数学思想专题课数形结合思想课件北师大版七年级数学上册
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数缺形时少直观， 形少数时难入微， 数形结合百般好， 割裂分家万事休．
——华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）， 出生 于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳．数学家，中 国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三 世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院 士．中国第一至第六届全国人大常委会委员． 他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守 函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人 和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当 今世界88位数学伟人之一．国际上以华氏命名的 数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、 “华—王方法”等．
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（ ）
规律：从2开始的n个连续偶数的和等于
．
一、以数助形
例１．将如图的五个边长 为1的正方形组成的十字形剪拼 成一个正方形．
如果单单从“形”的角度 来思考，恐怕除了试验，没有 其它更好的办法了．但是如果 我们先不忙考虑怎样剪裁，而 是先从“数”的角度来算一下， 我们不难利用面积算出剪拼出 来的正方形边长应该是
二、以形助数
．
例2．求函数
的最小值．
． ．
二、以形助数
．
例2．求函数
的最小值．
如图，设数轴上表示数－1、2、3、x的 点分别为．A、B、C、P（P为动点），则表示 P到A、B、C三点之间的距离之和，即
当且仅当点P和点B重合时， 最小，所以
． ．
从1开始的几个连续奇数相加,和 即是几的平方。
运用知识
1. 你能利用规律直接写一写吗？ 1＋3＋5＋7＝（ 4 ）2
2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝（ 7 ） 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝9 2
1+3+5+7+9+…=( n 2) n个
＝( )2
从1开始的n个连 续奇数相加,和就 是n的平方。
72
62
运用知识
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
32 －1＝ 8 5 2 －32 ＝ 16
7 2 －52 ＝ 24
照这样画下去，第4个图 形最外圈有（ 32 ）个 小正方形。
92 －72 ＝ 32
照这样画下去，第5个 图形最外圈有（40）个 小正方形。
112 －92 ＝ 40
每个图中最外圈各有多少个小正方形？你能解释这其 中的道理吗？
8 16 24 32 40
8n
1
3
6
由于数量为1、3、6、10、15……相同的小图形可 以组成一个三角形，这些数也叫做“三角形数”．
10
15
21
1 4
9
16
25
由于数量为1、4、9、16、25……的小正方形可以 组成一个大正方形，这些数也叫做“正方形数”。
拓展延伸
运用例1学到的思考方法，能直接算出下面式子的结果 吗？
出国求学 1935年，数学家诺伯特·维纳（Norbert
Wiener）访问中国，他注意到华罗庚的潜质， 向当时英国著名数学家哈代极力推荐．
1936年，华罗庚前往英国剑桥大学，度过 了关键性的两年．他至少有15篇文章是在剑桥 的时期发表的．其中一篇关于高斯的论文给他 在世界上赢得了声誉． 毅然回国
数形结合的两个方面
抽象的数学语言
直观的图像
代数问题
几何图形，
（用数解形，以形助数）
代数问题几何化，几何问题代数化．
例 1 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽 约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往 哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问： 某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中） 能遇上几艘从纽约开来的轮船？
《
详
解
九
章
算
法
》
里
记 载
杨辉
过
的
表
我国北宋 数学家贾宪 （约公元11 世纪）已经 用过“杨辉 三角”。在 欧洲叫做帕 斯卡三角。 杨辉三角的 发现要比欧 洲早500年 左右。
例1 1 = 12 1＋3 = 4= 2 2 1＋3+5 = 9= 32
1+3+5+ 7 =42
1+3+5+7+9 =52
运用知识
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25 ）
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25
运用知识
3. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（85）
建国六十年来，“方法的理解
数和形是数学的两大支柱，数形结 合思想就是通过数与形（用数解形，以 形助数）处理数学问题，这是由客观世 界和数学本身决定，数形结合思想方法 贯穿于整个初中数学之中，集中体现为 两个方面，一是对直观图形赋予代数意 义，要求学生能根据直观图形将实际问 题抽象为数字问题；二是对抽象的数学 问题赋予直观图形的意义，以形助数．
柳卡问题
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的 一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15 艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的 15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达 哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开 出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中 看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
1937年，他回到清华大学担任正教授，后 来迁至昆明的国立西南联合大学直至1945年．
主要荣誉 华罗庚为中国数学发展作出的贡献，被誉为
“中国现代数学之父”，“中国数学之神”，“人 民数学家”．
在国际上享有盛誉的数学大师，他的名字在美 国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博 物馆中，与少数经典数学家列在一起，被列为“芝 加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之 一”．
