2020年安徽合肥高三二模数学试卷(理科)

2020年安徽合肥高三二模数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
A.
B.
C.
D.
1.若集合，，
，则
（ ）．
│
│
A.
B.
C.
D.
2.欧拉公式把自然对数的底数，虚数单位，三角函数和联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数满足，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
3.若实数满足约束条件
，则
的最小值是（ ）．
4.已知为奇函数，当时，(是自然对数的底数），则曲线在
处的切线方程是（ ）．A.B.C.D.
5.若，则（ ）．
A.B.C.D.
6.已知函数
的图象关于点
成中心对称，且与直线
的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（ ）．
A.函数
的最小正周期为
B.函数图象的对称中心为
C.函数
的图象可由
的图象向左平移得到
D.函数
的递增区间为
7.《九章算术》中”勾股容方”问题：”今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何?”魏晋时期数黄学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图，用对角线将长和宽分别为和的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图图所示的矩形，该矩形长为
．宽为内接正方形的边长．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图．设为斜边的中点，作直角三角形的内接正方形对角线，过点
作于点
．则下列推理正确的是
①由图和图
面积相等得； ②由可得
；
③由可得，
；④由可得
．
贾
朱
朱
贾
青
青
图
朱
朱
贾贾
青
青
图图
朱
贾
青
A.①②③④
B.①②④
C.②③④
D.①③
8.为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶．经过前期实际调研得知，这四个贫困户选择，，三个扶贫项目的意向如下表：
扶贫项目
贫困户甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫困户选择，则不同的选法种数有（ ）．
A.种
B.种
C.种
D.种
9.某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为 .则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（ ）．
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于点，．若
，则（ ）．
A.
B.
C.
D.
11.若关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）．
A.
B.
C.
D.
12.
在三棱锥中，二面角
、
和
的大小均等于
，
，设三棱锥
外接球的球心为，直线
与平面
交于点
，则
（ ）．
A.B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量和满足，，则
．
14.三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球爱好者．在某次三人制足球传球训练中， 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙、丙三人都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第次传球后，球仍回到甲的概率等于 ．
15.已知双曲线：
（，）的右焦点为点，点是虚轴的一个端点，点为
双曲线左支上一个动点，若周长的最小值等于实轴长的倍，则双曲线的渐近线方程
为 ．
16.已知
三个内角，，所对的边分别为，，，若，，成等比数列，
，
，
成等差数列，则：（）
；（）
．
三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）
（1）（2）17.已知等差数列的前项和为，，，数列满足
．
求数列和
的通项公式．
若数列
满足
，求数列
的前
项和
．
图
（1）（2）18.如图，在矩形
中，，在边上，
．沿，将和
折起，使平面
和平面
都与平面
垂直，如图
．
图
试判断图中直线
与
的位置关系，并说明理由．
求平面
和平面
所成锐角二面角的余弦值．
（1）（2）19.已知椭圆的方程为，斜率为的直线与椭圆交于，两点，点在直
线的左上方．若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点
，求此时直线的方程．求证：
的内切圆的圆心在定直线
上．
（1）（2）20.某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案是对原有生产线进行技术改造．由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出下表：
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率预期平均年利润（单位：万元）
方案
方案
以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为（万件），通过核算，实行方
案时新产品的年度总成本（万元）为
，实行方案时新产品的年度总
成本
（万元）为
，已知
，
，若按（）的标准选择方案，
则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价（元）分别为
，
，
，且生产的新
产品当年都能卖出去．试问：当取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．
【答案】
解析:
∴．
故选．
（1）
（2）
21.已知函数．（是自然对数的底数）
求的单调递减区间．
记，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据：
）
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
（1）
（2）
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程．
若直线与曲线交于，两点，，求的值．
（1）
（2）
23.已知不等式的解集为．
求的值．
若三个正实数，，满足，证明：．A
1.
│
│
│
│
│
│
│
B
2.
