研学课例：“椭圆的几何性质”教学设计

研学课例：“椭圆的几何性质”教学设计作者：陈唐明
来源：《江苏教育·中学教学》 2020年第2期
陈唐明
【关键词】研学课例；教学设计；高中数学
【中图分类号】G远33.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2020）11-0065-02
【作者简介】陈唐明，江苏省如东高级中学（江苏如东，226400）教师，高级教师。

一、教学目标及重难点
通过前面“直线与圆”章节的学习，学生已经具备了用解析的方法研究曲线问题的基础。

基于此，笔者将本节课的教学目标设置为：（1）掌握椭圆的简单几何性质，理解椭圆标准方程中参数a、b、c 的含义；（2）让学生通过椭圆几何性质探究，厘清椭圆有关量间的内在联系，从整体上把握椭圆的几何性质；（3）让学生领悟数学问题研究的一般思路与方法，养成严谨缜密的“理性思维”的习惯。

教学重点确定为椭圆的几何性质及其研究方法，教学难点确定为椭圆几何性质的探究过程。

二、流程设计
【问题情境】上一节课我们学习了椭圆的概念与标准方程（请同学们回顾椭圆的概念要点、标准方程并板书）。

在建立了椭圆的标准方程之后，我们下一步可以做什么工作？
（设计意图：开放式提问，引发学生主动积极地思考。

进一步的研究，学生自然会联想到
研究几何性质。

）
问题1：你认为椭圆有哪些几何性质？如何来研究呢？
（设计意图：开门见山，从数学知识的内部提出问题，引发学生进一步思考。

）
问题2：大家回顾一下，当时在学习“函数”一章时，我们是怎么去研究函数的？在已知
函数解析式的情况下，我们可以研究函数的哪些性质？又是如何研究这些函数性质的？你能将
函数的研究方法迁移到椭圆的方程上来吗？
函数是我们高中数学的重要内容。

函数与方程也有着千丝万缕的联系。

其实，函数也可以
视为方程，如y=2x+1 可以视为关于x 的一次函数，也可以视为关于x，y 的二元一次方程。

从这个角度上来说，方程其实是函数的上位概念。

我们可以将函数的研究方法迁移到曲线方程
上来。

（设计意图：教师引导学生认识到函数作为方程的下位概念，从形式上看，也可以视为方程，进而得出可以用类比函数的研究方法来研究椭圆的方程。

通过函数解析式研究函数，我们
通常关注函数的定义域值域、单调性、奇偶性及由此延伸出对称性、周期性；研究函数图象对
应到椭圆上来，我们可以研究椭圆的范围、对称性、顶点等。

）
问题3：我们不难看出椭圆上任一点P（x，y）满足，能不能从方程（代数）的角度进行论证呢？
学生通过观察椭圆的图象得出椭圆上点的坐标的范围并不难，但如果止于此，将失去一个
很好的培养学生理性认知数学本质问题（将几何问题“代数化”）的好机会。

教师此时应点拨
学生去思考：你能不能不借助于椭圆的图象，直接通过椭圆方程得出椭圆上点的坐标的范围？
在学生得出结论后，教师顺势给出：我们把经过椭圆顶点的四条直线x=依a 和y=依b 所围成
的矩形叫作椭圆的伴随矩形。

（设计意图：让学生在感性认知的基础上，引导学生回归方程，通过代数论证严格推证出
范围，引发学生有“深度”的思考，培养学生缜密的“理性思维”的习惯。

给出椭圆的伴随矩形，为后续借助矩形长与宽的变化来直观刻画椭圆的“扁”“圆”程度做铺垫。

）
问题4：大家发现椭圆是对称的，那么椭圆具有怎样的对称性？能否从代数的角度进行证明？
图形对称其实质为点的对称，要证明曲线（图形）关于某线（或某点）对称，也就是要曲
线（图形）上所有的点关于该线（或该点）对称之后所得的点也在曲线（图形）上。

设P（x，y）是椭圆上任意一点，则点P 关于y 轴、x 轴、原点O 的对称点P1（-x，y），P2（-x，y），P3（-x，-y）也适合椭圆方程，即这三个点都在椭圆上，从而知y 轴、x 轴是
椭圆的对称轴，原点O 是椭圆的对称中心。

（设计意图：让学生从“形”的角度观察，发现椭圆的对称性，引导学生从“数”的角度进行再认识；从本原问题出发，引导学生给出严格的证明。

）
问题5：比照函数性质的研究，研究椭圆图形上关键的点，可以基本确定椭圆的形状与大致位置，你觉得椭圆上哪些点是最关键的？
椭圆顶点概念的生成，可先让学生自主观察探索；若学生给出的结论不全面，教师予以点拨：请大家回顾一下，二次函数的图象（抛物线）与对称轴的交点是什么点？（顶点）那么，椭圆有对称轴吗？如果有，有几条？它们和椭圆有没有公共点？若有，有几个公共点？你认为应该给这些点取个什么名字？由此引出椭圆顶点的概念，并顺势给出椭圆的长轴（长轴长、半长轴长）、短轴（短轴长、半短轴长）等相关概念。

（设计意图：类比是一种很重要的数学思想方法。

通过类比，可以让学生有新的“发现”。

）
问题6：在黑板上画若干个椭圆，让学生观察：这些椭圆有什么不同？（大小不同，扁圆程度不同）激发学生思考：椭圆图形的大小依赖于a、b 的值。

椭圆的“扁”“圆”程度又依赖于什么呢？有没有规律可循？
结合椭圆的“伴随矩形”，学生很容易想到用比值来刻画椭圆“扁”“圆”的程度：当趋于0 时，椭圆越扁；当趋于1 时，椭圆越圆。

由a2=b2+c2 得趋于1时，即趋于0 时，椭圆越扁；当趋于0 时，即趋于1 时，椭圆越圆。

从而可以选用椭圆定义中的量当来刻画椭圆“扁”“圆”的程度，我们把叫作椭圆的离心率，
用字母e 表示，显然。

（设计意图：学生结合图形，容易想到的是借助比值来刻画椭圆“扁”“圆”的程度。

教
师点拨学生从椭圆的本原处加以思考：椭圆概念中给出了椭圆的两个基本量是焦距2c 和长轴
长2a，而椭圆的扁圆程度依赖于比值。

通过寻找两者之间的联系，得出可以用椭圆的基本量a，c 来刻画椭圆的扁圆程度。

）
经历了这样的研究，激活了学生的思维，让学生有了积极地深度思考，学生掌握的不仅所学的表层知识（椭圆的几何性质），更是从中学会了研究数学问题的一般性方法，为后续的同类问题（双曲线、抛物线的几何性质）学习提供范例、思路、方法。

学生完全可以自己借鉴椭圆几何性质的研究思路去独立完成双曲线、抛物线的几何性质学习，这也就达到了“教是为了不教”的目的。