——华罗庚
华罗庚（1910.11.12—1985.6.12）， 出生 于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳．数学家，中 国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三 世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院 士．中国第一至第六届全国人大常委会委员． 他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守 函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人 和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当 今世界88位数学伟人之一．国际上以华氏命名的 数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、 “华—王方法”等．
2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＋18＋20＝（ ）
规律：从2开始的n个连续偶数的和等于
．
一、以数助形
例１．将如图的五个边长 为1的正方形组成的十字形剪拼 成一个正方形．
如果单单从“形”的角度 来思考，恐怕除了试验，没有 其它更好的办法了．但是如果 我们先不忙考虑怎样剪裁，而 是先从“数”的角度来算一下， 我们不难利用面积算出剪拼出 来的正方形边长应该是
二、以形助数
．
例2．求函数
的最小值．
． ．
二、以形助数
．
例2．求函数
的最小值．
如图，设数轴上表示数－1、2、3、x的 点分别为．A、B、C、P（P为动点），则表示 P到A、B、C三点之间的距离之和，即
当且仅当点P和点B重合时， 最小，所以
． ．
从1开始的几个连续奇数相加,和 即是几的平方。
运用知识
1. 你能利用规律直接写一写吗？ 1＋3＋5＋7＝（ 4 ）2
2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝（ 7 ） 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝9 2
1+3+5+7+9+…=( n 2) n个
＝( )2
从1开始的n个连 续奇数相加,和就 是n的平方。
72
62
运用知识
3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
32 －1＝ 8 5 2 －32 ＝ 16
7 2 －52 ＝ 24
照这样画下去，第4个图 形最外圈有（ 32 ）个 小正方形。
92 －72 ＝ 32
照这样画下去，第5个 图形最外圈有（40）个 小正方形。
112 －92 ＝ 40
每个图中最外圈各有多少个小正方形？你能解释这其 中的道理吗？
8 16 24 32 40
8n
1
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由于数量为1、3、6、10、15……相同的小图形可 以组成一个三角形，这些数也叫做“三角形数”．
10
15
21
1 4
9
16
25
由于数量为1、4、9、16、25……的小正方形可以 组成一个大正方形，这些数也叫做“正方形数”。
拓展延伸
运用例1学到的思考方法，能直接算出下面式子的结果 吗？
出国求学 1935年，数学家诺伯特·维纳（Norbert
Wiener）访问中国，他注意到华罗庚的潜质， 向当时英国著名数学家哈代极力推荐．
1936年，华罗庚前往英国剑桥大学，度过 了关键性的两年．他至少有15篇文章是在剑桥 的时期发表的．其中一篇关于高斯的论文给他 在世界上赢得了声誉． 毅然回国
数形结合的两个方面
抽象的数学语言
直观的图像
代数问题
几何图形，
（用数解形，以形助数）
代数问题几何化，几何问题代数化．
例 1 每天中午有一条轮船从哈佛开往纽 约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往 哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问： 某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中） 能遇上几艘从纽约开来的轮船？
《
详
解
九
章
算
法
》
里
记 载
杨辉
过
的
表
我国北宋 数学家贾宪 （约公元11 世纪）已经 用过“杨辉 三角”。在 欧洲叫做帕 斯卡三角。 杨辉三角的 发现要比欧 洲早500年 左右。
例1 1 = 12 1＋3 = 4= 2 2 1＋3+5 = 9= 32
1+3+5+ 7 =42
1+3+5+7+9 =52
运用知识
2. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25 ）
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42 5＋3＋1＝ 32 42＋ 32 ＝25
运用知识
3. 请根据例1的结论算一算。
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（85）
建国六十年来，“方法的理解
数和形是数学的两大支柱，数形结 合思想就是通过数与形（用数解形，以 形助数）处理数学问题，这是由客观世 界和数学本身决定，数形结合思想方法 贯穿于整个初中数学之中，集中体现为 两个方面，一是对直观图形赋予代数意 义，要求学生能根据直观图形将实际问 题抽象为数字问题；二是对抽象的数学 问题赋予直观图形的意义，以形助数．
柳卡问题
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的 一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15 艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的 15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达 哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开 出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中 看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
1937年，他回到清华大学担任正教授，后 来迁至昆明的国立西南联合大学直至1945年．
主要荣誉 华罗庚为中国数学发展作出的贡献，被誉为
“中国现代数学之父”，“中国数学之神”，“人 民数学家”．
在国际上享有盛誉的数学大师，他的名字在美 国施密斯松尼博物馆与芝加哥科技博物馆等著名博 物馆中，与少数经典数学家列在一起，被列为“芝 加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之 一”．