，
∴，∴，
∴
，
∴
．故选．解析:
由实数，满足约束条件
做出可行域如图：
x
–4–3–2–1123456789
y
8
–6
–4–2
2
46O
A C
B
化目标函数
为
由图可知，当直线过点时，有最小值，
联立，
解得此时故选：．A 3.C
4.
当时，则
，
∴，
又为奇函数，
∴，
∴，
因此，，
当时，
，
∴
，即切线斜率为，当
时，
，则切点为
，
∴切线方程为，
故选．解析:
，
∵,
∴，
又∵
，
∴，
∴
．
A 5.
故选．解析:
①重组后图形面积不发生改变．故有∴
．①正确
②由图得
．
故图中正方形的边长为
为正方形对角线∴∴∴
在图中，即有即．
故②正确③由于为
中点，
∴
在图中，∴
即
故③不正确④在图中．∴即故④正确综上选．
D 6.B 7.
解析:
依据题意，可让甲先选择扶贫项目，有或，种选择再让乙进行选择．①若甲选择，则乙可选择或共种选择，
若乙选择，则丙只能选择或，丁只能选，共种选择，若乙选择，则丙只能选或或，当丙选择时，丁只能选择，当丙选择或时，丁可选或，共（种）选择．
②若甲选择，则乙可选择或共种选择，
若乙选择，则丙只能选或，此时丁也有或两种选择，共有（种）选择，
若乙选择，则丙可选或或，当丙选择时，丁只能选，当丙选择或时，丁可选或共有（种）选择，根据加法计数原理，可知总选法有（种）．
故选．解析:
该几何体的图形如图所示，
由题意可知，
设圆柱底面半径为，，
所以，令，则
．
令，则
，
令，则
，即，所以
或
，则可知，当
时，
．当
时，
．
B 8.D 9.圆柱
底
所以当时，取得最大值，
此时，
此时，则
，
．
所以
．
所以该几何体的表面积等于．
故选．解析:设
，
，因为直线过点
，
由题意知，直线的斜率存在且不为，所以设直线方程为：，
联立，消去整理得：
，
所以
，
．
由抛物线的定义可知：，
，
所以，
又因为，所以，
则．
所以
．所以 ．
故选.解析:
表
半球
球底面
体侧
A 10.C 11.
由题意可知，
设，
，
则，
令，∴在
上递减，在
上递增，
又，则
的图象过定点
，
在同一坐标系中，
的图象如下，
若有且仅有两个整数，，使得且，
∴，∴，解得，
即．
故选．解析:
如图，作平面，垂足为，过点作，垂足为，
则
即二面角
的平面角，则
，
D 12.
由二面角，，大小均等于知，
点到直线，，的距离相等，即点是的内切圆的圆心，设半径为，则，
∵在中，，
不妨设，，，
则为直角三角形，且，，
设中点为，过点作直线的平行线，
则三棱锥外接球的球心在直线上且位于平面下方，
在直角中，易求得，
设，则，
又，
所以，
解得，
则，
故，
则．
故选：．
13.
解析:
，，两边平方得．
①，
②，
①②得，
又，∴．
将，代入②式，得．
14.
解析:
本题可用树形图去求基本事件空间及满足条件的基本事件的个数．
甲
乙
丙甲乙
丙
甲乙丙
甲
乙丙
甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙丙甲乙
丙甲乙丙甲从图中可以得到：基本事件总数为
，回到甲手中的基本事件为个，所以满足条件的概率为：
，故答案为：
．
解析:
设双曲线的左焦点为，则有
，
∴，又，
∴
的周长
，
当、、三点共线时，
的周长最小，此时，
∴，
∴，
∴，∴
，
∴双曲线的渐近线方程为．
解析:
15. ;
16.
（）∵，，成等比数列，
∴，
由正弦定理可得，
∵，，成等差数列，
∴
，
∴，
由正弦定理可知，
由余弦定理可知，
∴，
∴，
又，
∴，
∴；
（）由（）可知，，∴，
由余弦定理可知，
又，，
∴，，
令，
则，
∴，
∴，
∴或（舍），
∴，
∴．
故答案为：；．
17.
