人教版高数必修一第3讲函数的相关概念与映射(教师版)

函数的相关概念与映射
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1、 通过丰硕实例，进一步体会函数是描述变量之间的依托关系的重要数学模型；
2、 学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；
3、 了解组成函数的要素，会求一些简单函数的概念域和值域.
一、映射的概念：
设A 、B 是两个非空的集合，若是按某个确信的对应关系f ，关于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确信的元素和它对应，那么如此的对应（包括集合A 、B ，和对应关系f ）叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →。

二、像与原像的概念：
给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈，若是元素a 和元素b 对应，那么咱们把元素b 叫做元素a 的像，元素a 叫做元素b 的原像。

专门提示：一、关于映射:f A →B 来讲，那么应注意明白得以下四点：
（1）集合A 中每一个元素，在集合B 中必有唯一的象；（2）集合A 中不同元素，在集合B 中能够有相同的象；（3）集合A 中的元素与集合B 中的元素的对应关系，能够是：“一对一”、“多对一”，但不能是“一对多”。

（4）许诺集合B 中的元素没有象；
二、集合A 、B 及对应法那么f 是确信的，是一个系统；
3、对应法那么f 有“方向性”。

即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一样是不同的； 三、映射：
一样地，设A ，B 是两个非空的集合，:f A →B 是集合A 到集合B 的映射，若是在那个映射下，关于集合A 中的不同的元素，在集合B 中有不同的象，而且B
中每一个元素都有原象，那么那个映射叫做A 到B 的一一映射。

专门提示：对一一映射概念的明白得应注意以下两点：（1）集合B 中的每一个元素都有原象，也确实是说，集合B 中不许诺有剩余的元素。

（2）关于集合A 中的不同元素，在集合B 中有不同的象，也确实是说，不许诺“多对一”；
四、函数的概念 ：
设A 、B 是两个非空的数集，若是按某一个确信的对应关系f ,使关于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有唯一确信的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作(),y f x x A =∈。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的概念域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数)(x f y =的值域。

专门提示：一、函数事实上确实是集合A 到集合B 的一个特殊映射 ，其特殊处要紧在于集合A ,
B 为非空的数集；其中概念域A ，确实是指原象的集合，值域{}A x x f ∈|)(，确实是象的集合。

二、函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，应明白得为：（1）x 是自变量，它是关系所施加的对象；f 是对应关系，它能够是一个或几个解析式，能够是图像、表格，也能够是文字描述；（2）符号()y f x =仅仅是函数符号，不是表示“y 等于f 与x 的乘积”，)(x f 也不必然是解析式，再研究函数时，除用符号)(x f 外，还经常使用(),(),()g x F x G x 等符号来表示。

3、判定两个变量之间是不是具有函数关系，只要查验：（1）x 的取值集合是不是为空集；（2）依照给出的对应关系，自变量x 在其概念域内的每一个值，是不是都有唯一确信的函数值与之对应。

五：函数的值： ()f a 表示当x a =时，
函数()f x 的值，那个值就由“f ”这一对应关系来确信；)(x f 与)(a f 是不同的，前者表示以x 为自变量的函数，后者为常数
六：函数的三要素 ：
咱们通常把对应法那么f 、概念域A 、值域{}A x x f ∈|)(称为函数的三要素。

由函数的概念可知，由于函数值域被函数的概念域和对应关系完全确信，如此确信一个函数只需两个要素：概念域和对应法那么。

若是两个函数的概念域和对应法那么别离相同，咱们就说这两个函数是同一函数。

无穷区间｛x x＞a｝()
,a+∞
专门提示：书写区间记号时：
（1）有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点；（2）两个端点之间用“，”隔开；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；以“-∞”或“+∞”为区间一端时，这一端必是小括号。

八：分段函数
有些函数在它的概念域中，关于自变量x的不同取值范围，对应法那么不同，如此的函数通常称为分段函数。

如函数
0 0
x x
y x x
x x
>
⎧
⎪
===
⎨
⎪-<
⎩
专门提示：一、分段函数是一个函数，而不是几个函数；二、它是一类较特殊的函数。

在求分
段函数的值
()
f x时，必然第一要判定
x属于概念域的哪个子集，然后再代相应的关系式；3、分段函数的值域应是其概念域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。

九：复合函数
若是()()
,
y f u u g x
==，那么()
y f g x
=⎡⎤
⎣⎦叫做f和g的复合函数，其中
()
g x为内函数，()
f u为外函数。

