2020-2021九年级数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)及详细答案

2020-2021九年级数学圆的综合的专项培优易错难题练习题(含答案)及详细答
案
一、圆的综合
1．（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切．以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形
（性质探究）如图1，试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（利用图1，写出已知、求证、证明）
（性质应用）
①初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）
A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形
②如图2，圆外切四边形ABCD，且AB=12，CD=8，则四边形的周长是．
③圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7，求四边形各边的长．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据切线长定理即可得出结论；
（2）①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；
②根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；
③根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论．
【详解】
性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：
如图1，已知：四边形ABCD的四边AB，BC，CD，DA都于⊙O相切于G，F，E，H．
求证：AD+BC=AB+CD．
证明：∵AB，AD和⊙O相切，∴AG=AH，同理：BG=BF，CE=CF，DE=DH，
∴AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等．
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
性质应用：①∵根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等．
∵平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等，而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等．
故答案为：B，D；
②∵圆外切四边形ABCD，∴AB+CD=AD+BC．
∵AB=12，CD=8，∴AD+BC=12+8=20，∴四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40．
故答案为：40；
③∵相邻的三条边的比为5：4：7，∴设此三边为5x，4x，7x，根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x﹣4x=8x．
∵圆外切四边形的周长为48cm，∴4x+5x+7x+8x=24x=48，∴x=2，∴此四边形的四边为
4x=8cm，5x=10cm，7x=14cm，8x=16cm．
【点睛】
本题是圆的综合题，主要考查了新定义圆的外切的性质，四边形的周长，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，切线长定理，理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键．
2．如图，已知在△ABC中，AB=15，AC=20，tanA=1
2
，点P在AB边上，⊙P的半径为定
长.当点P与点B重合时，⊙P恰好与AC边相切；当点P与点B不重合时，⊙P与AC边相交于点M和点N．
（1）求⊙P的半径；
（2）当AP=5△APM与△PCN是否相似，并说明理由．
【答案】（1）半径为52）相似，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）如图，作BD⊥AC，垂足为点D，⊙P与边AC相切，则BD就是⊙P的半径，利用解直角三角形得出BD与AD的关系，再利用勾股定理可求得BD的长；
（2）如图，过点P作PH⊥AC于点H，作BD⊥AC，垂足为点D，根据垂径定理得出
MN=2MH，PM=PN，再利用勾股定理求出PH、AH、MH、MN的长，从而求出AM、NC的
长，然后求出AM MP 、PN NC 的值，得出AM MP =PN NC
，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可证明.
【详解】（1）如图，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，
∵⊙P 与边AC 相切，
∴BD 就是⊙P 的半径，
在Rt △ABD 中，tanA= 1BD 2AD =， 设BD=x ，则AD=2x ，
∴x 2+(2x)2=152，
解得：5
∴半径为5
（2）相似，理由见解析，
如图，过点P 作PH ⊥AC 于点H ，作BD ⊥AC ，垂足为点D ，
∴PH 垂直平分MN ，
∴PM=PN ，
在Rt △AHP 中，tanA=
12PH AH =， 设PH=y ，AH=2y ，
y 2+（2y ）2=（52
解得：y=6（取正数），
∴PH=6，AH=12，
在Rt △MPH 中， ()22356-，
∴MN=2MH=6，
∴AM=AH-MH=12-3=9，
NC=AC-MN-AM=20-6-9=5， ∴
35535AM MP ==，35PN NC =， ∴AM MP =PN NC
， 又∵PM=PN ，
∴∠PMN=∠PNM ，
∴∠AMP=∠PNC ，
∴△AMP ∽△PNC.
【点睛】本题考查了解直角三角形、垂径定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、灵活应用相关的性质与定理是解题的关键.
