湖南祁阳四中2007年高考押题卷含解析

湖南祁阳四中07年高考押题卷
一、选择题（本题满分50分） 1.已知映射f:A →B ,其中A=B =R ，对应法则f:x →y=x 2-2x +2.若对实数k ∈B ,在集合A 中不存在原象，则k 的取值范围是 （ ） A.k ≤1 B.k <1 C.k ≥1 D.k >1
解析：B 实数k 的取值范围是函数y =x 2-2x +2的值域［1,+∞)的补集，所以k <1.
2. 如图是函数f (x )=x 3+bx 2+cx +d 的大致图象,则21x +2
2x 等于 （ ）
A.98
B. 910
C.
916 D.9
28
解析：C 由图象可得f (x )=x (x +1)(x -2)=x 3-x 2-2x , 又∵x 1、x 2是f ′(x )=3x 2-2x -2=0的两根， ∴x 1+x 2=32,x 1x 2= -32,故x 2221x +=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=（32）2+2×32=9
16.
3．若函数f (x +2)=⎩⎨
⎧<-≥0
),lg(0,tan x x x x ，则f (4π
+2)f (-98)等于 （ ）
A.
21 B.-2
1
C.2
D.-2 解C f (
4π+2)·f (-98)=tan 4
π
lg100=2.析：
4．已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是三角形ABC 的重心，动点P 满足
=31 (21+OB 2
1
+2),则点P 一定为三角形ABC 的 （ ）
A.AB 边中线的中点
B.AB 边中线的三等分点（非重心）
C.重心
D.AB 边的中点 解析：B 取AB 边的中点M ，则2=+，由=
31 (21+OB 2
1
+2)可得323+=，∴3
2
=
，即点P 为三角形中AB 边上的中线的一个三等分点，且点P 不过重心，故选B.
5．若函数f (x )=min{3+log 4
1x ,log 2x },其中min{p ,q }表示p ,q 两者中的较小者，则f (x )<2的解
集为 （ ）
A .（0，4）
B .（0，+∞)
C . (0,4)∪(4,+∞)
D (
4
1
,+∞) 解析：C f (x )=min{3+log 41x ,log 2x }=⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<4 log 21340 log 22x x x x 分别解f (x )<2可得0<x <4或x >4,
故应选C.
6．已知函数f (x )=x 2-4x +3,集合M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≤0},集合N ={（x ,y )|f (x )-f (y )≥0},则集合M ∩N 的面积是 （ ） A.
4π B . 2
π
C .π
D .2π
解析：C 由已知可得M ={（x ,y )|f (x )+f (y )≤0}= {(x ,y )|(x -2)2+(y -2)2≤2},N ={(x ,y )|f (x )-f (y )≥0} ={(x ,y )|(x -y )(x +y -4)≥0}. 则M ∩N =⎪⎩
⎪⎨⎧≥-+-≤-+-0)4)((2
)2()2(22y x y x y x
作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半， 即为
2
1
π·（2）2=π，故应选C.
7．直线ax +by -1=0(a ,b 不全为0),与圆x 2+y 2=50有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 （ ）
A .66条
B .72条
C .74条
D .78条
解析：B 如图所示，在第一象限内，圆x 2+y 2=50上的 整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆 上的整点的个数共有12个，此12个点任意两点相连可
得C 212=66条直线，过12个点的切线也有12条，又直线
ax +by -1=0(a ,b 不全为0）不过坐标原点，故其中有6条 过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6 =72条，故应选B.
8．在直角坐标系中，若方程m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为 （ ）
A .（0，1）
B .（1，+∞)
C .(0,5)
D .(5,+∞) 解析：C 方程m (x 2
+y 2
+2y +1)=(x -2y +3)2
可以变形为m =
1
2)32(2
2
2++-+-y y x y x
,
即得|32|)1(1
2
2+-++=
y x y x m
,∴5
|
32|)1(5
2
2+-++=y x y x m 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与
定直线x -2y +3=0之比为常数e =
m
5
,又由e >1,可得0<m <5,故应选C.
9.已知平面上两点M （-5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|-|PN |=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是 （ ） ①y =x +1;②y =2;③y =
3
4
x ;④y =2x +1. A.①③ B.①② C.②③ D.③④
解析：B 由题意可知满足|PM |-|PN |=6的P 的轨迹是双曲线的右支，根据“单曲型直线”的定义可知，就是求哪条直线与双曲线的右支有交点.故选B.
