2016年小学数学竞赛复赛模拟试卷(4)(国奥赛决赛)-T版

2016年小学数学竞赛复赛模拟试卷（4）
（国奥赛决赛）
（时间：90分钟；满分：150分）
1.计算2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 98×100 = 。

【答案】16660
【考点】计算问题
【解析】原式＝4×（1×2＋2×3＋3×4＋49×50）
＝4×49×50×51÷3
＝16660
2.分数3744可以写成111
1
x y z +++的形式，其中x ，y 与z 都是不同的正整数，则x ＋y ＋z 的值是 。

【答案】10
【考点】繁分数 【解析】2
131511271511725117371137713744+++=++=++=+=+= 所以x ＋y ＋z=5＋3＋2=10。

3.将114
表示为小数的形式，请问小数点之后第2016位上的数字是 。

【答案】4
【考点】循环小数
【解析】1÷14=0.0.71428.5，且2002-1=6×333＋3，故小数点之后第2002位上的数字为循环部分的第三个数字，即4。

4.从一本不超过500页的书中撕下一页，剩下页数的总和为19905，试问被撕下的这一页的总和是 。

【答案】195
【考点】页码问题
【解析】若撕下的页码为n 、n ＋1，则此书的页码总和为19905＋n ＋n ＋1=19906＋2n ，页码总和为偶数；因为此本书不超过500页，可知n ＜500，即19906＋2n ＜20906。

令此书的总页数为k ，则页码总和为
()2
1+k k ，故可得19907≤()21+k k ≤20906，可知k 的可能值为200、201、202或203. 若k=200，则n=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯19906220120021=97；
若k=201，或k=202，则此书的页码总和为奇数，故不合题意；
若k=203，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⨯19906220420321=400＞203，故不合题意。

所以此书为200页，撕下的两面总和为97＋98=195。

5.请问由0，2，4，6四个数字构成的所有没有重复数字的四位数的总和是 。

【答案】77328
【考点】计数问题
【解析】（1）共可以组成3×3×2＝18（个）四位数；
（2）因为0不能作为千位，所以在千位上，2、4、6平均每个出现 18÷3＝6（次）；
即千位的总和为（2000＋4000＋6000）×6＝72000
18个数，2、4、6在千位出现了6次，在百位、十位、个位则出现
（18－6）÷3＝4（次）
（3）所以在百位的总和为（200＋400＋600）×4＝4800
在十位的总和为（20＋40＋60）×4＝480
在个位的总和为（2＋4＋6）×4＝48
（4）所有总和为 7200＋4800＋480＋48＝77328.
6.两个数a ，b 只有质因数3、5，其中a 有12个因数（包括1及其本身），b 有10个因数（包括1及其本身），并且它们的最大公约数为75，请问a 、b 的最小公倍数是 。

【答案】16875
【考点】数论
【解析】75=3×52
，故可知a ，b 两数的质因数分解式中3的次数均至少为1且5的次数均至少为2，意即5的次数恰为2的数的因数个数必为2＋1=3,的倍数；因a 有12个因数、b 有10个因数，所以5的次数恰好为2的数为a ；由12=4×3=（3＋1）×（2＋1）知a=33×52，因此3的次数恰为1的数为b 且因10=2×5=（1＋1）×（4＋1）知b=3×54，故a ，b 的最小公倍数为33×54=16875。

7.请问有 个四位数的正整数，其四个数字的乘积是质数。

【答案】16个
【考点】计数
【解析】由质数的定义可以知道四个数字的乘积是质数P 的情况仅可能为1×1×1×P ；又因它为四位数的四个数字，故P 的可能值为2,3,5,7，而P 可能为千位数、百位数、十位数或个位数，因此共有4×4＝16个这样的四位数。

8.2016个学生排成一行，从排头到排尾分别以1、2、3；1、2、3；……报数。

然后从排尾到排头分别以1、2、3、4；1、2、3、4；……报数。

请问有 名学生在这两次报数中都报1。

【答案】168
【考点】周期问题
【解析】2016÷4=504（组），把第二个报数看成从左到右4、3、2、1报数
【3,4】=12，12个一组，每12个数一组，画一个表格可知，每一组里有1名学生两次都报1.2016÷12=168（个）。