3．在⊙O 中，点C 是AB u u u r
上的一个动点(不与点A ，B 重合)，∠ACB=120°，点I 是∠ABC 的内心，CI 的延长线交⊙O 于点D ，连结AD,BD ．
（1）求证：AD=BD ．
（2）猜想线段AB 与DI 的数量关系，并说明理由．
（3）若⊙O 的半径为2，点E ，F 是»AB 的三等分点，当点C 从点E 运动到点F 时，求点I 随之运动形成的路径长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AB=DI ，理由见解析（323 【解析】
分析：（1）根据内心的定义可得CI 平分∠ACB ，可得出角相等，再根据圆周角定理，可证得结论；
（2）根据∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD ，可求出∠BAD 的度数，再根据AD=BD ，可证得△ABD 是等边三角形，再根据内心的定义及三角形的外角性质，证明∠BID=∠IBD ，得出ID=BD ，再根据AB=BD ，即可证得结论；
（3）连接DO ，延长DO 根据题意可知点I 随之运动形成的图形式以D 为圆心，DI 1为半径的弧，根据已知及圆周角定理、解直角三角形，可求出AD 的长，再根据点E ，F 是 弧AB ⌢的三等分点，△ABD 是等边三角形，可证得∠DAI 1=∠AI 1D ，然后利用弧长的公式可求出点I 随之运动形成的路径长.
详解：（1）证明：∵点I 是∠ABC 的内心
∴CI 平分∠ACB
∴∠ACD=∠BCD
∴弧AD=弧BD
∴AD=BD
（2）AB=DI
理由：∵∠ACB=120°，∠ACD=∠BCD
∴∠BCD=×120°=60°
∵弧BD=弧BD
∴∠DAB=∠BCD=60°
∵AD=BD
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=BD，∠ABD=∠C
∵I是△ABC的内心
∴BI平分∠ABC
∴∠CBI=∠ABI
∵∠BID=∠C+∠CBI，∠IBD=∠ABI+∠ABD
∴∠BID=∠IBD
∴ID=BD
∵AB=BD
∴AB=DI
（3）解：如图，连接DO，延长DO根据题意可知点I随之运动形成的图形式以D为圆心，DI1为半径的弧
∵∠ACB=120°，弧AD=弧BD
∴∠AED=∠ACB=×120°=60°
∵圆的半径为2，DE是直径
∴DE=4，∠EAD=90°
∴AD=sin∠AED×DE=×4=2
∵点E，F是弧AB ⌢的三等分点，△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60°
∴弧AB的度数为120°，
∴弧AM、弧BF的度数都为为40°
∴∠ADM=20°=∠FAB
∴∠DAI1=∠FAB+∠DAB=80°
∴∠AI1D=180°-∠ADM-∠DAI1=180°-20°-80°=80°
∴∠DAI1=∠AI1D
∴AD=I1D=2
∴弧I1I2的长为：
点睛：此题是一道圆的综合题，有一定的难度，熟记圆的相关性质与定理，并对圆中的弦、弧、圆心角、圆周角等进行灵活转化是解题关键，注意数形结合思想的渗透.
4．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA＝∠B.
(1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若AE＝4，tan∠ACD＝1
2
，求AB和FC的长．
【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ，
40
3 CF
【解析】
分析：（1）连接OC，根据圆周角定理证明OC⊥CF即可；
（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA＝∠B求出CE、BE的长，即可得到AB长，然后根据直径和半径的关系求出OE的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE∽△CFE，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.
详解：⑴证明：连结OC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠B+∠BAC=90°
∵OA=OC
∴∠BAC=∠OCA
∵∠B=∠FCA
∴∠FCA+∠OCA=90°
即∠OCF=90°
∵C 在⊙O 上
∴CF 是⊙O 的切线
⑵∵AE=4，tan ∠ACD
12
AE EC = ∴CE=8 ∵直径AB ⊥弦CD 于点E
∴»»AD AC =
∵∠FCA ＝∠B
∴∠B=∠ACD=∠FCA
∴∠EOC=∠ECA
∴tan ∠B=tan ∠ACD=
1=2
CE BE ∴BE=16
∴AB=20
∴OE=AB÷2-AE=6
∵CE ⊥AB
∴∠CEO=∠FCE=90°
∴△OCE ∽△CFE ∴
OC OE CF CE
= 即106=8CF ∴40CF 3
= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.
5．如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点（点E不与点A、B重合），DE的延长线交⊙O于点G，DF⊥DG，且交BC于点F.
（1）求证：AE=BF；
（2）连接EF，求证：∠FEB=∠GDA；
（3）连接GF,若AE=2，EB=4，求ΔGFD的面积.
