2021年广东省高考数学总复习第44讲：直线的倾斜角与斜率、直线的方程

2021年广东省高考数学总复习第44讲：直线的倾
斜角与斜率、直线的方程
1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( D ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3
D ．5π6
解析：由直线的方程得直线的斜率为k ＝－3
3，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π
6.
2．直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( B ) A ．⎣
⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π4
B ．⎣
⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π
C ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π 解析：由直线方程可得该直线的斜率为－1a 2＋1，
又－1≤－1
a 2＋1
＜0，
所以倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫3π4，π. 3．若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( A ) A ．1±2或0 B ．2－5
2或0 C ．2±5
2
D ．2＋52或0
解析：由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a
3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，
解得a ＝0或a ＝1± 2.
4．已知直线l 过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l 的方程是( A )
A ．3x ＋y －6＝0
B ．x ＋3y －10＝0
C ．3x －y ＝0
D ．x －3y ＋8＝0
解析：设直线l 的方程为x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
1a ＋3b ＝1，
1
2ab ＝6，
解得a ＝2，b ＝6.
故直线l 的方程为x 2＋y
6＝1， 即3x ＋y －6＝0，故选A ．
5．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为( D )
A ．4x －3y －3＝0
B ．3x －4y －3＝0
C ．3x －4y －4＝0
D ．4x －3y －4＝0
解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝1
2， 所以直线l 的斜率k ＝tan2α＝2tan α
1－tan 2α
＝
2×12
1－⎝ ⎛⎭⎪
⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝4
3(x －1)，即4x －3y －4＝0.
6．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( A )
A ．⎣⎢⎡
⎦⎥⎤－1，－12 B ．[－1,0]
C ．[0,1]
D ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
12，1
解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.
因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－1
2.
7．直线(a －1)x ＋y －a －3＝0(a ＞1)，当此直线在x ，y 轴上的截距和最小时，实数a 的值是( D )
A ．1
B ．2
C ．2
D ．3
解析：当x ＝0时，y ＝a ＋3，当y ＝0时，x ＝a ＋3
a －1，
令t ＝a ＋3＋a ＋3a －1＝5＋(a －1)＋4
a －1.
因为a ＞1，所以a －1＞0. 所以t ≥5＋2
(a －1)·4
(a －1)
＝9.
当且仅当a －1＝4
a －1
，即a ＝3时，等号成立．
8．(2021·模拟)记直线l ：2x －y ＋1＝0的倾斜角为α，则1
sin2α＋tan2α的值为－1
12.
解析：∵直线l ：2x －y ＋1＝0的斜率为2，∴tan α＝2， ∴sin2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2×21＋22＝45，tan2α＝2tan α
1－tan 2α＝
2×21－22
＝－4
3， ∴1sin2α＋tan2α＝54－43＝－112.
9．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是[－2,2]．
解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，
如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．
∴b 的取值范围是[－2,2]．
10．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是5.
解析：易求定点A (0,0)，B (1,3)． 当P 与A 和B 均不重合时，
因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则P A ⊥PB ，
所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，
所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |2
2＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，
当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0， 故|P A |·|PB |的最大值是5.
11．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：
(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.
解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4
k －3,3k ＋4，
由已知，得(3k ＋4)⎝ ⎛⎭
⎪⎫
4k ＋3＝±6，
解得k 1＝－23或k 2＝－8
3.
故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，
则直线l 的方程为y ＝1
6x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.
∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.
12．过点P (4,1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． 解：设直线l ：x a ＋y
b ＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1
b ＝1. (1)因为4a ＋1
b ＝1≥2
4a ·1b ＝4ab ，
所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，S △AOB ＝1
2ab 最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y
2＝1，即x ＋4y －8＝0. (2)因为4a ＋1
b ＝1，a ＞0，b ＞0，
所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )·⎝ ⎛⎭
⎪⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4b a ≥5＋2 a b ·4b
a
＝9，
当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，
所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y
3＝1，即x ＋2y －6＝0.
13．已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取到最大值时，直线l 的倾斜角
为( A )
A ．150°
B ．135°
C ．120°
D ．不存在
解析：由y ＝2－x 2，得x 2＋y 2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，以2为半径的圆的一部分，其图象如图所示．
显然直线l 的斜率存在，设过点P (2,0)的直线l 为y ＝k (x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|－2k |
1＋k
2
，弦长|AB |＝2 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
|－2k |1＋k 22
＝2 2－2k 2
1＋k 2
， 所以S △AOB ＝12×|－2k |
1＋k 2
×2 2－2k 2
1＋k 2
≤(2k )2＋2－2k 22(1＋k 2)＝1，
当且仅当(2k )2＝2－2k 2，
即k 2
＝13时等号成立，由图可得k ＝－33(k ＝3
3舍去)，故直线l
的倾斜角为150°.
14．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，则y 0
x 0的取值范围是
⎝
⎛
⎭⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．
解析：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10
，化简得x 0＋3y 0＋2
＝0，又y 0＜x 0＋2，k OM ＝y 0
x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M
位于线段AB (不包括端点)上时，k OM ＞0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM ＜－13.所以y 0
x 0
的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．。