9.把99个苹果分给一群小朋友，每一位小朋友所分得的苹果数都不一样，且每个小朋友至少有一个苹果。

试问这群小苹果最多有位。

【答案】13位
【考点】最值问题
【解析】由于希望小朋友尽可能多，所以在每位小朋友拿的数量都不相等的情况下，每位小朋友拿的数量应尽可能的少。

因为1＋2＋3＋……＋12＋13=91，所以有13位小朋友时至少可分走91个苹果，此时仍有8个未分。

因已有小朋友分别分走1、2、3、4、5、6、7、8个，故剩下的8个无法再单独分给这13位以外的小朋友，因此最多可有13位，以下为分配方法之一：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、21.
10.有一个正整数，将它分别加上15与减去4以后都是完全平方数，请问这个数是。

【答案】85
【考点】数论
【解析】设这个正整数分别加上15后为a2，减去4后为b2，故可知a2－b2＝19，即（a＋b）×（a－b）＝19.因19为质数，故可知a＋b＝19，a－b＝1，所以a＝10，b＝9，该整数为85.
11.假设某星球的一天只有10小时，每小时有100分钟，请问在6点75分时，时针与分针所形成的锐角
为度。

【答案】27度
【考点】时钟问题
【解析】可知在该星球的时钟上只会有1到10这10个整点刻度，故时针每小时转36°、分针每分钟转3.6°。

与时针分针都同时指向10的时刻比较，在6点75分的时候时针应转动36°×6.75＝243°、分针应转动3.6°×75＝270°，故两时针所夹锐角为270°－243°＝27°。

12.有一批规格相同的均匀圆棒,每根划分成相同的5节,每节用红、黄、蓝3种颜色中的一种来涂.问可以得
到种着色方式不同的圆棒。

【答案】135种
【考点】染色问题
如 ABCDE 每根原棒的5节记为A、B、C、D、E,特别得注意到原棒可以
左右倒置，即 EDCBA 与 ABCDE 是同种情况．
①考虑对称，ABCBA,其中A有3种颜色可选,B也有3种颜色可选,C还是有3种颜色可选,故有3×3×3=27种不同的染法．
②考虑不对称ABCDE 时，则A 有3种原色可选，B 、C 、D 、E 也各有3种颜色可选,于是有3×3×3×3×3=243种不同的染法．
所以,其中不对称有243-27=216种,不对称的EDCBA 与ABCDE 重复计算了,而对称的ABCBA 没有重复计算． 所以,共有216÷2+27=135种实质不同的着色方式．
13.A 、B 两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。

各自达到目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇。

已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
【答案】67.5千米/小时
【考点】行程问题
【解析】第二次相遇，即共行了3个全程，即共行了300×3＝900（千米）；
速度和：900÷8＝112.5（千米/小时）；
乙速：112.5－45＝67.5（千米/小时）
14.如下图所示，三角形ABC 的面积为1，且AD=31AB ，BE=41BC, CF=5
1CA ，则三角形DEF 的面积是多少？
【答案】12
5 【考点】平面几何
【解析】
先分别求出△ADF 、△BDE 、△CEF 的面积，
再用△ABC 的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF
的面积．因为，AD=
31AB .CF=51CA ，所以．AF= 5
4AC ， 根据“鸟头定理”．15
43154=⨯=∆∆ABC ADF S S 同理可得，6114132=⨯⨯=∆BDE S ,20
315143=⨯⨯=∆CEF S , 125203611541=---=∆DEF S 15.像531、543这样的数，其数字具有严格的递减性，也就是说，这样的数其每位数都比左边的数小（注意：如322这个数其数字就不具有严格的递减性）。

请问从100到599（含100与599）共有多少个整数的数字具有严格的递减性？
【答案】20个
【考点】计数问题
【解析】由条件可知十位数必须小于5，故有1、2、3、4四种可能：
若十位为1，则百位数有2、3、4、5共四种可能而个位只能为0，故合计有4×1＝4（个）数。

若十位为2，则百位数有3、4、5共三种可能而个位数有0、1两种可能，故合计有3×2＝6（个）数；若十位为3，则百位数有4、5共两种可能而各位有0、1、2三种可能，故合计有2×3＝6（个）数；若十位为4，则百位数只能为5，则个位数有0、1、2、3四种可能，故合计有1×4＝4（个）数。

因此共有4＋6＋6＋4＝20（个）整数其数字具有严格递减的特性。