类型一映射的概念
例1：已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，在以下A到B的四个对应关系中，可否组成A到
B的映射？说明理由．
解析：(1)、(3)是A到B的映射，都符合映射的概念，即A中的每一个元素在B中都有惟一元素与之对应；(2)不是A到B的映射，因为A中的元素4在B中没有元素与之对应；(4)不是A到B 的映射，因为A中的元素3在B中有两个元素与之对应．
答案：(1)、(3)是A到B的映射；(2)、（4）不是A到B的映射
练习1：设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，那么以下对应f中不能组成A到B的映射的是( )
A．f：x→y＝
1
2
x B．f：x→y＝x－2 C．f：x→y＝x D．f：x→y＝＝|x－2| 答案：B
练习2： (2021～2021学年度四川德阳五中高一上学期月考)以下对应是集合A到集合B的映射的是( )
A．A＝N*，B＝N*，f：x→|x－3|
B．A＝{平面内的圆}；B＝{平面内的矩形}，f：每一个圆对应它的内接矩形
C ．A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |0≤y ≤6}，f ：x →y ＝1
2x
D ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：
A
中的数开平方
答案：C
类型二 映射中的象与原象
例2：已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f ：A →B 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2
＋1)，求A 中元素2的象和B 中元素(32，5
4
)的原象.
解析：把x ＝2代入对应法那么，得其象为(2＋1,3)， 又由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1＝32x 2
＋1＝5
4
，解得x ＝1
2
.
∴2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为1
2.
答案：2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为1
2
.
练习1：已知映射f ：(x ，y )―→(3x －2y ＋1,4x ＋3y －1)．
(1)求(－1,2)的象； (2)求(－1,2)的原象．
答案：(－1,2)的象为(－6,1)．(－1,2)的原象为(0,1)．
练习2：(2021～2021学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)在映射f ：A →B 中，集合A ＝B ＝{(x ，y )|x 、y ∈R }，且f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么B 中的元素(－1,2)在集合A 中的原象为________．
答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 类型三 函数的概念
例3：设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}给出以下4个图形，其中能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：由函数的概念知，(1)不是，因为集合M 中1<x ≤2时，在N 中无元素与之对应； (3)中x ＝2对应元素y ＝3∉N ，因此(3)不是；
(4)中x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，因此(4)不是； 显然只有(2)是，应选B ． 答案：B.
练习1：判定以下对应是不是组成集合A 到集合B 的函数： (1)A ＝R ，B ＝{y |y >0}，f ：x →y ＝|x |；
(2)A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2＋x；
答案：(1)否 (2)是
练习2：以下关于函数与区间的说法正确的选项是( )
A ．函数概念域必不是空集，但值域能够是空集
B ．函数概念域和值域确信后，其对应法那么也就确信了
C ．数集都能用区间表示
D ．函数中一个函数值能够有多个自变量值与之对应 答案：D ．
类型四 同一函数的判定
例4：以下各组函数是同一函数的是( )
①f (x )＝－2x 3
与g (x )＝x －2x ； ②f (x )＝x 与g (x )＝x ； ③f (x )＝x 0
与g (x )＝1x
0；
④f (x )＝x 2－2x －1与g (x )＝t 2
－2t －1. A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．①④
解析：关于①、②，两函数的对应法那么都不同，关于③、④，两函数的概念域和对应法那么都相同，应选C ．
答案：C ．
练习1：(2021～2021学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)以下四组函数，表示同一函数的是( )
A ．f (x )＝x 2
，g (x )＝x
B ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2
x
C ．f (x )＝x 2
－4，g (x )＝x －2·x ＋2 D ．f (x )＝x ，g (x )＝3x 3
答案：D
练习2：以下函数中哪个与函数x y =是同一个函数，把序号填在横线上 。

① ()
2
x y =； ②33x y =； ③2x y =
答案： ②
类型五 函数的概念域
例5：求以下函数的概念域：
(1)y ＝3－1
2x ；
(2)y ＝2x ＋3－
12－x
＋1x
；
解析：(1)函数y ＝3－1
2x 的概念域为R .
(2)要使函数成心义，那么有⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3≥02－x >0
x ≠0，
解得－3
2≤x <2，且x ≠0.
∴所求函数的概念域为
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－3
2≤x <2，且x ≠0.
答案：（1）R （2） ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |－32≤x <2，且x ≠0.
练习1：求以下函数的概念域： (1)y ＝
x －1
x 2
－3x ＋2
；
(2)y ＝x 2
－1＋1－x 2
； (3)y ＝11－|x |
＋x 2
－1.
答案：(1) {x ∈R |x ≠1，且x ≠2}．(2){－1,1}．(3) (－∞，－1)∪(1，＋∞)． 练习2：(2021～2021学年度山东枣庄第八中学高一上学期期中测试)函数y ＝x ＋1
x
的概念域是( )
A ．[－1，＋∞)
B ．(0，＋∞)
C ．(－1，＋∞)
D ．[－1,0)∪(0，＋∞)
答案： D
类型六 求函数值
例6：若f (x )＝1－x
1＋x (x ≠－1)，求f (0)，f (1)，f (1－a )(a ≠2)，f [f (2)]．
解析：f (0)＝1－01＋0＝1；f (1)＝1－1
1＋1
＝0；
f (1－a )＝
1－1－a 1＋1－a ＝a
2－a
(a ≠2)； f [f (2)]＝1－f 2
1＋f 2＝1－1－2
1＋21＋
1－2
1＋2＝2.
答案： 2
练习1：已知函数f (x )＝3x 2
－5x ＋2，求f (3)，f (－2)，f (a ＋1)
答案：f (3)＝14；f (－2)＝8＋52；f (a ＋1)＝3a 2
＋a . 练习2：已知函数f (x )＝x 2
＋x －1.求f (2)，f (1x
)；
答案： f (2)＝5，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ＝
1＋x －x 2
x 2.
1. 给出以下关于从集合A 到集合B 的映射的论述，其中正确的有_________。