10.如图为一个简单多面体的表面展开图（沿图中虚线折 叠即可还原），则这个多面体的顶点数为 ( )
A.6
B.7
C.8
D.9
二、填空题（本题满分25分）
11.设f (n )=∈⎪⎭⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n i i i i n
n
(1111N ),则集合{x |x =f (n )}中元素的个数是_______________.
解析：C. f (n )=n
n n
n
i i i i i i )(1111-+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+,分n =4k ,n =4k +1,n =4k+2,n =4k +3(k ∈N )四种情况，
分别代入可得的值为2，0，-2，故填3.
12.一圆形餐桌依次有A 、B 、C 、D 、E 、F 共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为 _______________. 解析： C.
A 、C 、E 或
B 、D 、F ，故大人入座的方法数为2A 33
；而小孩入座剩下座位的方法有A 33种，由分步计数法原理知方法总数为2A 33·A 3
3=72.
13.函数y =x 1的图象是平面上到两定点距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹，则这个定长
是 .
解析:22 由⎪⎩⎪
⎨⎧==.
,1x y x y 得A (-1,-1)、B (1,1)，所以2a =|AB |=22
14.在△ABC 中，AB =9，AC =15，∠BAC =120°，其所在平面外一点P 到A 、B 、C 三个顶点的距离都是14，则P 点到直线BC 的距离为 .
解析:记P 点在平面ABC 上的射影为O ，则AO 、BO 、CO 分别是P A 、PB 、PC 在平面ABC 上的射影
∵P A=PB=PC ,∴OA=OB=OC , ∴O 为△ABC 的外心.
在△ABC 中，BC =15915922⨯++=21 由正弦定理，2R =
︒
120sin 21
,∴R =73
P 点到平面ABC 的距离为()
73
7142
2=-.
15. 为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：
明文 密文 密文
明文， 现在加密密钥为y=log a (x+2)，如下所示：明文“6”通过加密后得到密文“3”， 再发送，接受方通过解密密钥解密得明文“6”，问“接受方接到密文”4“，则解密 后得到明文为 14 。

三、简答题（本大题满分75分） 16. （本题满分12分）
在2006年多哈亚运会中，中国女排与日本女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往战况，中国女排每一局赢的概率为
5
3。

已知比赛中，第一局日本女排先胜一局，在这个条件下，（Ⅰ）求中国女排取胜的概率 （Ⅱ）设决赛中比赛总的局数ξ，求ξ的分布列及ξE 解：（Ⅰ）中国女排取胜的情况有两种：
①中国女排连胜三局
②中国女排在第2局到第4局中赢两局，且第5局赢
故中国女排取胜的概率为
5
35253532
233⨯⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=C p
625
297
62516212527=
+=
故所求概率为625
297
（Ⅱ）设比赛局数为ξ,依题意得ξ=3,4,5. 则25452)3(2
=⎪⎭
⎫
⎝⎛==ξP
加密密钥密码 发送 解密密钥密码
3
12232351(4)5555125
P C ξ⎛⎫==⋅⋅⋅+=
⎪⎝⎭ 125
54625270535253525352)
5(2
23213
==⋅⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==C C P ξ ξ的分布列为:
所以 125
534
1255451255142543=
⨯+⨯+⨯=ξE
17. （本题满分12分）
设a ,b ,c 分别是△ABC 三个内角A, B, C 的对边，若向量(1cos(),cos
)2
A B
m A B -=-+，5(，cos )82A B n -=且98
m n ⋅=，
(1) 求tan tan A B ⋅的值； (2) 求
222
sin ab C
a b c +-的最大值.
解：(1)由98m n ⋅=，得259[1cos()cos 828
A B A B --++= 即 51cos()9
[1cos()828
A B A B +--++
= ，亦即 4cos()5cos()A B A B -=+ 所以 1tan tan 9
A B ⋅=
(2) 因2
22sin sin 1
tan 2cos 2
ab C ab C C a b c ab C ==+- 而tan tan 993
tan()(tan tan )1tan tan 884
A B A B A B A B ++=
=+≥⨯=- 所以，tan()A B +有最小值34， 当1
tan tan 3
A B ==时，取得最小值。

又tan tan()C A B =-+，则tan C 有最大值34- 故222sin ab C a b c +-的最大值为3
8
-
18. （本题满分12分）
已知四棱锥P —ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥CD ，∠DAB = 90°，PA ⊥底面ABCD ，AB = 2，
2=AD ，DC = 1，PA = 4，与M 、N 分别为PB 、PD 的中点，
平面CMN 交AP 于点Q .
