河北省衡水市(新版)2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷

河北省衡水市（新版）2024高考数学人教版真题(综合卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
设全集，集合，则下列关系中正确的是
A．B．C．D．
第(2)题
函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且点在
轴上，圆的半径为，则（）
A．B．C
．D．
第(3)题
已知圆锥PO的高及底面圆直径均为2，若圆锥PO在球内，则球的体积的最小值为（）
A
．B．C．D．
第(4)题
设全集，集合，，则（）
A．B．C．D．
第(5)题
数列的通项公式为，则“为递增数列”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
第(6)题
已知集合，则（）
A．B．C．D．
第(7)题
已知点是圆上的一个动点，点是直线上除原点外的任意一点，则向量在向量上的投影的最
大值是（）
A．B．C．D．
第(8)题
如图，双曲线的左、右焦点分别为，，直线过点与双曲线的两条渐近线分别交于两点．若
是的中点，且，则此双曲线的离心率为（）
A．B
．2C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
正多面体也称帕拉图立体，被喻为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成（各面都是全等的正多边形，且每个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成的二面角都相等）.某中学在劳动技术课上，要求学生将一个近似正八面体的玉石切制成如图所示的棱长为2的正八面体P-ABCD-Q（其中E､F､H分别为PA，PB，BC的中点），则（）
A．AP与CQ为异面直线
B．平面PAB⊥平面PCD
C．经过E､F､H的平面截此正八面体所得的截面为正六边形
D．此正八面体外接球的表面积为8π
第(2)题
《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（）．
A
．
B
．
C
．向量在向量上的投影向量为
D
．向量在向量上的投影向量为
第(3)题
我国居民收入与经济同步增长，人民生活水平显著提高．“三农”工作重心从脱贫攻坚转向全面推进乡村振兴，稳步实施乡村建设行动，为实现农村富强目标而努力，2017年~2021年某市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比上年增长率如下图所示，根据下面图表、下列说法一定正确的是（）
A．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的极差，城镇比农村的小
B．该市农村居民年人均可支配收入高于城镇居民
C．对于该市居民年人均可支配收入比上年增长率的中位数，农村比城镇的大
D．2021年该市城镇居民、农村居民年人均可支配收入比2020年有所上升
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》，以及《诗经》等12本书按照如图（摆放方式之一）所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有___________种.
第(2)题
已知数列的前项和为，，，若对任意，等式恒成立，则_______.
第(3)题
《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵中，，是的中点，，，分别在棱，上，且，
，平面与交于点，则______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
棱长均为2的斜三棱柱中，在平面ABC内的射影O在棱AC的中点处，P为棱（包含端点）上的动点．
(1)求点P到平面的距离；
(2)若平面，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
第(2)题
已知函数的图象经过点，且是的极值点.
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的单调区间和最值.
第(3)题
已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，，.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，设数列的前n项和为，求
第(4)题
ChatGPT是由人工智能研究实验室OpenAI于2022年11月30日发布的一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术.在测试ChatGPT时，如果输入的问题没有语法错误，则ChatGPT的回答被采纳的概率为85%，当出现语法错误时，ChatGPT的回答被采纳的概率为50%.
(1)在某次测试中输入了8个问题，ChatGPT的回答有5个被采纳.现从这8个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的
问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)已知输入的问题出现语法错误的概率为10%，
（i）求ChatGPT的回答被采纳的概率；
（ii）若已知ChatGPT的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
第(5)题
如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，．
(1)证明：平面；
(2)若，求平面与平面夹角的余弦值．。