【答案】（1）（2）见解析；（3）9
【解析】
分析：（1）连接BD，由三角形ABC为等腰直角三角形，求出∠A与∠C的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB为直角，即BD垂直于AC，利用直角三角形斜边
上的中线等于斜边的一半，得到AD=DC=BD=1
2
AC，进而确定出∠A=∠FBD，再利用同角的
余角相等得到一对角相等，利用ASA得到三角形AED与三角形BFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）连接EF，BG，由三角形AED与三角形BFD全等，得到ED=FD，进而得到三角形DEF为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行，再根据平行线的性质和同弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（3）由全等三角形对应边相等得到AE=BF=1，在直角三角形BEF中，利用勾股定理求出EF的长，利用锐角三角形函数定义求出DE的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED与三角形GEB相似，由相似得比例，求出GE的长，由GE+ED求出GD的长，根据三角形的面积公式计算即可．
详解：（1）连接BD．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，∴∠A=∠C=45°．
∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，∴AD=DC=BD=1
2
AC，∠CBD=∠C=45°，
∴∠A=∠FBD．
∵DF⊥DG，∴∠FDG=90°，∴∠FDB+∠BDG=90°．
∵∠EDA+∠BDG=90°，∴∠EDA=∠FDB．在△AED和△BFD中，
A FBD
AD BD
EDA FDB
∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△AED ≌△BFD （ASA ），∴AE =BF ；
（2）连接EF ，BG ．
∵△AED ≌△BFD ，∴DE =DF ．
∵∠EDF =90°，∴△EDF 是等腰直角三角形，∴∠DEF =45°．
∵∠G =∠A =45°，∴∠G =∠DEF ，∴GB ∥EF ，∴∠FEB =∠GBA ．
∵∠GBA =∠GDA ，∴∠FEB =∠GDA ；
（3）∵AE =BF ，AE =2，∴BF =2．在Rt △EBF 中，∠EBF =90°，∴根据勾股定理得：EF 2=EB 2+BF 2．
∵EB =4，BF =2，∴EF =2242+=25． ∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF =90°，∴cos ∠DEF =
DE EF ． ∵EF =25，∴DE =25×22
=10． ∵∠G =∠A ，∠GEB =∠AED ，∴△GEB ∽△AED ，∴
GE AE =EB ED ，即GE •ED =AE •EB ，∴10•GE =8，即GE =410，则GD =GE +ED =910． ∴119101109222
S GD DF GD DE =⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=．
点睛：本题属于圆综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解答本题的关键．
6．如图1
O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ．
()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；
()2如图3，当»»DC AC =时，延长AB 至点E ，使12
BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O e 的切线；
②求PC 的长．
【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．
【解析】
分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD V 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==o ，求出答案即可；
②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，
//OP PD PD AB ⊥Q ，，
90POB ∴∠=o ，
O Q e 的直径12AB =，
6OB OD ∴==，
在Rt POB V 中，30ABC o ∠=，
3tan30623OP OB ∴=⋅=⨯
=o ， 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；
()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，
»»DC AC =Q ，
30DBC ABC ∴∠=∠=o ，
60ABD o ∴∠=，
OB OD =Q ，
OBD ∴V 是等边三角形，
OD FB ∴⊥， 12BE AB =Q ， OB BE ∴=，
//BF ED ∴，
90ODE OFB o ∴∠=∠=，
DE ∴是O e 的切线；
②由①知，OD BC ⊥，
3cos30633CF FB OB ∴==⋅=⨯
=o ， 在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2
PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=-．
点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．
7．已知：如图，△ABC 中，AC=3，∠ABC=30°．
（1）尺规作图：求作△ABC 的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；
（2）求（1）中所求作的圆的面积．
【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9π．
【解析】