（1），．
（1）（2）（1）解析:设
的公差为，由，，可以得，解得，
∴．
又，∴
，．
两式相除得．
经检验，时，满足上式，
∴
．
∵
，
∴
．
解析:连结
，分别取，的中点，，连结，，：
由图（）可得，
与都是等腰直角三角形且全等，则，，
，如图：
（2）．
（1），证明见解析．（2）平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
．
18.
（2）∵平面平面，交线为，平面，，
∴平面，
同理得，平面，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，分别是，的中点，
∴，
∴．
在边上取一点，使得，
由图可得，为正方形，即，
∵为的中点，
∴，
由（）知，平面，
∴，，两两垂直，
以点为坐标原点，直线，，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，如图：
设，则，，，，
∴，，
设平面的一个法向量为由得，
令，则，，
∴，
由平面是坐标平面可得：平面一个法向量为，
设平面与平面所成的锐二面角为，则
，
（1）（2）
∴平面
与平面
所成锐二面角的余弦值为．
解析:
设直线的方程为
，
设，
，
由得，
则，
，
由，解得
，
又∵点在直线的左上方，∴，
若以为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点
，
则，
即，
化简得，解得
或
（舍）．
∴直线的方程为
．
∵
．
∴直线平分
，
即
的内切圆的圆心在定直线
上．
（1）
．
（2）证明见解析．19.（1）当
时，应选择方案；当
时应选择方案；
20.
（1）
（2）解析:∵
，解得，
，，
；
；
，
∴当时，应选择方案；当时应选择方案；
当
时，既可以选择方案也可以选择方案．因为
，根据（）的结果，应选择方案，
所以新产品的年度总成本为
，
设市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的年利润分别为，
和
，
则
，
，
，
∴的分布列为
，
设，
，
∴
，
，
，
∴在
上单调递增，在
上单调递减，
∴当时，
取得最大值，即年产量为
万件时，
取得最大值．
此时
（万元），
当时，既可以选择方案也可以选择方案．
（2）在年产量为万件的情况下，可以达到甚至超过预期的平均年利润．
（1）
（2）由（）知，预期平均年利润的期望（万元），
因为
，
所以在年产量为
万件的情况下，
可以达到甚至超过预期的平均年利润．
解析:，定义域为
，
，
由解得
，
解得，
∴
的单调递减区间为
．
故答案为：
．
由已知
，
∴，
令，则，
∵，
∴当时，；当时，
，
∴在上单调递增，在上单调递减，即在
上单调递增，在
上单调递减，∵，，
①当，即时，，∴，∴，使得，∴当时，，当时，，
∴
在
上单调递增，
（1）．
（2）当
时，在上仅有一个零点，当
时，
在
上有两个零点．
21.
（1）在
上单调递减，∵
，∴，又∵，
∴由零点存在性定理可得，此时在
上仅有一个零点，②若时，，
又∵在上单调递增，
在上单调递减，又，
∴，，
使得，，
且当，时，
，当时，，
∴
在和上单调递减，在
上单调递增，∵
，∴
，∵
，
∴
，又∵，由零点存在性定理可得，
在
和内各有一个零点，即此时在上有两个零点，
综上所述，当时，
在上仅有一个零点，当时，在
上有两个零点．解析:
曲线的参数方程
消去参数得，曲线的普通方程为
．
∵，（1），
．（2）
．22.
（2）（1）（2）∴
，∴直线的直角坐标方程为
．设直线的参数方程为（为参数），
将其代入曲线的直角坐标方程并化简得
，∴
，．
∵
点在直线上，∴
．解析:
由题意知，
为方程的根，
∴
，解得，由
解得，，∴
．由
知，∴，
∴成立．
（1）．
（2）证明见解析．
23.。