①B 中任何一个元素在A 中必有原象；②A 中不同元素在B 中的象也不同；③A 中任何一个元素在B 中的象是唯一的；④A 中任何一个元素在B 中能够有不同的象；⑤B 中某一元素在A 中的原象可能不止一个；⑥集合A 与B 必然是数集；⑦记号B A f →:与A B f →:的含义是一样的．
答案：③⑤
2. 以下集合A 到集合B 的对应中，判定哪些是A 到B 的映射? 判定哪些是A 到B 的一一映射?
(1)Z B N A ==,，对应法那么:f B y A x x y x ∈∈-=→,,； (2)+
=R A ，+
=R B ，x
y x f 1
:=
→，A x ∈，B y ∈； 答案： (1)是映射，不是一一映射， (2)是映射，是一一映射． 3. 以下各式可否确信y 是x 的函数？
（1）221x y +=；（2）2
30x y -+=；（3）y =
+答案：（1）不能（2）能；（3）不能。

4. 已知()231f x x x =-+，那么()1f = ；()5f -= ；()2f = ； ()f a = ；()21f a -= 。

答案：-1；41；332-；231a a -+；24105a a -+。

5．以下各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。

①()2,y x y x ==； ②()22,y x y x ==； ③211,1x y x y x -=+=-； ④0,1y x y ==⑤2,y x y x == 答案：⑤
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基础巩固
1．以下对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）
A 、{},0,,:A R
B x x x R x A f x x ==>∈∈→且 B 、,,:1,A N B N x f x A *==∈-→
C 、{}20,,,:A x x x R B R x A f x x =>∈∈∈→且
D 、1,,,:A Q B Q x A f x x ==∈→ 答案：C
2. 已知{}{}04,02P x x Q y y =≤≤=≤≤，以下对应不表示从P 到Q 的函数的是（ ）
A 、1:2f x y x →=
B 、1:3f x y x →=
C 、3:2f x y x →=
D 、:f x y x →= 答案：C
3.(2021～2021学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)函数f (x )＝2－x ＋x －2的概念域为____________．
答案：2
4. B A f →:是从A 到B 的映射，其中R A =，{}R y x y x B ∈=,),(，)1,1(:2++→x x x f ，那么A 中元素2的象是 ；B 中元素)2,2(的原象 。

答案：)3,12(+ 1
5. 己知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且,,,a N x A y B +∈∈∈使B 元素31y x =+和A 中的元素x 对应，那么a = ， k = 。

答案：2 5
6. 已知函数()2
f x x px q =++知足()()120f f ==，那么()1f -= 。

答案：6
7. 以下函数中哪个与函数x y =是同一个函数，把序号填在横线上 。

①()2x y =； ②33x y =； ③2x y =
答案：②
能力提升
8. 已知()(
)2 1 1f x x g x =-=
+ 求()(),f g x g f x ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 答案：(
)
)2
11f g x x =-=+⎡⎤⎣⎦ (
)1g f x =⎡⎤⎣⎦ 9. 已知⎪⎩⎪⎨⎧+=10)(x x f π )0()0()0(>=<x x x ，别离求()()()(){}
1,1,0,1f f f f f f --⎡⎤⎣⎦的值。

答案： (1)2 (1)0 (0) {[(1)]}1 f f f f f f ππ=-==-=+；；；；
10. 将以下集合用区间表示：
（1）201x x x ⎧-⎫≥⎨⎬-⎩⎭
； （2）{}123x x x =<≤或； （3）{}1,x x x R ≠±∈。

答案：（1）()[),12,-∞⋃+∞；（2）{}
(]12,3；（3）()()(),11,11,-∞--+∞。

课程顾问签字： 教学主管签字：。