试题分析：（1）按如下步骤作图：①作线段AB 的垂直平分线；②作线段BC 的垂直平分线；③以两条垂直平分线的交点O 为圆心，OA 长为半圆画圆，则圆O 即为所求作的圆． 如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC ＝3，如图弦AC 所对的圆周角是∠ABC =30°，所以圆心角∠AOC =60°，所以∆AOC 是等边三角形，所以外接圆的半径是3故可求得外接圆的面积．
（2）连接OA ，OB ．
∵AC=3，∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∴△AOC 是等边三角形，
∴圆的半径是3，
∴圆的面积是S=πr 2=9π．
8．已知P 是O e 的直径BA 延长线上的一个动点，∠P 的另一边交O e 于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP=m ，1sin 3
P ＝，如图所示．另一个半径为6的1O e 经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．
（1）当m=6时，求线段CD 的长；
（2）设圆心O 1在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；
（3）△POO 1在点P 的运动过程中，是否能成为以OO 1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)CD=2523812n n
;(3) n 9559155 【解析】
分析：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．解Rt △POH ，得到OH 的长．由勾股定理得CH 的长，再由垂径定理即可得到结论；
（2）解Rt △POH ，得到Rt 3
m OH OCH V ＝
．在和Rt △1O CH 中，由勾股定理即可得到结论；
（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况讨论：① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧
时，分1OP OO ＝和11O P OO ＝．②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得结论． 详解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，连接OC ．
在Rt △1sin 63
POH P PO =Q 中，
＝，，∴2OH =． ∵AB ＝6，∴3OC ＝．
由勾股定理得： 5CH =
∵OH ⊥DC ，∴225CD CH ==． （2）在Rt △1
sin 3POH P PO m Q 中，＝，＝，∴3
m OH ＝． 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝． 在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭＝． 可得： 22
36933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝，解得23812n m n -：＝． （3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：
① 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时
i ）1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n -＝，解得9n ：＝． 即圆心距等于O e 、1O e 的半径的和，就有O e 、1O e 外切不合题意舍去．
ii ）11O P OO ＝22233
m m n m -+-（）（） n ＝， 解得：23m n ＝，即23n 23812n n
-＝，解得9155n ：＝ ②当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时，同理可得： 2
8132n m n
-＝． ∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n
-＝，解得955n ：＝
综上所述：n 的值为955或9155
． 点睛：本题是圆的综合题．考查了圆的有关性质和两圆的位置关系以及解直径三角形．解答（3）的关键是要分类讨论．
9．如图，在直角坐标系中，⊙M 经过原点O(0，0)，点A(6，0)与点B(0，－2)，点D
在劣弧»OA
上，连结BD 交x 轴于点C ，且∠COD ＝∠CBO. (1)求⊙M 的半径；
(2)求证：BD 平分∠ABO ；
(3)在线段BD 的延长线上找一点E ，使得直线AE 恰为⊙M 的切线，求此时点E 的坐标．
【答案】（1）M 的半径r 2；（2）证明见解析；（3）点E 的坐标为(
263
2)． 【解析】 试题分析：根据点A 和点B 的坐标得出OA 和OB 的长度，根据Rt △AOB 的勾股定理得出AB 的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD ，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE ≌△HBE ，从而得出2，从而求出OH 的长度，即点E 的纵坐标，根据Rt △AOB 的三角函数得出∠ABO 的度数，从而得出∠CBO 的度数，然后根据Rt △HBE 得出HE 的长度，即点E 的横坐标.
试题解析：（1）∵点A 6，0），点B 为（02） ∴62 ∴根据Rt △AOB 的勾股定理可得：2∴e M 的半径r=12
2. （2）根据同弧所对的圆周角相等可得：∠ABD=∠COD ∵∠COD=∠CBO ∴∠ABD=∠CBO ∴BD 平分∠ABO （3）如图，由（2）中的角平分线可得△ABE ≌△HBE ∴2∴2－22
在Rt △AOB 中，3OA OB
=∠ABO=60° ∴∠CBO=30° 在Rt △HBE 中，263=∴点E 的坐标为（263
2）
考点：勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.
10．在O e 中，AB 为直径，C 为O e 上一点.
（Ⅰ）如图①，过点C 作O e 的切线，与AB 的延长线相交于点P ，若28CAB ∠=︒，求P ∠的大小；
（Ⅱ）如图②，D 为弧AC 的中点，连接OD 交AC 于点E ，连接DC 并延长，与AB 的延长线相交于点P ，若12CAB ∠=︒，求P ∠的大小.