（Ⅰ）求平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的大小； （Ⅱ）确定点Q 的位置.
解：解法一：（Ⅰ）如图以A 为原点，AD ，AB ，AP
所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则A （0,0,0），)0,0,2(D ，B （0,2,0）
，)0,1,2(C ，
P （0,0,4），M （0,1,2），N （
2,0,2
2
）∵PA ⊥面ABCD ，AP
∴为平面ABCD 的法向量，且)4,0,0(=AP 设平面CMN 的法
向
量
),,(z y x =)2,1,2
2
()2,0,2(--
=-= 由⎪⎩⎪
⎨⎧=+--=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅022
2
220
0z y x z x 令z = 1得 1
,2==y x )
1,1,2(=∴
2
1
244|
|||),cos(=⋅=
⋅=
n AP 60),(],180,0[),(=∴∈n AP n AP 即二面角的大小为60°
（Ⅱ）设Q (0,0,a ) 则),1,2(a CQ --=
由平面向量基本原理存在唯一实数对),(μλ使CN CM CQ μλ+=即
)2,1,22()2,0,2(),1,2(--+-=-μλa ⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧===⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧
+=-=--
-
=-∴31
21:2212
222a u a μλλμ
μλ解得 即Q （0，0，3）∴Q 点在AP 上且分AP 的比为3：1
解法二：（Ⅰ）过N 作NG ⊥AD ，∵N 是PD 中点，∴G 为AD 中点
连结BD ，则MN ∥BD ，∴MN ∥平面ABCD ，过C 用BD 的平行线l ，则MN ∥l ， 即平面CMN ∩平面ABCD = l
过G 作CH ⊥l 交l 于H ，连结NH ，则∠NHG 为平面CMN 与平面ABCD 所成二面角的平面角 ，设A C ∩BD = O ，容易证明AC ⊥BD
3
3
332333
2622=
-
=-==⋅=⋅=
AO AC OC BD AB AD AO 3
3
23
3
3321=
+=+=∴OC AO CH 又221==PA NG
603
3
3
22
tan =∠∴===∠∴NHG GH NG NHG
即平面CMN 与平面ABCD
（Ⅱ）取PA 中点R ，连结MR ，DR ，∵ MR AB 2
1 ∴ MR CD
∴CM ∥DR ，过N 作NQ ∥DR ，则Q 所求，且PA PQ 4
1
=
即Q 分AP 的比为3：1 （注：Ⅰ也可用面积射影定理求）
19．（本题满分12分）
已知函数4()log (41)x f x kx =++（k ∈R ）是偶函数．
（Ⅰ）求k 的值；
（Ⅱ）证明：对任意实数b ，函数()y f x =的图像与直线1
2
y x b =
+最多只有一个交点；
（Ⅲ）设44()log 23x g x a a ⎛
⎫=⋅- ⎪⎝
⎭，若函数()f x 与()g x 的图像有且只有一个公共点，
求实数a 的取值范围． 略解：（Ⅰ）1
2
k =-；
（Ⅱ）只要证明函数41
()log (41)2x y f x x x =-
=+-在定义域R 上是单调函数即可； （Ⅲ）原问题等价于方程14
2223x x x a a +=⋅-有且只有一个实数根．
令20x t =>，则方程24
(1)103
a t at ---=有且只有一个正根，故
①3
14
a t =⇒=-，不合题意；
②304a ∆=⇒=或3-：若31
42a t =⇒=-，不合题意；若132
a t =-⇒=；
③一个正根与一个负根，即1
011
a a -<⇒>-．
综上所述，实数a 的取值范围是{3}(1,)-+∞． 20. （本题满分13分）
抛物线)0(42
>=p px y 的准线与x 轴的交点为M ，过点M 作直线交抛物线于A 、B 两点. （1）求线段AB 中点的轨迹方程；
（2）若线段AB 的垂直平分线交对称轴于点N （x 0，0），求证：x 0 > 3p ； （3）若直线l 的斜率依次取n
p p p ,,,2
时，线段AB 的垂直平分线与抛物线对称轴的交点
依次是,,,,21n N N N 当10<<p 时，求
.|
|1
||1||113221 ++++=
+n n N N N N N N S
解析:（Ⅰ）抛物线的准线方程为x =－p ，)0,(p M -∴，设l 方程为)0)((≠+=k p x k y
代入.0)2(242
22222=+-+=p k x k p x k px y 得
