE 于G 交AD 于F ，
求证：CE=BF 。

14. 分别以三角形ABC 两边向形外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，求证：BG=CE 。

15. 如图，正方形ABCD 对角线BD 、AC 交于O ，E 是OC 上一点，AG ⊥DE 交BD 于F ，
求证：EF ∥DC 。

A B C D
E F G F E
D
C B A A
B C D
E
F G A B
C D E F
G O
16. 如图，正方形ABCD 对角线AC 、BD 交于O ，DE 平分∠ADB ，CN ⊥DE 于N ，
求证：OF=2
1AG 。

17. 如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF.
（1） AE 与BF 相等吗？为什么？
（2） AE 与BF 是否垂直？说明你的理由。

A B
C D
E
F G
18. 如图，在正方形ABCD 中，取AD 、CD 边的中点E 、F ，连接CE 、BF 交于点G ，连接AG 。

试判断AG 与AB 是否相等，并说明道理。

A
B C D
E
G F
A
B C D
E
F
O G N
19.已知：如图正方形ABCD，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，延长BF交DE于G。

求
证：BG⊥DE。

20.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交点O，P是OA上的一点，CQ⊥PD于Q，交
BD于R，求证：CP=BR。

21.如图已知：正方形ABCD中，⊿FAD是等边三角形，DE⊥AF于E，BF交DE于M，（1）
求∠BMD；（2）若正方形边长为10cm，求BM。

22.如图已知：正方形ABCD中，F是AC上一点，FC=BC，EF⊥AC交AB于E。

求证：AF=EB。

23. 在以ΔABC 的AB 、AC 为边向外作正方形ABDE 及ACGF ，作AN ⊥BC 于点N ，延长NA
交EF 于M 点，求证：EM ＝ME 。

24. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为BD 上一点，AE 的延长线交BC 的延长线于F ，交
CD 于H ，G 为FH 中点，求证：EC ⊥CG 。

25. 如图所示，在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，且∠BAE ＝2∠DAM 。

求证：AE ＝BC ＋CE 。

F G H
E A
B
C D
M
E
A B
C D
D
A M C
F N E
S 8S 7S 6S 5
S 4S 3
S 2S 1
F A
B
C D E 26. 如图所示，在ΔABCD 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN
交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。

①试说明OE ＝OF ；
②当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请简要说明理由。

③当点O 运动时，四边形AECF 有可能是正方形吗？请简要说明理由。

27. 如图所示，正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 边上的点，AE 、DE 、BF 、AF 把正方
形分成8个小块，每个小块的面积分别为S1，S2，…，S8。

①试比较S3与S2＋S7＋S8的大小，并说明理由；②将前述问题条件中的正方形ABCD 变为ABCD ，其余条件不变，上述结论还成立吗？
【培优练习】 28. 已知：如图，在正方形ABCD 中，E 、F 是AD ，DC 上的点，且∠EBF=450，求证：EF=CF+AE 。

F O M
N E A
C
29. 如图，正方形ABCD 的对角线BD 上截取BE=BC ，P 为EC 上一点，PQ ⊥BC ，PR ⊥BE ，求
证：PQ+PR=2
1BD 。

30. 如图已知正方形ABCD 中，F 为CD 延长线上一点，CE ⊥AF 于E 交AD 于M 求：∠MFD 。

31. 如图，已知正方形ABCD 的边长为10，AC 、BD 相交于点O ，BE 平分∠DBC 交AC 于E ，
EF ⊥BC 于F ，求⊿EFC 的周长。

32. 如图，已知四边形ABCD 是正方形，且CE=MN ，∠MCE=350，求∠ANM 。

33. 如图已知：AM 是⊿ABC 的中线，分别以AB ，AC 为边向⊿ABC 外作正方形ABEF 、ACGH ，
连结FH ，求证：FH=2AM 。

34. 如图，正方形ABCD 中，E 是CD 上一点，连结BE ，CF ⊥BE 于F 点，若∠EBA=600，EF=1，
求正方形的周长。

35. 如图正方形ABCD 中，E 是AD 上任意一点，CF ⊥BE 于F 点，AG ⊥BE 于G 点，求证：AG=BF 。

36. 如图C 是线段BF 上一点，以BC ，CF 为边作正方形ABCD 、ECFG ，连结DF ，BE 且延长BE
G
B
B
C
交FD 于H 点，求证：BE ⊥DF 。

37. 如图正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，N 是AD 上一点，且AN ∶AD=1∶4，求证：MN ⊥MC 。

38. 如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 交于E ，自A 引∠DBC 的平分线BF 的垂线，
与BF 交于F ，与BD 交于H ，与BC 交于G ，求证：CG=2HE 。

39. 如图，在正方形ABCD 中，E 、F 为AB 、BC 的中点，CE 、DF 交于M ，求证：AM=AD 。

B
40.已知在正方形ABCD中
（1）如图1，如果M是BC上一点，AN平分∠DAM交CD于N，那么AM=BM+DN；
（2）如图2如果M在BC的延长线上，AN平分∠DAM交CD于N，那么线段AM、BM、DN 的长度关系是。

（3）如图3如果M在BC的延长线上，AN平分∠DAM交CD于N，那么线段AM、BM、DN 的长度关系是。

（写出结论并证明）
A
C
B
D
M
N A
B
D
C
B
A
F
E
A
41. 如图，正方形ABCD 中，AC 、BD 相交于点O ，将直角三角板直角顶点放在DB 上，一直角
边始终经过点A ，另一直角边与直线CB 交于点E ，顶点F 在DB 上滑动。

探究：（1）当点F 是OD 边中点时，∆AEF 的形状。

（2）当点F 是OD 上任一点时，∆AEF 的形状。

（3）当点F 在OB 上时∆AEF 的形状。

（4）当点F 在OB 延长线上时，∆AEF 的形状。

（5）当点F 在OD 延长线上时，∆AEF 的形状。

（6）当点F 在线段BD 上且使∆FBE 为等腰三角形，求∠BEF 的度数。

42. 操作示例:
对于边长为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED 。

从拼接的过程容易得到结论： ①四边形BNED 是正方形； ②S 正方形ABCD ＋S 正方形EFGH ＝S 正方形BNED 。

实践与探究
（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图2所示的方式摆放，连接DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N 。

①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表示正方形MNED 的面积；
②在图11－2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH
沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。

（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。

A
D
F G
C （H ） E
N
B
M
(2)
(1)
43.我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。

请按下面规则与程序操作：
第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；
第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角
形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；
以后每次都重复第二次的操作-------
(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；
(2)若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：。