【答案】（1）∠P ＝34°；（2）∠P ＝27°
【解析】
【分析】
（1）首先连接OC ，由OA=OC ，即可求得∠A 的度数，然后由圆周角定理，求得∠POC 的度数，继而求得答案；
（2）因为D 为弧AC 的中点，OD 为半径，所以OD ⊥AC ，继而求得答案．
【详解】
（1）连接OC ，
∵OA ＝OC ，
∴∠A ＝∠OCA ＝28°，
∴∠POC ＝56°，
∵CP 是⊙O 的切线，
∴∠OCP ＝90°，
∴∠P ＝34°；
（2）∵D 为弧AC 的中点，OD 为半径，
∴OD ⊥AC ，
∵∠CAB ＝12°，
∴∠AOE ＝78°，
∴∠DCA ＝39°，
∵∠P＝∠DCA﹣∠CAB，
∴∠P＝27°．
【点睛】
本题考查切线的性质以及等腰三角形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
11．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC．点E为CD边上一点，AE与BE分别为∠DAB和∠CBA的平分线．
（1）请你添加一个适当的条件，使得四边形ABCD是平行四边形，并证明你的结论；
（2）作线段AB的垂直平分线交AB于点O，并以AB为直径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）在（2）的条件下，⊙O交边AD于点F，连接BF，交AE于点G，若AE=4，
sin∠AGF=4
5
，求⊙O的半径．
【答案】（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（2）作出相应的图形见解析；（3）圆O的半径为2.5．
【解析】
分析：（1）添加条件AD=BC，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形验证即可；（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）由平行四边形的对边平行得到AD与BC平行，可得同旁内角互补，再由AE与BE为角平分线，可得出AE与BE垂直，利用直径所对的圆周角为直角，得到AF与FB垂直，可得出两锐角互余，根据角平分线性质及等量代换得到∠AGF=∠AEB，根据sin∠AGF的值，确定出sin∠AEB的值，求出AB的长，即可确定出圆的半径．
详解：（1）当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，理由为：
证明：∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
故答案为：AD=BC；
（2）作出相应的图形，如图所示；
（3）∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AE与BE分别为∠DAB与∠CBA的平分线，∴∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠AEB=90°，
∵AB为圆O的直径，点F在圆O上，
∴∠AFB=90°，
∴∠FAG+∠FGA=90°，
∵AE平分∠DAB，
∴∠FAG=∠EAB，
∴∠AGF=∠ABE，
∴sin∠ABE=sin∠AGF=4
5
AE AB =，
∵AE=4，
∴AB=5，
则圆O的半径为2.5．
点睛：此题属于圆综合题，涉及的知识有：圆周角定理，平行四边形的判定与性质，角平分线性质，以及锐角三角函数定义，熟练掌握各自的性质及定理是解本题的关键．
12．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．
（1）求tan∠AOD的值．
（2）AC，OD交于点E，连结BE．
①求∠AEB的度数；
②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．
【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②
2
2 CH=
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得
DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；
②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2
=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．
【详解】
（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．
∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AOD
AD
AO
==2；
（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，
AE=CE．
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，
∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．
②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2
=．
∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，
∴△ABE∽△HBC，∴BC CH
EB AE
=，即
1
2
CH
=，∴CH2
=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．
13．如图，点A，B，C，D，E在⊙O上，AB⊥CB于点B，tanD=3，BC=2，H为CE延长线上一点，且10，CH52
=.
（1）求证：AH是⊙O的切线；
（2）若点D是弧CE的中点，且AD交CE于点F，求证：HF=HA；
（3）在（2）的条件下，求EF的长．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）102
【解析】
【分析】（1）连接AC，由AB⊥CB可知AC是⊙O的直径，由圆周角定理可得∠C=∠D，于是得到tanC=3，故此可知AB=6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2= 40，从而可得AC2+AH2=CH2，根据勾股定理的逆定理可得AC⊥AH，问题得证；
（2）连接DE、BE，由弦切角定理可知∠ABD=∠HAD，由D是»CE的中点，可得
∠CED=∠EBD，再由圆周角定理可得∠ABE=∠ADE，结合三角形的外角即可证明
∠HAF=∠AFH，从而可证得AH=HF；
（3）由切割线定理可得EH=2，由（2）可知AF=FH=10，从而可得EF=FH﹣EH=10-2．
【详解】（1）如图1所示：连接AC．
∵AB⊥CB，
∴AC是⊙O的直径，
∵∠C=∠D，
∴tanC=3，
∴AB=3BC=3×2=6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=40，
又∵AH2=10，CH2=50，
∴AC2+AH2=CH2，
∴△ACH为直角三角形，
∴AC⊥AH，
∴AH是圆O的切线；
（2）如图2所示：连接DE 、BE ，
∵AH 是圆O 的切线，
∴∠ABD=∠HAD ，
∵D 是»CE
的中点， ∴»»CD
ED =， ∴∠CED=∠EBD ，
又∵∠ABE=∠ADE ，
∴∠ABE+∠EBD=∠ADE+∠CED ，
∴∠ABD=∠AFE ，
∴∠HAF=∠AFH ，
∴AH=HF ；
（3）由切割线定理可知：AH 2=EH•CH ，即（10）2=52EH ，
解得：EH=2，
∵由（2）可知AF=FH=10，
∴EF=FH ﹣EH=10-2．
【点睛】本题主要考查圆的综合应用，解答主要应用了切线的判定定理、弦切角定理、切割线定理、圆周角定理、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的外角的性质等，正确添加辅助线是解题的关键.