由04)2(42
4222>--=∆p k k p ，得.102
<<k
设线段AB 中点为Q （x ，y ），则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=-=+=k p kp kx y k p k x x x 2)2(22221，消去参数k ，
p p k x k >-=∴<<)12
(
,102
2 ， ∴线段AB 中点的轨迹方程22()()y p x p x p =+>
（Ⅱ）证明：线段AB 的垂直平分线方程为])12
([122p k
x k k p y ---=-，令y = 0， N (x 0,0)的横标.3,3)12
(,10,)12(02220p x p p k
k p k x >∴>+∴<<+=
（Ⅲ）当直线l 的斜率n n p k =时，||||),0,)12
((112n n n n n n x x N N p p
N -=+++
)1(2||1),10()1(2|)12()12(
|21
211
2222
2p p N N p p p p p p p n n n n n n -=
∴<<-=+-+=++++ )
1(2||1,)()1(22
311
223p p N N p p p n n n -∴-=+-是以为首项，以p 2为公比的等比数列， 且2
23
2321212
)
1(2)1(211||1||1,10p p p p p N N N N S p n n -=-⋅-=+++=∴<<+
21、（本题满分14分） 已知函数()x f 与函数()()01>-=
a x a y 的图像关于直线x y =对称．
（1）试用含a 的代数式表示函数()x f 的解析式，并指出它的定义域；
（2）数列{}n a 中，11=a ，当2≥n 时，1a a n >．数列{}n b 中，21=b ，
n n b b b S ++=21．点() ,3,2,1,=⎪
⎭⎫ ⎝
⎛
n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，求a 的值；
（3）在（2）的条件下，过点n P 作倾斜角为
4
π
的直线n l ，则n l 在ｙ轴上的截距为()13
1
+n b () ,3,2,1=n ，求数列{}n a 的通项公式．
解：（1）由题可知：()x f 与函数()
()01>-=a x a y 互为反函数，所以，
()12
+=a
x x f ，()0≥x
（2）因为点() ,3,2,1,
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛n n S a P n n n 在函数()x f 的图像上，所以，
12
+=a
a n S n
n () ,3,2,1=n (*)
在上式中令1=n 可得：12
11+=a a
S ，又因为：11=a ，211==b S ，代入可解得：
1=a ．所以，()12+=x x f ，(*)式可化为：
12
+=n n a n
S () ,3,2,1=n ①……6分 （3）直线n l 的方程为：n n
a x n
S y -=-
，() ,3,2,1=n ， 在其中令0=x ，得n n a n
S y -=
，又因为n l 在ｙ轴上的截距为()131
+n b ，所以，
n n a n
S -=()131+n b ，结合①式可得：2332
+-=n n n a a b ②
由①可知：当自然数2≥n 时，n na S n n +=2
，()112
11-+-=--n a n S n n ，两式作差
得：()112
12
+--=-n n n a n na b ．
结合②式得：()()11332
12
+-=+--n n n a n a a n ()N n n ∈≥,2 ③
在③中，令2=n ，结合11=a ，可解得：212或=a ， 又因为：当2≥n 时，1a a n >，所以，舍去12=a ，得22=a ． 同上，在③中，依次令4,3==n n ，可解得：33=a ，44=a ．
猜想：n a n =()N n ∈．下用数学归纳法证明． （1）3,2,1=n 时，由已知条件及上述求解过程知显然成立．
（2）假设k n =时命题成立，即k a k =()3,≥∈k N k 且，则由③式可得：
()1322121+=+-++k k k ka a a k
把k a k =代入上式并解方程得：12
1
21
+-+--=+k k k k a k 或
由于3≥k ，所以，021)1(212<-+-=-+--k k k k k k ，所以，2
1
21-+--=+k k k a k
符合题意，应舍去，故只有11+=+k a k ． 所以，1+=k n 时命题也成立．
综上可知：数列{}n a 的通项公式为n a n =()N n ∈。