14．如图①，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=o ，8AC =，10AB =，点D 是AC 边上一点（不与C 重合），以AD 为直径作O e ，过C 作CE 切O e 于E ，交AB 于F .
（1）若O e 的半径为2，求线段CE 的长；
（2）若AF BF =，求O e 的半径；
（3）如图②，若CE CB =，点B 关于AC 的对称点为点G ，试求G 、E 两点之间的距离.
【答案】(1)42CE =；(2)O e 的半径为3；(3)G 、E 两点之间的距离为9.6.
【解析】
【分析】
（1）根据切线的性质得出∠OEC=90°，然后根据勾股定理即可求得；
（2）由勾股定理求得BC ，然后通过证得△OEC ∽△BCA ，得到
OE BC =OC BA ，即r 8-r =610，解得即可；
（3）证得D 和M 重合，E 和F 重合后，通过证得△GBE ∽△ABC ，GB GE AB AC
=，即12108
GE =，解得即可． 【详解】
(1)如图，连结OE .
∵CE 切O e 于E ，
∴90OEC ∠=︒.
∵8AC =，O e 半径为2，
∴6OC =，2OE =.
∴2242CE OC OE =-=；
(2)设O e 半径为r .
在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，8AC =，
∴226BC AB AC -=. ∵
AF BF =， ∴
AF CF BF ==. ∴
ACF CAF ∠=∠. ∵CE 切O e 于E ，
∴90OEC ∠=︒.
∴OEC ACB ∠=∠，
∴OEC BCA ∆~∆.
∴OE OC BC BA =， ∴8610
r r -=， 解得3r =.
∴O e 的半径为3；
(3)连结EG 、OE ，设EG 交AC 于点M ，
由对称性可知，CB CG =.
又CE CB =，
∴CE CG =.
∴EGC GEC ∠=∠.
∵CE 切O e 于E ，
∴90GEC OEG ∠+∠=︒.
又90EGC GMC ∠+∠=︒，
∴OEG GMC ∠=∠.又GMC OME ∠=∠，
∴OEG OME ∠=∠.
∴OE OM =.
∴点M 与点D 重合.
∴G 、D 、E 三点在同一条直线上.
连结AE 、BE ，
∵AD 是直径，
∴90AED ∠=︒，即90AEG ∠=︒.
又CE CB CG ==，
∴90BEG ∠=︒.
∴180AEB AEG BEG ∠=∠+∠=︒，
∴A 、E 、B 三点在同一条直线上.
∴E 、F 两点重合.
∵90GEB ACB ∠=∠=︒，B B ∠=∠，
∴GBE ABC ∆~∆.
∴GB GE AB AC =，即12108
GE =. ∴9.6GE =.
故G、E两点之间的距离为9.6.
【点睛】
本题考查了切线的判定，轴的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，证得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关键.
15．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，点E在CB的延长线上，连结AC、AE，∠ACB=∠BAE=45°．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若AB=AD，AC=32，tan∠ADC=3，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）
5
2 BE=
【解析】试题分析：（1）连接OA、OB，由圆周角定理得出∠AOB=2∠ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=∠OBA=45°，求出∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°,即可得出结论；（2）过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF ＝3，在Rt△AFD中求得DF＝1，所以AB＝AD＝10，CD= CF+DF=4，再证明
△ABE∽△CDA，得出BE AB
DA CD
=，即可求出BE的长度；
试题解析：
（1）证明：连结OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=2∠ACB= 90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠BAE=45°，
∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，
∴OA⊥AE．
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°．∵AB=AD，
∴AB u u u r =AD u u u r
∴∠ACD =∠ACB =45°， 在Rt △AFC 中，
∵AC =32，∠ACF =45°， ∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3， ∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，
∴223110AB AD ==+=， 且CD = CF +DF =4， ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠ABE =∠CDA ， ∵∠BAE =∠DCA ， ∴△ABE ∽△CDA ， ∴
BE AB DA CD =， ∴1010
=， ∴52BE =
．。